Bu önermeye Arşimet Özelliği denir.
"Her gerçel sayıdan büyük bir doğal sayı vardır." ya da ,
"Eğer sıfırdan büyük bir gerçel sayı , bir gerçel sayı ise "n * e > x " şeklinde bir doğal sayısı mevcuttur."
Kanıt :
Teoremin doğru olmadığını varsayarak başlayalım.
Her n doğal sayısı için n*e çarpımının x'den küçükeşit olduğunu düşünelim. Yani her n doğal sayısı için , x/e 'den küçük eşit olma kıstası mevcut olsun. Bu durumda , Doğal sayılar kümesi "x/e" denilen bir ifadeyle üstten sınırlı durumdadır , doğal sayılar sınırlandırılmış bir kümedir.
Ama , biliyoruz ki üstten sınırlı bir kümenin en küçük üst sınırı , o kümenin bir elemanı olmak zorundadır. Yani x/e , bu kümenin dışında ve bu kümenin üst sınırlarından biri ama en küçüğü değil , ama bu kümenin bir sınırı var. (bu en küçük üst sınıra eküs diyelim) Demek ki "en büyük doğal sayı" diye tanımlanacak bir sayımız var ve daha büyüğü bir doğal sayı değil. O zaman bu eküs'ün bir fazlasının doğal sayı olmaması gerekiyor , bu da eküs+1 diye bir şey yok demektir , ama bu bir doğal sayıdır. (çelişki)
Yanlış olduğunun yanlışlanması , teoremin doğruluğunu gösterir. Her gerçek sayıdan büyük bir doğal sayı vardır.
Kaynaklar
- Yazar Yok. Analiz 1 - Ali Nesin . (23 Nisan 2020). Alındığı Tarih: 23 Nisan 2020. Alındığı Yer: Bağlantı | Arşiv Bağlantısı
