Burada normal kombinasyon mantığını kullanabiliriz. Yani tüm olası durumlardan, ardışık üç harfin aynı olma durumunu çıkarırsak cevaba ulaşabiliriz.
Tüm olası durumları bulmak kolay:
Bunlardan, üç ardışık aynı harfin bulunduğu düzenlemeleri hariç tutmalıyız.
Daha sonra, üç ardışık aynı harften oluşan bir bloğun göründüğü düzenlemelerin sayısını sayıyoruz. Ardışık üç harften oluşan blokta hangi harfin görüneceğini seçmenin üç yolu vardır. Üç aynı harften oluşan bloğu tek bir nesne olarak ele alırsak, blok ve diğer altı harf olmak üzere düzenleyecek yedi nesnemiz olur. Bu altı harf üç özdeş harften oluşan iki set içerdiğinden, üç ardışık harften oluşan bir blok içeren düzenlemelerin sayısı olur.
Ancak, ardışık aynı harflerden oluşan iki bloğun iki kez göründüğü düzenlemeleri saydık.
Daha sonra, ardışık üç aynı harften oluşan iki bloğun göründüğü düzenlemeleri sayacağız. Ardışık üç harften oluşan bloklarda hangi iki harfin görüneceğini seçmenin üç yolu vardır. Her bloğu bir nesne olarak ele alırsak, iki blok ve diğer üç harf olmak üzere düzenleyecek beş nesnemiz olur. Diğer üç harf özdeş olduğundan, üç ardışık harften oluşan iki blok içeren düzenlemelerin sayısı
olur. Üç özdeş harften oluşan bir bloğun yer aldığı düzenlemelerin sayısına ilişkin ilk sayımızdan, üç özdeş harften oluşan iki bloğun yer aldığı düzenlemelerin sayısını çıkarırsak, üç özdeş harften oluşan üç bloğun yer aldığı düzenlemeleri önce üç kez sayıp sonra üç kez çıkardığımız için saymamış oluruz.
Ardışık üç özdeş nesneden oluşan üç bloklu düzenlemelerin sayısı 'dir.
Dahil Etme-Dışlama İlkesi uyarınca, birbirini izleyen üç harften oluşan en az bir bloğun yer aldığı düzenlemelerin sayısı
bulunur. Toparlarsak çözüm:
olarak bulunur.
Bu soruyu genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının üretici fonksiyonunu kullanarak da çözebiliriz. Ama bu çözümde Wolfram Alpha'dan yardım almak zorunda kalacağımız için bundan bahsetmeyeceğim.
