MONTY HALL PROBLEMİNDEN YOLA ÇIKARAK DEĞER-AĞIRLIKLI KÜMELEME VE ORTALAMA MUTLAK SAPMA TEMELLİ OLASILIK MODELİ

MONTY HALL PROBLEMİNDEN YOLA ÇIKARAK

DEĞER-AĞIRLIKLI KÜMELEME VE ORTALAMA MUTLAK SAPMA TEMELLİ OLASILIK MODELİ

Tarih: Ağustos 2026

Çalışma Türü: Teorik ve deneysel araştırma

ÖZET

Bu çalışmada klasik Monty Hall probleminden hareketle, farklı parasal değerlere sahip kapıların belirli koşullar altında olasılık bakımından geçici olarak özdeş kabul edilebileceği bir model önerilmektedir.Klasik Monty Hall probleminde iki kapının aynı tür ödülü taşıması, bu kapıların aynı olasılık kümesinde değerlendirilmesini sağlar. Bu çalışmada ise kapıların gerçek değerlerinin aynı olması şartı kaldırılmakta; bunun yerine belirli bir matematiksel sınır içerisinde bulunan değerlerin kısa süreliğine olasılık bakımından özdeş kabul edilebileceği öne sürülmektedir.Modelin temel örneği 1 $, 400 $ ve 1.000 $ değerlerinden oluşmaktadır. Buradaki amaç, 400 $ ile 1.000 $'ın parasal olarak eşit olduğunu iddia etmek değildir. Amaç, belirli bir değer aralığında bu iki kapının Monty Hall'daki özdeş kapılar gibi aynı olasılık kümesinde değerlendirilebileceğini araştırmaktır.Küme sınırının belirlenmesi için ortalama mutlak sapma kullanılmaktadır. Ancak bu yöntemin sınırı kesin olarak belirleyemeyebileceği ve daha gelişmiş bir matematiksel yönteme ihtiyaç duyulabileceği de kabul edilmektedir.

1. MONTY HALL PROBLEMİNDEN YOLA ÇIKIŞ

Klasik Monty Hall probleminde üç kapı bulunmaktadır.Bir kapının arkasında değerli ödül, diğer iki kapının arkasında ise aynı türden değersiz ödül vardır.Yarışmacı bir kapı seçtiğinde, seçtiği kapının değerli ödülü taşıma ihtimali yaklaşık %33, diğer iki kapının toplam ihtimali ise yaklaşık %66'dır.Sunucu, değersiz ödül bulunan kapılardan birini açar ve geriye iki kapı bırakır.

Buradaki önemli nokta şudur:İki değersiz kapı özdeştir.Bu çalışma, tam olarak bu mantığı farklı parasal değerlere uygulamayı amaçlamaktadır.

Soru şudur:Gerçek değerleri farklı olan iki kapı, belirli koşullar altında Monty Hall'daki özdeş kapılar gibi kabul edilebilir mi?

2. DEĞERLERİ GEÇİCİ OLARAK ÖZDEŞLEŞTİRME

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Örneğin elimizde:

1 $ — 400 $ — 1.000 $ değerlerine sahip üç kapı olduğunu düşünelim.Bu değerler gerçek anlamda birbirine eşit değildir.Ancak bir milyon dolarlık bir sistem içerisinde 999.000 $ ile 1.000.000 $ arasındaki farkın çok küçük kabul edilebilmesi gibi, daha genel bir sistemde de birbirine yeterince yakın kabul edilen değerler bulunabilir.

Örneğin:

1.000 $ ve 999 $ arasında neredeyse fark olmadığı düşünülebilir.

Aynı mantık:

1.000 $ ve 980 $

için de,

hatta uygun bir sistemde:

1.000 $ ve 800 $

ve daha geniş bir sınır kabul edildiğinde 1.000 $ ve 500 $ için bile düşünülebilir.Ancak burada önemli bir problem ortaya çıkar:Bu özdeşleştirme işleminin sınırı nerede bitmektedir?İşte çalışmanın temel matematiksel problemi budur.Bu nedenle çalışmada değerlerin hangi noktaya kadar birbirine yakın kabul edilebileceğini belirlemek için ORTALAMA MUTLAK SAPMA önerilmektedir.

3. ORTALAMA MUTLAK SAPMA VE KÜMELEŞTİRME

Bu çalışmada kapı değerlerinin birbiriyle olan ilişkisini belirlemek için değer aralıklarının basitçe orta noktasını almak yerine, değerlerin sistemin merkezinden ne kadar uzaklaştığı incelenmektedir.

Örneğimiz:

1 $ — 400 $ — 1.000 $ olsun.

Agora Bilim Pazarı

Palme 4.Sınıf Akıl Kodları Deneme Sınavları

Devamını Göster

₺480,00

Satın Al Tüm Ürünler

Öncelikle aritmetik ortalama:

(1 + 400 + 1.000) / 3 = 467 $ olarak bulunur.

Değerlerin ortalamadan mutlak uzaklıkları:

1 $ → 466 $

400 $ → 67 $

1.000 $ → 533 $ olur.

Bunların ortalaması:

(466 + 67 + 533) / 3 = 355,33 $ şeklindedir.

Bu değer ortalama mutlak sapmadır.Bu yöntemle sistemin yaklaşık sınırı belirlenmeye çalışılır.

Ancak burada önemli bir sınırlama vardır:Ortalama mutlak sapma, bu sınırı nokta atışı ve evrensel biçimde belirleyen kesin bir yöntem olarak görülmemektedir.Yalnızca hangi değerlerin birbirine yakın kabul edilebileceğini belirlemek için kullanılabilecek bir matematiksel yaklaşım olarak önerilmektedir.

4. ORTAK KÜMELERİN OLUŞTURULMASI

Modelin temel kuralı oldukça basittir:

1. Değerlerin sistemdeki konumu belirlenir.

2. Ortalama mutlak sapma ile yaklaşık bir sınır oluşturulur.

3. Bu sınırın altında veya üstünde kalan değerler belirlenir.

4. Aynı tarafta bulunan değerler ortak bir kümeye alınır.Burada amaç değerleri parasal olarak eşitlemek değildir.

Amaç:

Aynı kümede bulunan kapıları, Monty Hall problemindeki özdeş kapılar gibi olasılık bakımından eşdeğer (özdeş)kabul etmektir.Dolayısıyla örneğimizde modelin kümeleme yaklaşımı:

1 $ → Sıradanlar

400 $ + 1.000 $ → Soylular

şeklinde değerlendirilmektedir.Böylece 400 $ ile 1.000 $ gerçek anlamda eşit olmamasına rağmen aynı olasılık kümesinin üyeleri haline gelir.

5. SIRADANLAR VE SOYLULAR

Çalışmada iki küme kullanılmaktadır:

SIRADANLAR KÜMESİ Belirlenen sınırın alt tarafında kalan kapılardır.

SOYLULAR KÜMESİ Belirlenen sınırın üst tarafında kalan kapılardır.Bu isimler kapıların iyi veya kötü olduğunu ifade etmez.Bunlar yalnızca modelde kullanılan iki farklı olasılık grubunun isimleridir.

Örneğin:

1 $ → Sıradanlar

400 $ → Soylular

1.000 $ → Soylular

olduğunda 400 $ ile 1.000 $ aynı kümeye ait oldukları için model açısından geçici olarak özdeş kabul edilir.

6. KÜME OLASILIĞININ KORUNMASI

Modelin önemli varsayımlarından birisi, tıpkı Monty Hall deneyinde özdeş kabul edilen kapıların olasılıklarının sonraki süreçtede de aynı kalması gibi kümelere verilen olasılık değerlerinin sonraki süreçte de bozulmaması gerektiğini öne sürmektedir.(burdaki olasılığın değişmemesi süreci tıpkı Monty Hall deneyinde özdeş olan kapıların olasılıklarını birbirlerine aktarması gibi ait oldukları kümenin olasılığını korumalarında öne gelmektedir.Zaten bu korunma sayesinde monty hall deneyinde bizim seçtiğimiz kapı yüzde 66 lık ihtimalle boş kapı oluyor.)Örneğin ilk kümeleme sonucunda:

Sıradanlar → yaklaşık %33

Soylular → yaklaşık %66

şeklinde bir yapı oluştuğunu düşünelim.Buradaki değerlerin kesin olarak %66 ve %33 olduğu iddia edilmemektedir.Bunlar modelin yaklaşık teorik değerleridir.Asıl önemli olan, kümenin taşıdığı olasılık ağırlığının sonraki aşamaya aktarılmasıdır.Yani bir kapı açıldığında:Kümenin olasılık ağırlığının yok olmadığı, sonraki kümelemede o kümeyi temsil eden kapıya veya kapılara aktarılmaya devam ettiği varsayılmaktadır.

7. BİR KAPI AÇILDIKTAN SONRA YENİ KÜMELEŞTİRME

Bir kapı açıldığında artık sistemdeki kapıların tamamı aynı değildir.Çünkü elimizde daha az kapı kalmıştır.Bu nedenle kalan kapılar için yeniden kümeleme yapılır.Örneğin başlangıçta:

1 $ — 400 $ — 1.000 $ bulunsun.

İlk aşamada:1 $ → Sıradanlar (ortalam mutlak sapma altındakiler)

400 $ + 1.000 $ → Soylular (ortalama mutlak sapma üztündekiler)şeklinde bir yapı oluşsun.Daha sonra bir kapı açıldığında kalan kapılar yeniden değerlendirilir.Yeni sistemin ortalaması ve ortalama mutlak sapması yeniden hesaplanır.

Ardından:

Yeni değerler → yeni sapma → yeni sınır → yeni kümeler

oluşturulur.Fakat önceki aşamada oluşan yaklaşık %66'lık ve %33'lük küme olasılığı ağırlığının korunmaya devam ettiği varsayılır. (Bu olasılık kendisini monty Hall deneyinde özdeş kabul ettiğimiz kapılarda da gösterir.)Örneğin yeni aşamada Soylular kümesinde yalnızca bir kapı kaldıysa, yaklaşık %66'lık ağırlığın o kapı tarafından temsil edildiği kabul edilir.Böylece:Yeni kümeleme yapılır, fakat kümenin taşıdığı olasılık ağırlığı korunur.

8. SON İKİ KAPI KALDIĞINDA

Model özellikle son iki kapı kaldığında uygulanmaktadır.Çünkü bu aşamada bizim kapımızın hangi değer olabileceği artık kalan iki kapıyla sınırlandırılmıştır.

Örneğin geriye:

1 $ ve 400 $ kaldığını düşünelim.

Yeni kümelemenin sonucunda:1 dolarlık kapının ortalama mutlak sapmanın altında kalması ve 400 dolarlık kapının ortalama mutlak sapma değerinin üstünde kaması sebebiyle

1 $ → Sıradanlar kümesine,

400 $ → Soylular kümesine mensup olmaktadır olarak belirlenirse, Soylular kümesine ait yaklaşık %66'lık olasılık ağırlığının 400$'lık kapıya aktarılması beklenir.

Bu nedenle model:

400$'ın olasılığı >1 $'ın olasılığı sonucunu öne sürmektedir.Ancak burada kesin olarak %66 denmemektedir.

Daha doğru ifade:400 $'lık kapının olasılığının 1 $'lık kapının olasılığından yüksek olması ve yaklaşık %66'lık küme ağırlığına yakın bir değer göstermesi beklenmektedir.şeklindedir.

Aynı şekilde:400 $ ve 1.000 $kaldığında, ikisi önceden aynı kümeye dahil olmasına rağmen şuanda ikiside yeniden kümelendirilecektir ve yeni ortalama mutlak sapma değerinin üstünde olan 1000 dolar değerindeki kapının şuanda Soylular kümesine mensup olmuş olması sebebiyle de bizim kapımızın 1000 dolarlık kapı olma ihtimali yüzde 66 olacaktır.

9. OLASILIKLARIN KESİN DEĞİL, YAKLAŞIK OLMASI

Çalışmanın önemli noktalarından biri, teorik sonuçların kesin yüzdeler olarak sunulmamasıdır.

Örneğin: Sıradanlar ≈ %33

Soylular ≈ %66 denilebilir.

Ancak:Sıradanlar kesin olarak %66'dır veya Soylular kesin olarak %33'tür denilemez.Çünkü kullanılan küme sınırı bir model önerisidir ve ortalama mutlak sapma bu sınırı yalnızca yaklaşık olarak belirlemektedir.Buna rağmen model bazı değerler arasında olasılıksal sıralamalar öne sürebilmektedir.

Örneğin:

400 $'ın olasılığı > 1 $'ın olasılığı gibi karşılaştırmalar yapılabilir.Bu nedenle model açısından yalnızca yüzdeler değil, olasılıkların birbirlerine göre sıralanması da önemlidir.

10. DENEYSEL TEST

Bu modelin öne sürdüğü olasılık ilişkileri yazar tarafından gerçek rastgele seçimlere dayanan deneysel çalışmalarla test edilmiştir.Deneylerde özellikle:

1 $ — 400 $ — 1.000 $

değerleri kullanılmıştır.Deneylerde son iki kapı kaldığında “Benim Kapım” ve “Diğer Kapı” ayrımı yapılmış ve hangi değerlerin hangi tarafta kaldığı kaydedilmiştir.

Bu deneylerin amacı:

kümelerin öne sürdüğü olasılık sıralamasını,1 $, 400 $ ve 1.000 $ değerlerinin son iki kapıdaki dağılımını,aynı kümeye alınan değerlerin gerçekten birbirine benzer olasılık davranışı gösterip göstermediğini incelemektir.Yapılan deneylerde modelin öne sürdüğü bazı olasılık ilişkileriyle uyumlu sonuçlar gözlemlenmiştir.Ancak gerçekleştirilen deney resmî veya bilimsel olarak doğrulanmış bir deney niteliğinde değildir.Bu nedenle elde edilen sonuçlar model için yalnızca deneysel destek olarak değerlendirilmelidir.Daha geniş örneklemli, kontrollü ve tekrarlanabilir deneylere ihtiyaç vardır.

11. MODELİN SINIRLARI VE GELECEK ÇALIŞMALAR

Bu modelde ortalama mutlak sapma, değerlerin hangi noktaya kadar birbirine yakın kabul edilebileceğini belirlemek amacıyla kullanılmaktadır.Fakat bunun kesin sınırı nokta atışı olarak verdiği iddia edilmemektedir.

Örneğin 1.000 $ ile:

999 $ arasındaki farkın çok küçük olduğu düşünülebilir.

Benzer şekilde:

980 $, 800 $ veya 500 $ gibi değerlerin hangi koşullarda 1.000 $ ile aynı kümede değerlendirilebileceği sorusu ortaya çıkmaktadır.Dolayısıyla gelecekte şu soru araştırılmalıdır:Değerlerin olasılık bakımından özdeş kabul edilebileceği gerçek matematiksel sınır nedir?Ortalama mutlak sapma bu soruya yaklaşmak için kullanılabilecek yöntemlerden yalnızca biridir.Daha kesin bir sınır için yeni bir matematiksel denklem veya farklı bir istatistiksel yöntem geliştirilmesi gerekebilir.

12. SONUÇ

Bu çalışmada klasik Monty Hall problemindeki özdeş kapılar mantığı, farklı parasal değerlere sahip kapılara uygulanmaya çalışılmıştır.

Modelin temel düşüncesi şudur:Kapıların gerçek değerleri aynı olmak zorunda değildir. Belirli bir matematiksel sınır içerisinde aynı kümeye dahil ediliyorlarsa, o aşamada olasılık bakımından geçici olarak özdeş kabul edilebilirler.

Bu nedenle:

400 $ ve 1.000 $aynı kümeye dahil olduklarında model açısından geçici olarak özdeş kabul edilir.Kümeler, ortalama mutlak sapma kullanılarak belirlenmektedir.

Ancak ortalama mutlak sapmanın yalnızca yaklaşık bir sınır sunduğu ve kesin bir matematiksel çözüm olmadığı kabul edilmektedir.Model ayrıca bir kümenin başlangıçta sahip olduğu yaklaşık %66 / %33'lük olasılık ağırlığının, sonraki aşamalarda yeni kümeleme yapılmasına rağmen korunacağını öne sürmektedir.Son iki kapı kaldığında ise asıl amaç, hangi kapının hangi kümeyi temsil ettiğini belirlemektir.

Örneğin:

1 $ ve 400 $kaldığında ve 1 $ Sıradanlar, 400 $ Soylular olarak sınıflandırıldığında:400 $'ın olasılığı > 1 $'ın olasılığıolması beklenmektedir.

Sonuç olarak bu çalışma kesin bir olasılık yasası ortaya koyduğunu değil, Monty Hall'daki özdeş kapı mantığının değerleri farklı kapılara, kümeleme ve ortalama mutlak sapma aracılığıyla uygulanıp uygulanamayacağını araştıran teorik ve deneysel bir model sunduğunu ileri sürmektedir.Modelin deneysel sonuçları aşağıda ayrıca sunulmuştur.

DENEYSEL SONUÇLAR(sona kalan iki kapı için)

Sona kalmış olan 1000 ve 1 dolarlık kapı değerleri için -----> toplam 24 kez 1000 dolarlık kapı seçilmiştir ve 24 kez de 1 dolarlık kapı seçilmemiş olan diğer kapı olmuştur llllll toplam 10 kez 1 dolarlık kapı seçilmiş 10 kez de 1000 dolarlık kapı seçilmemiş olan diğer kapı olmuştur.

Sona kalmış olan 1000 dolarlık ve 400 dolarlık kapı değerleri için ----> toplam 19 kez 1000 dolarlık kapı seçilmiş ve 19 kez de 400 dolarlık kapı seçilmemiş olan diğer kapı olmuştur llllll toplam 15 kez 400 dolarlık kapı seçilmiş 15 kez de 1000 dolarlık kapı seçilmemiş diğer kapı olmuştur.

Sona kalmış olan 400 dolarlık ve 1 dolarlık kapı değerleri için ---->toplam 13 kez 1 dolarlık kapı seçilmiş ve 13 kez de 400 dolarlık kapı seçilmemiş olan diğer kapı olmuştur llllll toplam 18 kez 400 dolarlık kapı seçilmiş ve 18 kez de 1 dolarlık kapı seçilmemiş olan diğer kapı olmuştur.Deney tam 100 kez tekrar edilmiş kapılar yerine üstüne değerlerin yazılmış olduğu tamamıylen birbirinin aynısı olan kağıtlar kullanılmıştır.Deneyde bir kişi kağıtları rastgele karıştırırken diğer kişi 3 kağıttan rastgele birini seçmiştir ve deneyde rastgeleliğe önem verilmiştir.[Not: Bu değerler değerler üzerinde herhangi bir oynama yapılmamıştır.]

Deneyin phyton koduyla test edilmesi birtakım hatalara sebebiyet verebilir bilgisayar tarafından oluşturulan rastgelelik, gerçek hayattaki fiziksel rastgelelikle tamamen aynı koşulları sağlamak zorunda değildir. Bu nedenle yalnızca bilgisayar simülasyonunda elde edilen sonuçların, modelin gerçek dünyadaki olasılık davranışını kesin olarak doğruladığı söylenemez.Bu yüzden modelin gerçek anlamda sınanması için gerçek rastgele seçimlerle gerçekleştirilen fiziksel deneylere ihtiyaç vardır.Bu çalışmada yazar tarafından gerçekleştirilen deney de bu nedenle bilgisayar simülasyonu olarak değil, gerçek rastgele seçimlere dayanan bir deney olarak yapılıp sunulmuştur.Ancak deneyin bilimsel anlamda resmî bir doğrulama niteliğinde olmadığı özellikle belirtilmelidir. Daha geniş örneklemli ve kontrollü deneylerle sonuçların yeniden test edilmesi gerekmektedir. çünkü phyton kodları deneyi yüzde yüz bir rastgelelikte sunamamaktadır.