Kolakoski Dizisi Nedir?

Sadece 1 ve 2'lerden oluşan bir sayı dizisi hayal edin: Örneğin 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2... diye giden bir seri... Ya da 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 gibi... Şimdi, öyle bir seri oluşturun ki, yani bu 1'ler ve 2'leri öyle bir sırada yazın ki, arka arkaya gelen 1'lerin sayısını ve 2'lerin sayısını ayrı bir seri olarak yazdığınızda, ilk seriyle birebir aynı seriye ulaşalım. Karmaşık mı oldu?

Rastgele yazdığımız ilk seriyi ele alalım: 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2...

Bu seride soldan sağa doğru gidelim ve kaç kere 1 ve 2'lerin üst üste geldiğini ayrı bir seri olarak yazalım:

• 1'den 3 tane var, demek ki yeni serimizin ilk sayısı 3.
• Hemen sonrasında 2'den 1 tane geliyor, demek ki yeni serimizin ikinci sayısı 2.
• Sonra 1'den 1 tane geliyor, demek ki üçüncü sayımız 1.
• Sonra 2'den 2 tane geliyor, demek ki dördüncü sayımız 2.
• Sonra 1'den 2 tane geliyor, demek ki beşinci sayımız 2.
• Son olarak 2'den 2 tane geliyor, demek ki altıncı sayımız 2.

Yani serimiz: 3 2 1 2 2 2... diye gidecek.

Görebileceğiniz gibi bu seri (3 2 1 2 2 2... diye giden seri), ilk serimiz olan 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2... diye giden seriyle aynı değil. İşte aradığımız seride, bu iki seri birebir aynı olmalı. Bu yapılamaz mı dersiniz?

Kolakoski Dizisi olarak bilinen şu seriyi düşünün: 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1...

Kolakoski Dizisi, kendisine eşit olan sonsuz bir 1'ler ve 2'lerden oluşan bir uzunluk dizisidir. İzah edelim: İlk diziyi K₁, ikinci diziyi K₂ olarak isimlendirirsek;

• K₁’in ilk terimi 1 ve 1 sayısından 1 tane vardır o halde K₂ dizisine 1 yazıyoruz.
• K₁’in ikinci terimi 2 ve devam eden 3. terimi de 2 (2’den 2 tane olmuş oldu) K₂ dizisinin 2. terimine 2 yazıyoruz; sebebi, K₁'de 2 sayısından (1 sayısı da olabilir) 2 tane olması.
• K₁’in 4 ve 5. terimi 1 sayısından 2 tane olduğu için K₂ dizisinin 3. terimine 2 yazıyoruz.
• K₁’in 6. terimi 2 sayısından 1 tane olduğu için K₂ dizisinin 4. terimine 1 yazıyoruz.

Buna göre, Kolakoski dizisindeki her terimin bir veya iki gelecek terimden oluşan bir dizi oluşturduğu söylenebilir. Yani ikinci dizi, birinci dizinin birebir aynısı olmaktadır; çünkü dizinin ilk 1'i bir "1" dizisi, yani kendisi üretir; ilk 2 kendisini içeren bir "22" dizisi üretir; ikinci 2 bir "11" dizisi üretir ve bu böyle devam eder... Grafiğe dökecek olursak:

OEIS Foundation Inc.

Kolakoski Dizisi, ilk olarak bir matematikçi ve makina mühendisi olan ve Princeton Üniversitesi'nde Albert Einstein ile çalışmış olan Rufus Oldenburger (1908-1969) tarafından 1939 yılında yazılan bir makalede geçmektedir. 1956'da Purdue Üniversitesi fakültesine katılan Rufus Oldenburger, uzay yarışında yer alıp, olayların gidişatını etkilemek için mükemmel bir arka plana ve konuma sahip oldu. Üniversitenin Otomatik Kontrol Merkezi'ni kurdu ve alanda öncü araştırmalar yapmak için Purdue'nin tesislerini ve kendisinin mühendislikteki hünerlerini kullandı. Rufus Oldenburger'in oğlu Derek Oldenburger, babasıyla ilgili olarak şunları söylüyor:

Babam NASA ile epeyce çalıştı. Satürn roketinde titreşimle ilgili bir problemleri vardı ve bunu onlar için çözdü. Ayrıca Mariner uzay aracı için yönlendirme sistemi üzerinde çalıştı.

Ancak diziye adını veren, Oldenburger değildi. Diziye adını veren kişi, William Kolakoski (1944-1997) oldu. Kolakoski, aslen bir matematikçi değildi; bir ressamdı. O, diziyi Carnegie Institute of Technology'de öğrenci olan arkadaşlarına tanıttı ve diziyi American Mathematical Monthly'ye (AMM) sundu. Kolakoski, bu diziyi İleri Düzey Problem 5304 (İng: "Advanced Problem 5304") başlığıyla, aşağıdaki formda yayınlandı.

Kolakoski dizisinde sıradaki her sayı, oluşturulacak bir sonraki çalışmanın uzunluğudur ve oluşturulacak eleman 1 ile 2 arasında değişir:

• 1, 2 (dizi uzunluğu l = 2; terimlerin toplamı s = 3)
• 1, 2, 2 (l = 3, s = 5)
• 1, 2, 2, 1, 1 (l = 5, s = 7)
• 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1 (l = 7, s = 10)
• 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1 (l = 10, s = 15)
• 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2 (l = 15, s = 23)

Görüldüğü gibi, her aşamadaki dizinin uzunluğu, önceki aşamadaki terimlerin toplamına eşittir. Bir başka gösterim olarak, aşağıdaki görseli inceleyebilirsiniz:

SemanticScholar, Joel Nilsson

Konuya biraz daha açıklık getirmek adına Matematik, Fen ve Sanat alanlarında araştırma yapan Öğretim görevlisi Jean Constant’ın yapmış olduğu algoritmaya bakabiliriz. Burada, birincisinde klasik Kolakoski Dizisinin uzunluğu 100'e kadar olan gösteriminin uygulamasını görüyorsunuz.

Burada da yine dizinin uzunluğunun 100'e kadar olan gösterimi verilmiştir; ancak gösterim olarak dairesel bir şekil elde ediliyor.

Şu ana kadar Kolakoski dizisi elbette diğer dizi türlerine göre kıyasla biraz farklı görünmekte bu sebepten olayı aklımıza şu soru gelmektedir: Sadece 1 ve 2 mi olmalı?

Kolakoski dizisi, resmi olarak tam sayılardan oluşan bir alfabeye dayanmaktadır ve herhangi bir sayı grubuyla inşa edilebilir. Örneğin, yukarıda verdiğimiz klasik Kolakoski dizisi {1,2} alfabesine sahiptir. Ama başka alfabelerle de Kolakoski dizileri üretebiliriz. Birkaç örnek verecek olursak:

• {1,3} alfabesiyle: 1,3,3,3,1,1,1,3,3,3,1,3,1,3,3,3,1,1,1,3,3,3,1,3,3, 3,1,3,3,3,1,1,1,3,3,3,1,3,1,3,3,3,1,1,1,3,3,3,1,3, 3,3,1,1,1,3,3,3,1,3,3,3,...
• {2,3} alfabesiyle: 2,2,3,3,2,2,2,3,3,3,2,2,3,3,2,2,3,3,3,2,2,2,3,3,3, 2,2,3,3,2,2,2,3,3,3,2,2,3,3,2,2,2,3,3,3,2,2,2,3,3, 2,2,3,3,2,2,2,3,3,3,...
• {1,2,3} alfabesiyle: 1,2,2,3,3,1,1,1,2,2,2,3,1,2,3,3,1,1,2,2,3,3,3,1,2, 2,3,3,3,1,1,1,2,3,1,1,2,2,3,3,3,1,1,1,2,2,2,3,1,1, 2,2,3,3,3,1,1,1,2,2,2,...

Yani Kolakoski dizisi sadece 1 ve 2'lerden ibaret değildir; farklı uzunlukta farklı alfabeler elde edilmiştir. Bu noktada aklımıza gelen ikinci soru ise şudur: Kolakoski klasik dizisinin uzunluğu ne kadar olursa olsun, 1'ler ve 2'lerden kaç adet vardır?

Klasik Kolakoski Dizisi'inde 1'lerin sayısının "asimptotik olarak" 2'lerin sayısına eşit olup olmadığı sorusu çözümsüzdür, ancak aşağıdaki grafik (1'lerin kesirini basamak sayısının bir fonksiyonu olarak gösterir) 1 ve 2'nin eşit dağıtılmış olmasıyla tutarlı gibi gözükmektedir.

WolframMathWolrd

Kolakoski Kaplumbağa Eğrisi

Tanım gereği, n'inci terimin aynı sıradaki ardışık eşit sayıların n'inci sırasının uzunluğuna eşit olduğu 1'ler ve 2'ler dizisi olan Kolakoski dizisine bir kez daha bakalım. Bir dizi yalnızca iki girdiye sahip olduğunda, giriş 1 olduğunda sola veya giriş 2 olduğunda sağa dönen bir "kaplumbağa" yardımıyla görselleştirilebilir. Bu görselleştirme yöntemi, Kolakoski dizisi için özellikle uygun görünmektedir; çünkü 3 eşit giriş dizisi yoktur, yani kaplumbağa asla adımına eşit bir kenar uzunluğu karesi etrafında hareket etmeyecektir. İşte 1,2,2,1,1,2,1... şeklinde giden diziyle eş olarak sol-sağ-sağ-sol-sağ-sol... şeklinde adımlar atan bir kaplumbağanın ilk 300 terim (veya adım) için çizdiği grafik:

calculus7

Henüz kendi kendine kesişme yok… Ama 366. adımda nihayet oluyor.

calculus7

Kendi kendine kesişmeler bundan sonra devam ediyor:

calculus7

Peki neden böyle bir şeyle uğraşılıyor dersiniz? Bu dizinin önemi ne? William Kolakoski'nin yaşamına bir bakış atmak bunu cevaplayabilir.

Wikimedia

Kolakoski, bir şizofreni hastasıydı ve hayatı boyunca özgür irade ve determinizm konuları ile meşgul oldu. Yüksek zekası ve pek çok farklı beceriyi çok az çabayla ustalaştırma becerisine rağmen, hastalığı, Mike Vargo'nun sözleriyle, "İçinde yaşayan ve her zaman tam anlamıyla kontrolü ele geçirmekle tehdit eden bu şey"di. Aklını kaos ve yanılgı bölgelerine taşıdı. Kendini özgür hissetmek isteyen Kolakoski, ilaç yardımı olmadan kendi beynini kontrol edemeyeceğinin farkındaydı ve determinizmi kabul etmek zorunda kaldı. Kolakoski dizisinin olası bir ifade olduğu, evrende iyimser bir düzen olduğunu düşünüyordu. Dizi, tamamen deterministiktir, ancak öngörülemez ve garip bir şekilde davranır. Kolakoski, dizi üzerine yıllarca çalışmaya devam etti ve bu konuda bir külliyat oluşturdu. Bu çalışmaları, Carnegie Mellon Üniversitesi Kütüphanelerinde William Kolakoski Koleksiyonu olarak tutulmaktadır.