Fizikte neden bir çok nicelik uzaklığın karesi ile ters orantılıdır?

Bu sorunun yanıtı aslında geometride ve alan teorisinde saklı. Soruda örneğini verdiğiniz elektriksel kuvveti Gauss Yasasından yararlanarak Elektriksel Alan ile bulabiliriz. Burada noktasal bir yükün etrafına çizeceğimiz hayali küresel bir kabuk içinden geçen elektriksel alan çizgilerinin oluşturduğu elektriksel akıyı hesaplıyoruz. İşte burada ters kare kuvvet gerçeği karşımıza çıkıyor.

Daha anlaşılır bir biçimde ifade edeyim... Bir cisimden d kadar uzakta olduğumuzu düşünelim. O cisimden gelen veya o cisme yönelmiş olan alan çizgileri, uzayda üç boyutta yayılır. Cisim üzerinde tek bir noktadadır. Ancak cisimden uzaklaştıkça seyrelir. Her yönde d kadar uzaklıktaki bu alan çizgilerine dik olan yüzeyi çizerseniz, size bir küre kabuğu şekli çıkar. Bunu bir kürenin merkezinden her yöne üç boyutta çizilen yarıçap çizgileri gibi düşünebilirsiniz. Bu çizgiler ile o küre kabuğu birbirine her zaman diktir.

Wikimedia

Amacımız, o kabuğun birim alanından geçen çizgi sayısını belirlemek. Biz buna akı diyoruz. Bu akı, o alanın büyüklüğü ile kuvvetin çarpımı şeklindedir. Bu değer, yalnızca içerideki yükün miktarına ve elektriksel geçirgenliğe bağlıdır. Yani sabittir. Akının hesaplandığı küre yüzeyini, yükten d değil de 2d kadar uzağa götürdüğünüzde, aynı sayıda alan çizgisi, 4 kat büyük alandan geçer. Bunu benzer üçgenleri üç boyutlu düşünerek çözebilirsiniz. Veya tabanı kare olan bir üçgen prizmanın yüksekliğini iki katına çıkardığınızda taban alanının 4 katına çıktığını görebilirsiniz. Yani aynı miktar alan için, almanız gereken küre kabuğu alanı 4'te bir'e düşer. Elektriksel alan ile elektriksel kuvvet doğru orantılıdır. İşte kuvvet de bu nedenle uzaklığın karesiyle ters orantılı olmak zorundadır.