Logaritmanin gunluk hayattaki detayli olarak yeri nedir?

Deprem

Depremlerin şiddetini ölçmek için logaritma kullanımı aslında sismik dalgaların muazzam genlik aralığını daha anlaşılır sayılara dönüştürmekle ilgili. Düşünsenenize bazı depremler o kadar güçlü ki, yer sarsıntısının şiddeti inanılmaz boyutlara ulaşabiliyor. Bu noktada da logaritmalar devreye giriyor ve bu devasa değerleri daha anlaşılabilir hale getiriyor.

Richter ölçeği bu logaritmik dönüşümün en bilinen örneği. Ölçeğin mucidi Charles F. Richter depremin büyüklüğünü sismografın kaydettiği dalga genliğine bağlayan bir formül geliştirdi. Bu formülde logaritma kullanılması her bir tam sayı artışının aslında sismik dalga genliğinde 10 katlık bir artış anlamına gelmesini sağlıyor. Yani 5 büyüklüğündeki bir deprem ile 6 büyüklüğündeki bir deprem arasındaki fark sadece 1 birim değil tam 10 katlık bir güç farkı demek.

sismograf tarafından kaydedilen sismik dalgaların maksimum genliği (milimetre cinsinden),

ise deprem merkezine olan uzaklığa bağlı bir ampirik fonksiyondur.

Tabii Richter ölçeği sadece dalga genliğini değil açığa çıkan enerjiyi de ölçüyor. Her bir tam sayı artışı yaklaşık 31.6 kat daha fazla enerji açığa çıktığı anlamına geliyor. Bu da demek oluyor ki 7 büyüklüğündeki bir deprem 6 büyüklüğündeki bir depremden neredeyse 31 kat daha fazla enerji açığa çıkarıyor.

Örneğin büyüklüğü 5 olan bir deprem genliğinde bir dalga üretirken büyüklüğü 6 olan bir deprem genliğinde, büyüklüğü 7 olan bir deprem ise genliğinde dalga üretir. Enerji açısından bakıldığında ise büyüklüğü 7 olan bir deprem büyüklüğü 6 olan bir depremin yaklaşık 31 katı enerji açığa çıkarır.

Günümüzde daha yaygın olarak kullanılan Moment Büyüklük Ölçeği (Mw) de logaritmik bir yapıya sahiptir ancak serbest bırakılan toplam sismik enerjiyi ölçer. Formülü şu şekildedir:

Burada sismik momenttir ve fay yüzeyinin kaydığı alan, ortalama kayma miktarı ve kayma modülü (kaya sertliği) çarpılarak hesaplanır. Bu ölçek özellikle büyük depremlerde Richter ölçeğinin enerji miktarını yeterince doğru yansıtamaması durumunda daha kesin sonuçlar sağlar. Örneğin 1906 San Francisco depreminde hesaplanan moment büyüklüğü 7.8 olarak bulunmuştur ve bu Richter büyüklüğüne yakın bir değerdir ancak serbest bırakılan toplam enerjiye daha hassas bir şekilde odaklanmaktadır.^[1][2]

Ses

Logaritmalar ses şiddetini ölçmek için biçilmiş kaftan diyebiliriz. Çünkü insan kulağı ses şiddetindeki değişimleri doğrusal değil logaritmik olarak algılar. Yani ses şiddeti on kat artsa bile kulağımıza sadece biraz daha yüksek gelmesi gibi.

Ses şiddetini ölçmek için desibel (dB) ölçeğini kullanırız. Bu ölçek de logaritmik bir formüle dayanır:

desibel (dB) cinsinden ses şiddeti düzeyidir.

gözlemlenen ses şiddetidir (W/m² cinsinden).

referans ses şiddetidir ve genellikle insan kulağının duyabileceği en düşük şiddet olan W/m² olarak alınır.

Mesela şiddeti olan bir sesin şiddet düzeyini hesaplayalım:

Bu durumda sesin şiddet düzeyi yaklaşık 73 dB olarak bulunur.

Peki neden logaritmik ölçek kullanıyoruz?

Çünkü insan kulağı çok geniş bir aralıktaki sesleri algılayabilir. ile arasında büyük bir aralıktaki ses şiddetlerini algılayabilir. Logaritmik ölçek bu geniş aralığı daha anlaşılır sayılara dönüştürür. Kulağımız sesteki değişimleri logaritmik olarak algılar. Desibel ölçeği de bu algıya uyum sağlar.

Ses şiddeti aynı zamanda ses basıncıyla da ilişkilidir:

ses basıncıdır (Pa cinsinden),

ortamın yoğunluğudur (örneğin, hava),

sesin ortamda yayılma hızıdır.

Yani ses basıncını biliyorsak bu formülle şiddeti hesaplayıp sonra dB'ye çevirebiliriz.^[3][4]

Kimya

pH hesaplamalarında logaritma kullanımı aslında işleri inanılmaz derecede kolaylaştırıyor. Çünkü pH ölçeği logaritmik bir yapıya sahip. Yani hidrojen iyonu konsantrasyonundaki küçük bir değişim pH değerinde büyük bir fark yaratabiliyor. Logaritma kullanarak bu geniş konsantrasyon aralığını 0 ile 14 arasında daha yönetilebilir bir ölçeğe sıkıştırıyoruz.

Buradaki hidrojen iyonlarının molar konsantrasyonunu (litre başına mol olarak) ifade eder. Logaritmik fonksiyon geniş bir hidrojen iyonu konsantrasyonu aralığını daha anlaşılabilir bir pH ölçeğine sıkıştırır ve genellikle bu ölçek 0 ile 14 arasında değişir.

Mesela bir çözeltinin pH'ını hesaplarken hidrojen iyonu konsantrasyonunun logaritmasını alıp işaretini değiştiriyoruz. Eğer bir çözeltideki hidrojen iyonu konsantrasyonu ise pH şu şekilde hesaplanır:

Bu da zayıf asidik bir çözelti olduğu anlamına gelir.

Eğer 0.03 M konsantrasyonlu hidroklorik asit (HCl) çözeltisine sahipseniz ki HCl tamamen iyonlarına ayrışan bir güçlü asittir bu durumda pH şöyle hesaplanır:

Bu da çok asidik bir çözeltidir.

Bilinen bir pH değerinden hidrojen iyonu konsantrasyonunu bulmak için formül şu şekilde yeniden düzenlenir:

Örneğin pH = 8.5 ise:

Suyun öz iyonizasyonu şu ilişkiyi kurar:

Saf suda olduğunda suyun pH’ı:

Bu değer de nötr bir çözeltidir.

pH ve pOH birbirine şu şekilde bağlanır:

Bu ilişki özellikle baz çözeltilerinin pH'ını bulmada kullanışlıdır. Örneğin eğer pH = 9 ise pOH şu şekilde hesaplanır:

Zayıf asitler ve bazlar söz konusu olduğunda ise Henderson-Hasselbalch denklemi devreye giriyor. Bu denklem pH'ı zayıf asidin ayrışma sabiti ile zayıf asidin ve konjüge bazının konsantrasyonları arasındaki oranla ilişkilendiriyor.^[7][8] Tampon çözeltilerinin pH'ını hesaplarken de bu denklemden yararlanıyoruz:

Denizcilik

Denizcilikte iki nokta arasındaki gerçek mesafeyi hesaplarken aslında Dünya'nın küresel şeklini hesaba katmamız gerekiyor. Bu da işin içine biraz trigonometri katıyor ama endişelenme gerek yok çünkü logaritmalar sayesinde bu hesaplamalar çok daha kolay hale geliyor.

Öncelikle iki farklı seyir yöntemi olduğunu bilmemiz gerekiyor: Büyük Daire ve Rüzgar Hattı. Büyük Daire iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi verirken, Rüzgar Hattı sabit bir açıyla meridyenleri kesen bir rotayı takip eder.

Büyük daire mesafesini hesaplarken Dünya'nın yarıçapını, iki noktanın enlem ve boylamlarını kullanarak biraz karmaşık bir formül uygularız. Burada da logaritmalar devreye giriyor.

Dünya'nın yarıçapıdır (genellikle 6371 km alınır),

iki noktanın enlemleri,

iki noktanın boylamlarıdır.

Bu trigonometrik işlemleri logaritmik fonksiyonlarla basitleştirerek eskiden denizcilerin kullandığı logaritma tabloları sayesinde manuel hesaplamaları çok daha kolay hale getiriyoruz.

Rüzgar hattı mesafesi ise biraz daha farklı hesaplanır. Burada da boylam farkı ve ortalama enlem gibi değerleri kullanırız. Yine logaritmalar sayesinde özellikle boylam farkını hesaplarken büyük sayılarla uğraşmak yerine daha yönetilebilir değerlerle çalışabiliriz.

İki nokta arasındaki loksodromik mesafe şu formülle hesaplanır:

Bu formülde ortalama enlem kullanılır. Bu hesaplamalarda boylam farkı logaritma yardımıyla şu şekilde bulunur:

Logaritmalar da burada büyük sayıları daha anlaşılabilir hale getirerek manuel hesaplamaları kolaylaştırır.

Örneğin bir geminin iki nokta arasındaki Rüzgar Hattı mesafesini hesaplamak istediğimizi düşünelim. noktasından noktasına gittiğini varsayalım. Önce boylam farkını buluruz. Sonra bu değeri ve ortalama enlemi kullanarak mesafeyi hesaplarız.

Ortalama enlem yaklaşık olduğundan logaritmik yöntemler bu mesafe hesabını oldukça basitleştirir.

Elektronik hesap makineleri ve bilgisayarlar çıkmadan önce denizciler bu tür trigonometrik hesaplamalar için logaritma tablolarına başvururlardı. Hatta birden fazla noktadan geçen bir rotanın toplam mesafesini hesaplarken bile logaritmalar sayesinde karmaşık hesaplamalar çok daha basit hale gelirdi.^[5][6]

Tabi sadece bunlarla sınırlı değil, çok daha fazla alan var logaritmanın kullanıldığı:

• Borsa analizi (veri dönüşümü ve normalizasyon)
• Radyoaktif bozunma hesaplamaları (yarı ömür ve bozunma hızları)
• Karbon tarihleme (arkeolojik buluntuların yaş tahmini)
• Nüfus artış modelleri (üstel büyüme tahmini)
• Veri sıkıştırma teknikleri (Huffman kodlaması gibi algoritmalar)
• Finansal piyasalarda oynaklık ölçümü (risk değerlendirmesi)
• Borsada teknik analiz (fiyat verilerini normalize etme)
• Portföy optimizasyonu (varlık getirilerini logaritmik dönüştürme)
• Astronomi (yıldız parlaklığı ve galaksilerin mesafelerinin ölçülmesi)
• Meteoroloji (atmosfer basıncı ve sıcaklık modellemesi)
• İlaç konsantrasyon analizi (farmakokinetik)
• Bileşik faiz hesaplamaları (zamanla büyüme hesaplamaları)
• Şifreleme algoritmaları (kriptografide logaritma kullanımı)
• Pil ömrü tahmini (güç tüketim modelleri)
• Sinyal işleme (veri analizinde logaritmik dönüşümler)
• Makine öğrenimi (sınıflandırma problemlerinde logaritmik kayıp fonksiyonu)
• Jeolojik çalışmalar (toprak asiditesini ve çevresel faktörleri modelleme)
• Metabolizma hızının ölçülmesi (biyolojik çalışmalarda)
• Ses mühendisliği (ses seviyelerinin ve frekanslarının ayarlanması)
• Işık şiddeti ölçümü (fotoğrafçılıkta logaritmik ölçekler)
• Sıcaklık değişimi modellemesi (ısıl iletim için logaritmik fonksiyonlar)
• Ekonomi (esneklik hesaplamaları ve talep modellemesi)
• Kimyasal tampon çözeltileri (biyolojik sistemlerde pH hesaplamaları, örneğin kan)​^[9][10]