Şöyle düşünün: Elimizde diye bir kütle olsun ve üzerine gibi bir kuvvet uygulanıyor olsun. Bu kuvvet uygulanmaya devam ettikçe, kütlenin sahip olduğu enerji () de artacaktır; dolayısıyla cismin hızı () da artacaktır. Ama ışık hızı () mutlak hız sabiti olduğu için, cismin hızı asla ışık hızını aşamaz; ona sadece asimptotik olarak yaklaşabilir.
Bu durumda elimizde şu var:
Burada sol tarafta enerjinin zamana göre değişimi var. Bu, tanımsal olarak kuvvet ile hızın çarpımı olarak tanımlanır. Bunu anlamakta zorlanıyorsanız, güç () tanımını düşünün: . Enerji de gücün zamana göre türevi: . Dolayısıyla yukarıdaki denklemin anlamını görebilirsiniz.
Kuvvet, , yani olduğu için, yukarıdaki formülü şuna çevirebiliriz:
Klasik hızlardan relativistik hızlara çıkıldığında kütle de değişmeye başlayacağı için (bkz: göreli kütle), burada kütleyi sabit olarak değerlendiremiyoruz. Dolayısıyla zincirleme türev almamız gerekiyor:
Burada bağımsız değişken zaman. Bir diğer deyişle, kütle de zamana göre değişiyor (yani ), hız da zamana göre değişiyor (yani ).
Ancak bizim bulmak istediğimiz şey, kütlenin enerjisi değişirken, kütlenin kendisinin nasıl değiştiğini bulmak. Yani zamanı değil, enerjiyi bağımsız değişken almak istiyoruz. Bunu yaptığımızda, zaman da enerjiye göre değişiyor olacak (yani ), kütle de enerjiye göre değişiyor olacak (yani ), hız da zamana göre değişiyor olacak (yani ).
Bunu yapmak için, son denklemimizi ile çarpmamız gerekiyor. Bunu yaptığımızda, şunu elde ediyoruz:
Bunu sadeleştirirsek:
Kütlenin enerjiye göre değişimini sola alacak olursak:
Son olarak bir de limit işlemi yapmamız gerekiyor. Enerjimiz sonsuza doğru giderken, yani hızımız yukarıdaki gibi ışık hızına yakınsarken neler olduğunu görmek istiyoruz.
Burada basit bir numara şu: En sağdaki terimine dikkat edin. Hızın enerjiye göre değişimi... Ama eğer ki hız, ona ne kadar enerji verirsek verelim bir noktadan sonra ışık hızına yakınsayıp da ona hiçbir zaman erişemiyorsa (asimptotik konverjans bu demek zaten), o zaman enerji sonsuza doğru giderken, hızın enerjiye göre değişimi de sıfıra gidiyor demektir. Bir diğer deyişle, enerji vermeye devam etmenize rağmen hızı değiştiremiyorsunuz demektir (değiştirseniz, ışık hızını aşardınız).
Bu nedenle limitimizde o en sağdaki terimi sıfır alabiliyoruz. Hızımız da ışık hızına yakınsıyor:
İşte... Denklemimiz, birim enerji başına kütlenin ile orantılı olarak büyüdüğünü gösteriyor.
Yani sorunuza cevaben: formülündeki kısmı, zincirleme türev alırken iki tane hız değişkeninin yan yana gelmesinden kaynaklanıyor ve sonra hızın ışık hızına yakınsarkenki limitini aldığımızda, de 'ye dönüşüyor ve doğmuş oluyor.
