Evrim Ağacı
Reklamı Kapat

İçen Paradoksu: "Barda Öyle Bir Kişi Vardır ki, Eğer O Kişi İçiyorsa, Bardaki Herkes İçiyordur." Önermesi Doğru mudur?

İçen Paradoksu: "Barda Öyle Bir Kişi Vardır ki, Eğer O Kişi İçiyorsa, Bardaki Herkes İçiyordur." Önermesi Doğru mudur? GQ
Tavsiye Makale
Reklamı Kapat

Bu yazı, Evrim Ağacı'na ait, özgün bir içeriktir. Konu akışı, anlatım ve detaylar, Evrim Ağacı yazarı/yazarları tarafından hazırlanmış ve/veya derlenmiştir. Bu içerik için kullanılan kaynaklar, yazının sonunda gösterilmiştir. Bu içerik, diğer tüm içeriklerimiz gibi, İçerik Kullanım İzinleri'ne tabidir.

Yazımızın konusu İngilizce’de Drinker Paradox olarak geçen Türkçe’ye İçen Paradoksu diye çevirebileceğimiz klasik mantığın bir teoremidir. Bu teorem, bir paradoks olmamasına karşın dilde ve matematikte kullandığımız koşullu önermeleri birbirine karıştırmamız sebebiyle, ilk bakışta önerme doğru değilmiş gibi gözükür. Teoremimiz şudur:

Barda öyle bir kişi vardır ki, eğer o kişi içiyorsa, bardaki herkes içiyordur.

Bu teorem matematiksel mantıkçı Raymond Smullyan tarafından “What is the Name of the Book? (Bu Kitabın Adı ne?)” adlı kitabından sonra popüler hale gelmiştir. Bu teoreme "paradoks" denmesinin sebebi, klasik mantığın bir teoremi olmasına karşın, sezgisel olarak teoremin doğru gelmemesidir. Örneğin bir kişi “Bardaki birinin içmesi neden bardaki herkesin içtiği anlamına gelsin ki? Pekala o kişi dışında başka kişiler içmiyor olabilir” diyerek bu teoreme itiraz edebilir; fakat yazımızın devamında görebileceğiniz üzere, bu teorem mantıksal olarak doğrudur. Teoremin neden doğru olduğunu ve neden çoğu kişiye doğru gözükmediğinden yazımızın ilerleyen bölümlerinde bahsedeceğiz. Ancak bunlara geçmeden önce birkaç bilgiyi bilmemiz gerekli.

Maddi (Material) Koşul

Klasik (ve sezgisel) mantıkta kullanılan koşul maddi koşuldur. Bununla ne kast ettiğimizi klasik mantıkta ‘p→qp \to qönermesinin doğruluk değerinin ‘pp ’ ve qqönermelerinin doğruluk değerlerine göre nasıl değiştiğini gösteren şu tabloyu inceleyelim:

"p ise q" önermesinin doğruluk tablosu
"p ise q" önermesinin doğruluk tablosu

Bu tabloda ‘p→qp \to q’ önermesini “p ise q” olarak okuyacağız, 'pp' ve 'qq ' yerine ise herhangi bir önerme getirebiliriz. p ve q önermelerinin doğru veya yanlış olmasına göre “p ise q” önermesinin doğruluğundan bahsedeceğiz. Bu tabloda ne kast edildiğini bir örnekle anlatalım:

Trump 2017’de Amerika Birleşik Devletleri’nin başkanı ise, Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.

Bu önermeyi şu şekilde düşünelim:

  • pp : Trump 2017’de Amerika Birleşik Devletleri’nin başkanıdır.
  • qq : Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.
  • p→qp \to q : Trump 2017’de Amerika Birleşik Devletleri’nin başkanı ise Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.

Bu durumda 'pp' ve 'qq' doğrudur çünkü Trump 2017’de Amerika Birleşik Devletleri’nin başkanıdır ve Türkiye’nin başkenti Ankara’dır. O halde tablomuza göre 'p→qp \to q' cümlesi yani “Trump 2017’de Amerika Birleşik Devletleri’nin başkanı ise Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.” cümlesi de doğrudur.

Başka bir örnek vermek gerekise:

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

12 sayısı bir asal sayı ise su, H2O moleküllerinden oluşur.

  • pp : 12 sayısı bir asal sayıdır.
  • qq : Su, H2O moleküllerinden oluşur.
  • p→qp \to q : 12 sayısı bir asal sayı ise su, H2O moleküllerinden oluşur.

Bu durumda 'pp' önermesi yanlış iken 'qq' önermesi doğrudur çünkü 12 bir asal sayı değildir ve su, H2O moleküllerinden oluşur. O halde tablomuza göre ‘p→qp \to q' önermesi yani “12 sayısı bir asal sayı ise su, H2O moleküllerinden oluşur” cümlesi de doğrudur.

İlk örnekte 'pp' önermesi doğru iken ikinci örnekte yanlıştır ancak 'qq' önermesi ve ‘p→qp \to q' her iki önermede de doğrudur. Dolayısıyla doğruluk değeri tablosunda da görebileceğiniz gibi ‘q’ önermesinin doğru olması durumunda 'pp' önermesinin doğru veya yanlış olmasından bağımsız olarak 'p→q’ önermesi doğrudur. Bu olgu yazımızın konusu olan teoremin neden doğru olduğunu anlamamızda kilit rol oynayacak iki şeyden biridir. Diğer kilit rol oynayacak olgu ise 'pp' önermesinin yanlış olması durumunda 'qq' önermesinin doğru veya yanlış olmasından bağımsız olarak ‘p→qp \to q' önermesi doğrudur, doğruluk değeri tablosunda bu olguyu da görebilirsiniz. Yazının devamı için bu iki olguyu da aklınızda tutmanız gerekmektedir çünkü her iki olgu da teoremimiz için kilit öneme sahiptir.

Bunları bildiğimize göre artık yazımızın konusu olan teoremimizin informal kanıtına geçebiliriz.

Teoremin Biçimsel Olmayan Kanıtı

Bahsedeceğimiz kanıt, biçimsel değildir; çünkü biçimsel kanıt belli aksiyomlardan çıkarım kuralları ile türetilen kanıtlardır. Yazıda bahsedeceğimiz kanıt bu tanıma uymamaktadır ancak neden teoremin doğru olduğunu anlamamız için yeterlidir.

Kanıtımıza geçerken ilk olarak şu önermenin bariz olarak doğru olduğunu fark etmemiz gerekir:

Ya bardaki herkes içiyordur ya da barda içmeyen en az bir kişi vardır.

Bu önermede kast edilen şey “Bardaki herkes içiyordur” ve “Barda içmeyen en az bir kişi vardır” önermelerinden birisinin doğru olması gerektiğidir. Bunun neden böyle olduğunu görmek kolaydır: Eğer bardaki herkes içiyorsa barda içmeyen kimse yok demektir çünkü herkes içiyordur ve eğer barda içmeyen en az bir kişi var ise o zaman bardaki herkesin içtiğini söylemeyiz çünkü en az bir kişi içmiyordur.

İkinci olarak yazımızın başında “Barda öyle biri vardır ki eğer o içiyorsa bardaki herkes içiyordur.” olarak yazdığımız teoremi daha farklı olarak şöyle ifade edelim:

Bardaki herkesin içmesi ve barda içmeyen en az bir kişinin olması durumlarının her ikisi için de öyle bir kişi bulabiliriz ki o kişi için “O kişi içiyorsa, bardaki herkes içiyordur” önermesi doğrudur.

Agora Bilim Pazarı
₺180.00 ₺250.00

O halde önermelerimizi şu şekilde ifade edersek,

  • pp : O kişi içiyordur.
  • qq : Bardaki herkes içiyordur.
  • p→qp \to q : O kişi içiyor ise bardaki herkes içiyordur.

Bu ifade ettiğimiz önermeleri kanıtlamak için her iki durumu da ayrı ayrı ele alalım.

  • 1. Durum: Bardaki herkes içiyordur, diğer bir ifade ile ‘qq’ önermesi doğrudur.

O halde bardaki herhangi bir insan için “O kişi içiyorsa bardaki herkes içiyordur” önermesi doğrudur. Bunun sebebi yukarıda belirttiğimiz gibi ‘qq’ önermesinin doğru olması durumunda 'p→qp \to q’ önermesinin de doğru olmasıdır.

  • 2. Durum: Barda içmeyen en az bir kişi vardır, diğer bir ifade ile ‘qq’ önermesi yanlıştır.

O halde barda içmeyen herhangi bir kişi için “O kişi içiyorsa bardaki herkes içiyordur” önermesi doğrudur. Bunun sebebi diğer kilit rol oynayan olgu olan ‘pp’ önermesinin yanlış olması durumunda ‘p→qp \to q’ önermesinin doğru olmasıdır. Burada dediklerimizi yukarıda verdiğimiz tabloya bakarak kontrol edebilirsiniz.

Burada dikkat edilecek diğer bir husus “O kişi içiyordur.” önermesini içmeyen bir kişi yerine içen biri için ele alırsak ‘p’ önermesi doğru olacağından “O kişi içiyorsa, bardaki herkes içiyordur” önermesinin de yanlış olacağıdır. Bunun sebebi tablodan da görebileceğiniz üzere 'pp' önermesinin doğru ve ‘qq’ önermesinin yanlış olması durumunda ‘p→qp \to q’ önermesinin yanlış olmasıdır. Ancak bu olgu yazımın konusu olan teoremimizi kanıtlamada herhangi bir engel teşkil etmemektedir çünkü bizim istediğimiz şey barda “O kişi içiyorsa bardaki herkes içiyordur” önermesini doğru kılacak bir kişinin olmasıdır ve 2. Durum için içmeyen bir kişi bu önermeyi doğru kılmak için yeterlidir.

Her iki durumda da gördük ki “O kişi içiyorsa bardaki herkes içiyordur” önermesini doğru kılacak bir kişi vardır. Bu iki durumdan birinin doğru olması gerektiğinden “Barda öyle bir kişi vardır ki eğer o kişi içiyorsa bardaki herkes içiyordur” önermesinin de doğru olduğunu görürüz.

Paradoksun Açıklaması

Yazımızda klasik mantıkta kullanılan maddi koşulun ne olduğunu ve sandığımızın aksine İçen Teoremi’nin bu koşulla uyumlu olarak doğru olduğunu anlatmaya çalıştık. Yazımızın bu kısmında ise bu teoremin neden yanlış gibi gözüktüğünden bahsedeceğiz.

Teoremin yanlış gözükmesinin en temel sebebi günlük hayatımızda “ise” bağlacını çok farklı şeyler için kullanıyor oluşumuzdur. Örneğin iki şey arasında nedensellik ilişkisi olduğunu belirtmek için kullanabiliriz. Nedensel ilişki belirten cümleler için şöyle örnekler verebiliriz:

  • Ağır bir şey kaldırırsan belini incitirsin.
  • Çok sıcak çay içersen dilin yanar.
  • Topa kuvvet uygularsan, kütlesi ile ters orantılı şekilde ivme kazanır.

Bu cümleleri nedensel ilişkiyi belirtecek şekilde ifade edebiliriz:

  • Ağır bir şey kaldırman belini incitmene neden olur.
  • Çok sıcak çay içmen dilinin yanmasına neden olur.
  • Topa kuvvet uygulaman kütlesi ile ters orantılı şekilde ivme kazanmasına neden olur.

Ancak teoremimizde verdiğimiz cümle, yani “Barda öyle bir kişi vardır ki o kişinin içmesi herkesin içmesine neden olur. cümlesi bize sezgisel olarak yanlış gelecektir ve pek çok kişi yazının başında verdiğimiz teoremi okurken bu şekilde anladıkları için teoremin de yanlış olduğunu düşüneceklerdir. Halbuki yazımızda belirttiğimiz gibi teoremde kullanılan “ise” klasik mantıkta kullanılan maddi koşulu belirtmek için kullanılan bir çıkarsama kuralıdır.

"ise" bağlacını kullandığımız başka bir önerme türü ise karşı olgusal (counterfactual) koşullu önermelerdir. Örnek olarak: "A bir üçgen ise A üç kenara sahiptir." önermesini verebiliriz. Burada nedensel bir ilişki yoktur çünkü A’nın bir üçgen olması A’nın üç kenara sahip olmasına neden olmamıştır. Üçgen olmak ile üç kenara sahip olmak arasındaki ilişki üçgenin tanımındadır. Bu önerme, karşı olgusal koşullu önermemizin sebebi A’nın bir üçgen olmaması durumunda A’nın üç kenara sahip olmadığını söylediği içindir. Teoremde kullanılan maddi koşulda karşı olgusal durumlardan söz edilmez.

Sonuç

Görebileceğiniz gibi mantık ve dil arasındaki ilişki, kimi zaman sezgisel olarak bizi yanıltabilir. Bu nedenle dile ve mantık kurallarına dikkatli yaklaşmak büyük öneme sahiptir. Eğer zihninizi bu yazımızda öğrendiklerinizle biraz daha zorlamak istiyorsanız, "Gelmiş Geçmiş En Zor Mantık Sorusu"nu cevaplamaya çalışabilirsiniz.

Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 15
  • Tebrikler! 5
  • Merak Uyandırıcı! 5
  • Bilim Budur! 3
  • İnanılmaz 1
  • Umut Verici! 1
  • İğrenç! 1
  • Muhteşem! 0
  • Güldürdü 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
  • StackExchange. Clarification Regarding Drinker's Paradox [Duplicate]. (13 Mayıs 2020). Alındığı Tarih: 13 Mayıs 2020. Alındığı Yer: StackExchange | Arşiv Bağlantısı
  • R. Smullyan, et al. (1978). What Is The Name Of This Book? The Riddle Of Dracula And Other Logical Puzzles.

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 27/10/2020 03:21:40 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/5174

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Reklamı Kapat
Güncel
Karma
Agora
Değişim
Kadın Sağlığı
Kromozom
Doğa Gözlemleri
Astronomi
Fizik
Allah
Biyolojik Antropoloji
Hastalık
İspat
Matematik
Etimoloji
Böcek Bilimi
Farmakoloji
Öğrenme
Eşcinsellik
Bilim Felsefesi
Üreme
İspat Yükü
Çin
Felsefe
Zihin
Çekirdek
Neandertaller
Kütle
Daha Fazla İçerik Göster
Daha Fazla İçerik Göster
Reklamı Kapat
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, Evrim Ağacı'nda çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol
Türkiye'deki bilimseverlerin buluşma noktasına hoşgeldiniz!

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
“Eğer bir başka gezegeni Dünya'ya dönüştürecek gücümüz varsa; o zaman Dünya'yı da eski Dünya haline getirmeye gücümüz var demektir.”
Neil deGrasse Tyson
Geri Bildirim Gönder