Virial Teoremi Nedir? Matematiksel Temelleri Nelerdir?

Virial teoremi; kendi kütleçekimi altında çökerek homojen kütle dağılımına sahip küresel bir yapı şeklinde dengeye gelmiş bir cismin toplam kinetik enerjisinin kütleçekimsel enerjisinin yarısına eşit olacağını ifade eder. Daha basit bir ifadeyle; hidrostatik dengedeki bir yıldızın kütleçekimsel enerjisinin yarısı, gazı ısıtmak üzere termal enerji olarak harcanır.

$U$ termal enerji ve $\Omega$ kütle çekimsel potansiyel enerji olmak üzere aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

$U=-\frac{\Omega }{2}$

Eğer yıldız hidrostatik denge durumunda değilse, bu durumda bir eşitlikten söz edilemez. Kütleçekimsel enerjinin fazla olması durumunda, yıldız çökmeye devam edecek ve bu süreçte de dengeye gelene kadar gazı ısıtmaya devam edecektir. (Ayrıca bkz. Jeans Kriterleri)

Virial Teoremi Denkleminin Elde Edilişi

Hidrostatik denge durumundaki bir yıldız için şu denklem yazılabilir:

$\frac{\text{dP}}{\text{dr}}=-\frac{\text{GM(r)}\rho (\text{r})}{r^2}$

Bu denklemi aşağıdaki ifade ile çarpalım:

$\frac{4}{3}\pi r^3\text{dr}$

Böylece şu denklemi elde edeceğiz:

$\frac{4}{3}\pi r^3\text{dP}=-\frac{4}{3}\pi r^3\text{GM(r)}\rho (\text{r})\text{dr}$

Birim kütle elemanı $\text{dM}$ ise birim alan ile yoğunluğun çarpımı olarak ifade edilebildiğinden şöyle yazılabilir:

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

$\text{dM}=4\pi r^2\rho (\text{r})\text{dr}$

İlgili katmanın hacmiyse aşağıdaki gibidir:

$\text{V}=\frac{4}{3}\pi r^3\text{dr}$

Bu halde, (4) numaralı denklem, (3) numaralı denklemde solundaki ifade yerine; (5) numaralı denklem ise (3) numaralı denklemde sağdaki ifade yerine yazılırsa, (3) numaralı denklem aşağıdaki şekle gelir:

$\text{VdP}=-\frac{\text{GM(r)}}{3r}\text{dM}$

Eğer yıldızın kütlesi boyunca integral alırsak, kütle çekimsel potansiyel şöyle bulunur:

$\Omega =-{\int }_0^M\frac{\text{GM(r)}}{r}\text{dM}$

${\int }_0^V\text{PdV}=\frac{1}{3}{\int }_0^M\frac{\text{GM(r)}}{r}\text{dM}$

$3{\int }_0^V\text{PdV}=-\Omega$

İdeal gaz yasasına göre, $T$ sıcaklığına sahip bir gaz içerisindeki parçacıkların kinetik enerjileri $3kT/2$'dir. Bu durumda termal enerji $ϵ$ şöyle yazılır:

$ϵ=\frac{3\text{NkT}}{2V}$

Gazlarda basınç için bildiğimiz $PV=NkT$ ifadesini, $ϵ$ cinsinden, $P=2ϵ/3$ olarak yazabiliriz. Bu durumda (9) numaralı ifade aşağıdaki şekilde yazılabilir:

$\Omega =-2{\int }_0^Vϵ\text{dV}$

Bu ifadedeki integral kısmı, yıldızın toplam termal enerjisi $U$'yu ifade eder. Böylelikle bu büyüklük şöyle yazılabilir:

$U=-\frac{\Omega }{2}\text{ veya }2U+\Omega =0$