0.(9) sayısı tam olarak 1'e eşittir. Devirli sayıları kesirli formata çevirmekte kullanılan formülü uygulayacak olursak da bu sayının 9/9 şeklinde geleceğini görebiliriz.
Bunu bu şekilde kabul etmekteki zorluğu anlıyorum. Sezgisel olarak 0.9999 diye giden bir sayının bir noktada 1'den hep küçük olması gerektiğini düşünüyoruz. Matematiksel olarak eksik olsa da aşağıdaki gibi bir yaklaşımla bunun neden böyle olduğu hakkında fikir edinebiliriz.
a = 0.999... şeklinde bir sayımız olsun. Bunu 10 ile çarpınca virgül bir sağa kayar ve
10a = 9.999... elde ederiz. Bunları karşılıklı şekilde çıkarırsak da şu sonuç gelir
10a - a = 9.999... - 0.999...
9a = 9
a = 1. En başta a = 0.999... demiştik, yani
a = 1 = 0.999...
Veya başka bir açıdan bakalım.
1 - 0.999... = 0.000...1 şeklinde, virgülden sonra sonsuz tane 0, en sonunda bir tane 1 olan bir sayı verdiğini varsayalım. Buna b diyelim.
b = 0.000...1 yine bunu 10 ile çarparak virgülü bir sağa kaydıralım. Virgülden sonra sonsuz sıfır olduğu için virgülü bir sağa kaydırmak sonucu değiştirmez.
10b = 0.000...1
b = 10b sonucuna ulaşırız. Yani b = 0'mış.
Ama dediğim gibi bunlar sezgisel olarak bizi ikna etse de tam anlamıyla bir matematiksel ispat sayılmaz. Çünkü öncesinde 0.999... sayısının ne olduğunu tanımlamamız gerekir. Bu aslında bir limit hesabıdır.
Serisinin terimleri 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... şeklinde devam eder. Bu serinin toplamını bir limit hesabıyla hesaplayabiliriz ve sonucu 1 çıkıyor. Umarım açıklayıcı olmuştur.
