Sanal yani (imajiner)sayılar karekökte (-) sayıların çıkmasının imkânsızlığında türettiğimiz soyut asıllı sayılardır ve eğer fizik denklemleri de temelde karekök (-)'li sayılar oursa bu mümkün pluna bilir peki bu mümkünmü elbette mümkün tabikide mantığıyla beraber örneği;Karmaşık sayılar ile hızlı hesaplar
Örneğin alfa (α) gibi bir gerçek sayı alın, i ile çarpın ve bunu üstel fonksiyon olarak yazın (eαi). Ne elde edersiniz? Karmaşık sayılar düzleminde eαi sayısı çapı 1 birim olan bir dairenin kenarı, yani onu saran çember üzerinde yer alır. eαi çemberi oluşturan sonsuz sayıdaki noktalardan biri olur ve α değeri artarken diğer noktalara da karşılık gelir. Böylece çemberin tamamını çizersiniz (resme bakın). Özetle eαi üstel fonksiyonu karmaşık sayılardan oluşur.
Peki bu sayının sadece gerçek veya sanal bileşenini alırsanız ne olur? O zaman resimdeki gibi bir salınım elde edersiniz. Resimdeki kırmızı ve yeşil noktalar karmaşık sayının değeri artarken gerçek ve sanal bileşenlerin salınımlarına karşılık gelir. Beyaz nokta tabii ki karmaşık sayının kendisidir. Nitekim bu karmaşık üstel fonksiyonu kosinüs (α) + i.sinüs (α) toplamıyla gösteririz ancak dahası var:
eαi ve eβi gibi iki karmaşık üslü sayı alıp bunları çarparsanız (eαi . eβi) bunun sonucunu hesaplamak için üslü kısımları toplamak yeterli olur: e(αi + βi). Karmaşık sayı kısmını saymazsanız bu da okuldan alışık olduğumuz basit bir matematik işlemidir. Oysa cos (α) . cos (β) ile cos (β) . cos (α) çarpımları birbirine eşit değildir. Bu işlemler 2 x 3 ile 3 x 2 gibi aynı sonucu vermez. Bu nedenle bir fizik denklemini karmaşık sayılarla hesaplarız. Oysa denklemin çözümünü ya gerçek sayı ya da sanal sayı olarak alı[1]rız.
