Neden sonsuzların hepsi farklı büyüklükte?

Merhaba,

Bu çok ucu açık bir soru çünkü büyüklükten kastınızın ne olduğu net değil. Burada bir tahminde bulunup büyüklükten kastınızın kümenin kardinalitesi (eleman sayısı) olduğunu varsayacağım. Ayrıca sizin eğitim durumunuzu bilmeden cevaplaması da hayli zor. Bu sebeple lise öğrencisiymişsiniz gibi cevaplamaya çalışacağım. Öncelikle sonsuzların hepsi farklı büyüklükte değil. İki farklı büyüklükte sonsuz vardır.

Sonsuzlar İkiye Ayrılır: Sayılabilir/Sayılamaz

Formal bir tanım vermeden önce daha kolay anlaşılabilir sözel bir açıklamayla başlayalım. Bu isimlendirme kendi kendini tanımlıyor. Eğer sonsuz elemanlı bir kümenin elemanlarını sayabiliyorsak o kümenin kardinalitesi sayılabilir sonsuzdur. Eğer sayamıyorsak sayılamaz sonsuzdur. Bu sözlü tarifte dikkat edilmesi gereken nokta sayılabilir olmanın sayma işinin bitirilebilir olduğu anlamına gelmediğidir. Örneğin pozitif doğal sayılar kümesi aynı zamanda sayma sayıları olarak da bilinir ve adı üzerinde, saymak için kullanıldıklarından dolayı kardinalitesi sayılabilir sonsuzdur, ancak bu kümenin elemanlarını sayma işini bitirmemiz mümkün değildir çünkü her doğal sayıdan büyük başka bir doğal sayı mutlaka vardır. Dikkatimizi çekmesi gereken diğer bir nokta ise bu kümenin elemanlarını hiçbirini açıkta bırakmayacak şekilde listeleyebiliyor olmamız. Bu mantığı rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir sonsuz olduğunu göstermekte kullanabiliriz.

rasyonel sayılar kümesidir. Bu kümenin elemanlarını şu şekilde listeleyelim:

Bu listelemede görebileceğimiz üzere hiçbir rasyonel sayıyı atlamadan (hatta bazılarını birden fazla kez sayarak) hepsini sıralayabiliyoruz. Yani hem satır sayısı hem de sütun sayısı sayılabilir sonsuz. O zaman (toplam eleman sayısı) = (satır sayısı)x(sütun sayısı) da sayılabilirdir. Burada her ne kadar daha fazla eleman içeriyor gibi görünse de ve 'nun kardinalitesi aynıdır.

Ancak eğer irrasyonel sayılar kümesinin, yani 'nun elemanlarını herhangi bir şekilde sıralamaya çalışırsak, bunu eleman atlamadan yapmamızın mümkün olmadığını görürüz. Bu da bu kümenin ve bundan daha büyük olan 'nin sayılamaz sonsuz olduğu anlamına gelir.

Formal Yakşalım

Yukarıda sonsuzlara içgüdüsel bir yaklaşımla baktık. Ancak ve 'nun aynı kardinaliteye sahip olması hala kafa karıştırıcı olabilir. Sayılabilir olmaya formal bir tanım verdiğimizde neden aynı oldukları daha anlaşılır olacak.

Tanım: boş olmayan bir küme olsun. Eğer birebir ve örten bir fonksiyonsa kümesinin kardinalitesi sayılabilirdir.

Bu tanım neden anlamlı?

1. Öncelikle bir fonksiyon olduğu için 'deki her elemanı 'nın en az bir elemanına eşleyecek. Yani 'de eşlenmemiş eleman kalmayacak.
2. birebir olduğu için 'daki her bir elemana 'deki yalnızca bir eleman eşlenecek. Yani 'nin farklı iki elemanı 'nın aynı elemanına gitmeyecek. Bu sayede 'nın kardinalitesinin en az kadar olduğunu, yani en az sayılabilir sonsuzlukta elemanı olduğunu (veya sonlu bir küme olmadığını) garanti ediyoruz.
3. Son olarak, örten olduğu için 'nın eşlenmemiş hiçbir elemanı kalmayacak. Yani 'nın kardinalitesi en fazla 'ninki kadar olacak.

Bu üç maddeyi bir arada düşündüğümüzde, ile boş olmayan bir kümesi arasında birebir ve örten bir fonksiyon bulduğumuzda bu iki kümenin kardinalitesinin (eleman sayısının) aynı olacağını görebiliriz. kümesinin sayılabilir sonsuzlukta elemanı olduğuna göre 'nın da sayılabilir sonsuz olması gerekir.

Şimdi ile 'nun aynı miktarda elemanı olduğunu görmek için bu iki küme arasında birebir ve örten bir fonksiyon bulmalıyız. Cevabım hali hazırda fazlasıya uzadığı için bu kısmın detaylarını size bırakacağım. Yapılması gereken şey her bir doğal sayıyı her bir rasyonel sayıya eşlemek. Bunu yaparken her iki kümede de boşta eleman kalmamasına dikkat etmek gerekiyor. Bunu yapmanın bir yolu yukarıdaki rasyonel sayılar tablosundaki her bir satırı ayrı ayrı eşlemektir. "Ama her satırda sonsuz eleman var, daha ilk satırı eşlerken bütün doğal sayıları kullanmış olurum" gibi bir şüpheniz varsa, sayılabilir sonsuzluk için verdiğim ilk uyarıyı hatırlayın.

Sayılabilir olmak sayma işinin bitirilebilir olduğu anlamına gelmez.

Yalnızca bir tane temel kaynak ekliyorum. Ancak anlattığım her şeyi ve daha fazlasını herhangi bir lisans matematik kitabının ilk ünitesi olan "Kümeler" başlığı altında daha detaylı olarak bulabilirsiniz.