İçen Paradoksu: "Barda Öyle Bir Kişi Vardır ki, Eğer O Kişi İçiyorsa, Bardaki Herkes İçiyordur." Önermesi Doğru mudur?

Yazımızın konusu İngilizcede Drinker Paradox olarak geçen Türkçeye İçen Paradoksu diye çevirebileceğimiz klasik mantığın bir teoremidir. Bu teorem, bir paradoks olmamasına karşın dilde ve matematikte kullandığımız koşullu önermeleri birbirine karıştırmamız sebebiyle, ilk bakışta önerme doğru değilmiş gibi gözükür. Teoremimiz şudur:

Barda öyle bir kişi vardır ki, eğer o kişi içiyorsa, bardaki herkes içiyordur.

Bu teorem, matematiksel mantıkçı Raymond Smullyan tarafından "What is the Name of the Book? (Bu Kitabın Adı ne?)" adlı kitabından sonra popüler hale gelmiştir.

Bu teoreme "paradoks" denmesinin sebebi, klasik mantığın bir teoremi olmasına karşın, sezgisel olarak teoremin doğru gelmemesidir. Örneğin bir kişi "Bardaki birinin içmesi neden bardaki herkesin içtiği anlamına gelsin ki? Pekala o kişi dışında başka kişiler içmiyor olabilir." diyerek bu teoreme itiraz edebilir; fakat yazımızın devamında görebileceğiniz üzere, bu teorem mantıksal olarak doğrudur.

Teoremin neden doğru olduğunu ve neden çoğu kişiye doğru gözükmediğinden yazımızın ilerleyen bölümlerinde bahsedeceğiz. Ancak bunlara geçmeden önce birkaç bilgiyi bilmemiz gerekli.

Maddi (Material) Koşul

Klasik (ve sezgisel) mantıkta kullanılan koşul maddi koşuldur. Bununla ne kast ettiğimizi klasik mantıkta $p\to q$ önermesinin doğruluk değerinin $p$ ve $q$ önermelerinin doğruluk değerlerine göre nasıl değiştiğini gösteren şu tabloyu inceleyelim:

Bu tabloda $p\to q$ önermesini "p ise q" olarak okuyacağız, $p$ ve $q$ yerine ise herhangi bir önerme getirebiliriz. p ve q önermelerinin doğru veya yanlış olmasına göre "p ise q" önermesinin doğruluğundan bahsedeceğiz. Bu tabloda ne kast edildiğini bir örnekle anlatalım:

Trump, 2017'de Amerika Birleşik Devletleri'nin başkanı ise, Türkiye'nin başkenti Ankara'dır.

Bu önermeyi şu şekilde düşünelim:

• $p$ : Trump 2017’de Amerika Birleşik Devletleri'nin başkanıdır.
• $q$ : Türkiye'nin başkenti Ankara'dır.
• $p\to q$ : Trump 2017’de Amerika Birleşik Devletleri’nin başkanı ise Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.

Bu durumda $p$ ve $q$ doğrudur çünkü Donald Trump 2017'de Amerika Birleşik Devletleri’nin başkanıdır ve Türkiye’nin başkenti Ankara'dır. O halde tablomuza göre $p\to q$ cümlesi, yani "Trump 2017’de Amerika Birleşik Devletleri’nin başkanı ise Türkiye’nin başkenti Ankara'dır." cümlesi de doğrudur.

Başka bir örnek vermek gerekise:

12 sayısı bir asal sayı ise su, H₂O moleküllerinden oluşur.

• $p$ : 12 sayısı bir asal sayıdır.
• $q$ : Su, H₂O moleküllerinden oluşur.
• $p\to q$ : 12 sayısı bir asal sayı ise su, H₂O moleküllerinden oluşur.

Bu durumda $p$ önermesi yanlış iken $q$ önermesi doğrudur çünkü 12 bir asal sayı değildir ve su, H₂O moleküllerinden oluşur. O halde tablomuza göre $p\to q$ önermesi yani "12 sayısı bir asal sayı ise su, H₂O moleküllerinden oluşur." cümlesi de doğrudur.

İlk örnekte $p$ önermesi doğru iken ikinci örnekte yanlıştır ancak $q$ önermesi ve $p\to q$ her iki önermede de doğrudur. Dolayısıyla doğruluk değeri tablosunda da görebileceğiniz gibi $q$ önermesinin doğru olması durumunda $p$ önermesinin doğru veya yanlış olmasından bağımsız olarak $p\to q$ önermesi doğrudur.

Bu olgu, yazımızın konusu olan teoremin neden doğru olduğunu anlamamızda kilit rol oynayacak iki şeyden biridir. Kilit rol oynayacak diğer olgu ise $p$ önermesinin yanlış olması durumunda $q$ önermesinin doğru veya yanlış olmasından bağımsız olarak $p\to q$ önermesi doğrudur; doğruluk değeri tablosunda bu olguyu da görebilirsiniz. Yazının devamı için bu iki olguyu da aklınızda tutmanız gerekmektedir çünkü her iki olgu da teoremimiz için kilit öneme sahiptir.

Bunları bildiğimize göre artık yazımızın konusu olan teoremimizin informal kanıtına geçebiliriz.

Teoremin Biçimsel Olmayan Kanıtı

Bahsedeceğimiz kanıt, biçimsel değildir; çünkü biçimsel kanıt belli aksiyomlardan çıkarım kuralları ile türetilen kanıtlardır. Yazıda bahsedeceğimiz kanıt bu tanıma uymamaktadır ancak neden teoremin doğru olduğunu anlamamız için yeterlidir.

Kanıtımıza geçerken ilk olarak şu önermenin bariz olarak doğru olduğunu fark etmemiz gerekir:

Ya bardaki herkes içiyordur ya da barda içmeyen en az bir kişi vardır.

Bu önermede kast edilen şey “"Bardaki herkes içiyordur." ve "Barda içmeyen en az bir kişi vardır." önermelerinden birisinin doğru olması gerektiğidir. Bunun neden böyle olduğunu görmek kolaydır: Eğer bardaki herkes içiyorsa barda içmeyen kimse yok demektir çünkü herkes içiyordur ve eğer barda içmeyen en az bir kişi var ise o zaman bardaki herkesin içtiğini söylemeyiz çünkü en az bir kişi içmiyordur.

İkinci olarak yazımızın başında "Barda öyle biri vardır ki eğer o içiyorsa bardaki herkes içiyordur." olarak yazdığımız teoremi daha farklı olarak şöyle ifade edelim:

Bardaki herkesin içmesi ve barda içmeyen en az bir kişinin olması durumlarının her ikisi için de öyle bir kişi bulabiliriz ki o kişi için “O kişi içiyorsa, bardaki herkes içiyordur” önermesi doğrudur.

O halde önermelerimizi şu şekilde ifade edersek,

• $p$ : O kişi içiyordur.
• $q$ : Bardaki herkes içiyordur.
• $p\to q$ : O kişi içiyor ise bardaki herkes içiyordur.

Bu ifade ettiğimiz önermeleri kanıtlamak için her iki durumu da ayrı ayrı ele alalım.

• 1. Durum: Bardaki herkes içiyordur, diğer bir ifade ile $q$ önermesi doğrudur.

O halde bardaki herhangi bir insan için "O kişi içiyorsa bardaki herkes içiyordur." önermesi doğrudur. Bunun sebebi yukarıda belirttiğimiz gibi $q$ önermesinin doğru olması durumunda $p\to q$ önermesinin de doğru olmasıdır.

• 2. Durum: Barda içmeyen en az bir kişi vardır; diğer bir ifade ile, $q$ önermesi yanlıştır.

O halde barda içmeyen herhangi bir kişi için "O kişi içiyorsa bardaki herkes içiyordur." önermesi doğrudur. Bunun sebebi diğer kilit rol oynayan olgu olan $p$ önermesinin yanlış olması durumunda $p\to q$ önermesinin doğru olmasıdır. Burada dediklerimizi yukarıda verdiğimiz tabloya bakarak kontrol edebilirsiniz.

Burada dikkat edilecek diğer bir husus "O kişi içiyordur." önermesini içmeyen bir kişi yerine içen biri için ele alırsak $p$ önermesi doğru olacağından "O kişi içiyorsa, bardaki herkes içiyordur." önermesinin de yanlış olacağıdır. Bunun sebebi tablodan da görebileceğiniz üzere $p$ önermesinin doğru ve $q$ önermesinin yanlış olması durumunda $p\to q$ önermesinin yanlış olmasıdır. Ancak bu olgu, yazımın konusu olan teoremimizi kanıtlamada herhangi bir engel teşkil etmemektedir; çünkü bizim istediğimiz şey, barda "O kişi içiyorsa bardaki herkes içiyordur." önermesini doğru kılacak bir kişinin olmasıdır ve 2. Durum için içmeyen bir kişi bu önermeyi doğru kılmak için yeterlidir.

Her iki durumda da gördük ki "O kişi içiyorsa bardaki herkes içiyordur." önermesini doğru kılacak bir kişi vardır. Bu iki durumdan birinin doğru olması gerektiğinden “Barda öyle bir kişi vardır ki eğer o kişi içiyorsa bardaki herkes içiyordur.” önermesinin de doğru olduğunu görürüz.

Paradoksun Açıklaması

Yazımızda klasik mantıkta kullanılan maddi koşulun ne olduğunu ve sandığımızın aksine İçen Teoremi’nin bu koşulla uyumlu olarak doğru olduğunu anlatmaya çalıştık. Yazımızın bu kısmında ise bu teoremin neden yanlış gibi gözüktüğünden bahsedeceğiz.

Teoremin yanlış gözükmesinin en temel sebebi günlük hayatımızda “ise” bağlacını çok farklı şeyler için kullanıyor oluşumuzdur. Örneğin iki şey arasında nedensellik ilişkisi olduğunu belirtmek için kullanabiliriz. Nedensel ilişki belirten cümleler için şöyle örnekler verebiliriz:

• Ağır bir şey kaldırırsan belini incitirsin.
• Çok sıcak çay içersen dilin yanar.
• Topa kuvvet uygularsan, kütlesi ile ters orantılı şekilde ivme kazanır.

Bu cümleleri nedensel ilişkiyi belirtecek şekilde ifade edebiliriz:

• Ağır bir şey kaldırman belini incitmene neden olur.
• Çok sıcak çay içmen dilinin yanmasına neden olur.
• Topa kuvvet uygulaman kütlesi ile ters orantılı şekilde ivme kazanmasına neden olur.

Ancak teoremimizde verdiğimiz cümle, yani “Barda öyle bir kişi vardır ki o kişinin içmesi herkesin içmesine neden olur.” cümlesi bize sezgisel olarak yanlış gelecektir ve pek çok kişi yazının başında verdiğimiz teoremi okurken bu şekilde anladıkları için teoremin de yanlış olduğunu düşüneceklerdir. Halbuki yazımızda belirttiğimiz gibi teoremde kullanılan “ise” klasik mantıkta kullanılan maddi koşulu belirtmek için kullanılan bir çıkarsama kuralıdır.

"ise" bağlacını kullandığımız başka bir önerme türü ise karşı olgusal (İng: "counterfactual") koşullu önermelerdir. Örnek olarak: "A bir üçgen ise A üç kenara sahiptir." önermesini verebiliriz. Burada nedensel bir ilişki yoktur çünkü A’nın bir üçgen olması A’nın üç kenara sahip olmasına neden olmamıştır. Üçgen olmak ile üç kenara sahip olmak arasındaki ilişki üçgenin tanımındadır. Bu önerme, karşı olgusal koşullu önermemizin sebebi A’nın bir üçgen olmaması durumunda A’nın üç kenara sahip olmadığını söylediği içindir. Teoremde kullanılan maddi koşulda karşı olgusal durumlardan söz edilmez.

Sonuç

Görebileceğiniz gibi mantık ve dil arasındaki ilişki, kimi zaman sezgisel olarak bizi yanıltabilir. Bu nedenle dile ve mantık kurallarına dikkatli yaklaşmak büyük öneme sahiptir. Eğer zihninizi bu yazımızda öğrendiklerinizle biraz daha zorlamak istiyorsanız, "Gelmiş Geçmiş En Zor Mantık Sorusu"nu cevaplamaya çalışabilirsiniz.