Sonlu Farklar Yöntemi Nedir? Mühendislik ve Matematikte Nasıl Kullanılır?

Sonlu Farklar Yöntemi (FDM) fizik kanunlarını modelleyen matematik denklemlerini çözmeye yarayan bir yöntemdir. Bu yöntem farkında olmasak da sayısız hesaplamaların yapıldığı günlük hayatımızda oldukça yer kaplar. Peki, bu hesaplamalar nasıl yapılır ve nelerdir?

Bir örnek üzerinden gidelim: hava durumu tahminleri. Bu tahminler, hava durumu modelleri kullanılarak yapılır ve bu modeller atmosferdeki sıcaklık, nem, rüzgâr hızı gibi parametrelerin nasıl değişeceğini hesaplar. Sonlu Farklar Yöntemi, bu değişimleri adım adım hesaplayarak meteorologlara yarın yağmur mu yağacağını, yoksa güneş mi açacağını söyleme şansı tanır.

Bir diğer örnek, mühendislikte karşımıza çıkan yapısal analizlerdir. Örneğin, bir binanın depreme dayanıklılığını hesaplarken Sonlu Farklar Yöntemi kullanılarak binanın her bir noktasındaki stres ve gerilme miktarları detaylı bir şekilde hesaplanabilir. Bu, yapıların daha güvenli ve dayanıklı olmasını sağlar.

Isı Transferinde Sonlu Farklar Yöntemi

Isı transferi, yaşamımızın her alanında karşımıza çıkar: Evimizi ısıtmaktan, yiyeceklerimizi pişirmeye kadar. Peki, bu süreçleri nasıl optimize ederiz? İşte burada Sonlu Farklar Yöntemi devreye girer.

Bir örnek olarak, modern binaların ısı yalıtımını ele alalım. Mühendisler, Sonlu Farklar Yöntemi ile duvarlardan pencereye kadar binaların her bölgesindeki ısı transferini hesaplar ve yalıtım malzemelerini bu hesaplara göre seçer. Bu, binaların daha enerji verimli olmasını sağlar ve ısıtma/soğutma maliyetlerini düşürür.

FDM hesaplamaları çok kolaydır. Siz de bu hesaplamaları hemen yapabilirsiniz. Hatta şimdi beraber bir hesaplama yapalım! Aşağıdaki İstanbul haritasında üç nokta işaretlenmiş. Bu noktalardan birinci ve üçüncüsünde sıcaklığı ölçecek istasyonlar bulunuyor. Ancak ikinci bölgede sıcaklığı ölçecek bir istasyon bulunmuyor. Rüzgârsız bir günde ikinci bölgedeki sıcaklığı bulabilir misiniz? Hava durumu bilgisi her zaman tahmin edilir, en basit tahmin yöntemlerinden birisi de ortalama almaktır. İkinci bölgedeki sıcaklık muhtemelen birinci ve üçüncü bölgedeki sıcaklığın arasında bir yerde olacaktır. Bu sıcaklığı 18 ve 20 derecenin ortalamasından 19 derece olarak tahmin edebiliriz. Bu işlem ile ilk FDM hesaplamanızı yapmış oldunuz, tebrikler!

Google Earth

Şimdi aynı işlemi 5 bölge için tekrarlayalım. Aynı harita üzerinde 4 tane sıcaklık ölçen istasyon olduğunu düşünelim. Daha fazla istasyon ile İstanbul üzerindeki sıcaklık dağılımını tahmin edelim. Ortadaki bölge etrafındaki dört istasyonun sıcaklık ortalaması bize bu bölgenin sıcaklığını verecektir. (18+20+21+15) = 18.5 ℃. Önceki tahminimizden biraz daha farklı bir sonuç çıktı. Daha fazla istasyondan bilgi geldiği için bu daha doğru bir tahmin olacaktır.

Google Earth

Şimdi istasyon sayımızı oldukça arttıralım. Böylelikle daha yüksek çözünürlüklü bir sıcaklık dağılımı elde edebiliriz. Beyaz çerçeveli bölgelerdeki sıcaklık bilgisini bildiğimizi, diğerlerini bilmediğimizi varsayalım. İç noktalardaki her bir bölgenin sıcaklığının etrafındaki dört bölgenin ortalaması olduğunu düşünelim. Bu işlem öncekiler gibi hızlıca hesaplanamaz, ama kesinlikle aynı şekilde hesaplanacak.

Google Earth

Her bir bölge için geçerli olan bir formül yazalım. Herhangi bir x ve y pozisyonunda bulunan bölgenin sıcaklığı aşağıdaki gibi yazılabilir.

$T_{x,y}=(T_{x-1,y}+T_{x+1,y}+T_{x,y}-1+T_{x,y}+1)/4$

Bu formül tam olarak, herhangi bir $(x,y)$ konumunda bulunan bölgenin; yatayda kendinden önceki ve sonraki bölgelerin ve dikeyde üstündeki ve altındaki bölgelerin sıcaklıklarının ortalaması hesaplıyor. Yani bu, 5 bölgeli hesabımızın birebir aynısı.

Her bir bölge için bir denklem yazılması gerekiyor. Bu $10\times 10=100$ denklem anlamına geliyor. Bu yüz denklemin her biri aynı anda çözülmeli, çünkü birindeki bilinmeyen bazı diğerlerinde de bilinmiyor. Bu kadar çok denklemi aynı anda matriksler yardımı ile çözebiliriz. Elde çözmek istemeyeceğimiz kadar uzun sürecek bu çözümler bilgisayar yardımıyla kolayca yapılabilir ve bize İstanbul üzerindeki sıcaklık dağılımını verecektir. Bu denklemlerin çözümü en sade şekliyle "difüzyon ile yayılan ısı transferi" çözümünü verir. Ortalama alma metodu, ısı denkleminin İki Boyutlu Birinci Dereceden Merkezi Fark (İng: "2D First Order Central Difference") yöntemi ile çözülmesine karşılık gelir. Çözdüğümüz fizik denklemi aşağıdadır.

$\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}=0$

Denklem biraz karmaşık görüns de biraz kalkülüs bilginiz varsa oldukça kolaydır. Bu denklem, sıcaklığın $x$ yönündeki değişim hızı ile $y$ yönündeki değişim hızının toplamının sıfırı vereceğini ifade eder. Bir başka deyişle, $x$ yönündeki yayılım hızı artarsa, $y$ yönündeki yayılım hızından harcayarak artabilir. Bir yerden tanıdık geldi mi? Evet bu tam olarak "enerjiyi koruyan" denklem!

Ancak örneğimizde zamana göre değişimin etkisini hesaba katmadık. Katacak olsaydık aşağıdaki denklemi çözmüş olacaktık. Bu denklemin FDM ile çözümü için sadece ilgili noktanın etrafındaki 4 noktanın sıcaklık değerini değil aynı zamanda bir önceki zamandaki sıcaklıklarının etkisini de almamız gerekecekti. Böylelikle çok daha karışık bir denklemler sistemi çözmemiz gerekecek. Bu denklemin adı enerjinin korunumu denklemidir. Lisede ne demiştik? Enerji vardan yok olmaz, yoktan var olmaz: enerji korunur!

$\frac{\partial T}{\partial t}-\alpha (\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2})=0$

Bu denklemlerin üzerine bir de rüzgârın da etkisini katacak olsaydık çözülmesi gereken iki denklem daha eklememiz gerekecekti. Bir tanesi kütlenin korunumu denklemi, bir diğeri ise momentumun korunumu denklemi. Kütle korunumu, enerji korunumu ve momentum korunumu denklemlerinin hepsine birden Navier-Stokes denklemleri deniyor. Bu denklemlerin tam çözümleri ise henüz bulunmuş değil.

Ancak biz bu denklemleri bazı basit koşullar için numerik olarak çözebiliriz. Bu da sonlu farklar yöntemi sayesinde mümkün! Hatta Navier-Stokes denklemlerinin kesin çözümünü bulanlar için bir ödül bile var. Bu denklem, içinde bulunduğumuz bin yılın çözülmesi en önemli 7 denklemi içerisinde sayılıyor. Clay Matematik Enstitüsü bu denklemleri kesin olarak çözebilene 1 milyon dolar para ödülü verecek.^[1]

Akışkanlar Mekaniğinde Sonlu Farklar Yöntemi

Su yönetimi, özellikle büyük şehirlerde yaşamsal önem taşır. Sonlu Farklar Yöntemi, su borularındaki akışın nasıl optimize edileceğini ve arıtma tesislerindeki işlemlerin nasıl iyileştirileceğini hesaplar. Bu yöntem sayesinde, su kaynaklarımız daha etkili kullanılır ve çevresel etkiler azaltılır.

Rüzgâr türbinleri için de Sonlu Farklar Yöntemi kullanılabilir. Türbin kanatlarının aerodinamik tasarımında yapılan hesaplamalar, rüzgârın türbin üzerindeki etkilerini detaylıca gösterir ve bu sayede enerji üretimi maksimize edilir.

Navier-Stokes denklemlerinden ısı denklemini çıkardığımızda, yani sıcaklığın akışkan boyunca hiç değişmediğini düşündüğümüzde denklem çok sadeleşir ve sonlu farklar yöntemi ile çözülebilecek bir hal alır.

Basit Bir Köprü Hikayesi

İstanbul'da bugün rüzgârın kuzeyden güneye doğru estiğini düşünelim. Bu rüzgâr Boğaz köprüsü üzerinden de esecektir. Peki acaba bugünkü rüzgâr köprünün üzerine ne kadar kuvvet uygulayacak? Bu kuvvet köprümüzü yıkar mı? Bunu bilmenin yolu da akışkanlar mekaniği denklemlerini sonlu farklar yöntemi ile çözmekten geçiyor.

Google Earth

Düz bir köprü yüzeyi düşünelim, bu yüzey üzerinden sabit bir hızla esen rüzgârı inceleyeceğiz. Bu senaryoda, sıcaklığın akışkan üzerindeki etkisini ihmal ediyoruz, yani enerji denklemini dikkate almayacağız. Köprüyü hayali olarak kuzeyden güneye doğru bir bıçakla kestiğimizi düşünün. Bu hayali kesite yandan baktığımızda aşağıdaki gibi bir şekil görürüz.

Berat Çelik

Rüzgâr, henüz köprüye varmadan sabit bir hızla eserken köprü yüzeyine ulaştığında durum değişir. Köprünün yüzeyiyle olan sürtünme nedeniyle, yüzeydeki rüzgâr hızı sıfıra iner. Köprüden yükseğe doğru çıktıkça, rüzgâr hızı yavaş yavaş artar ve sonunda açık havadaki ilk hızına kavuşur. Bu hız dağılımını anlamak, köprünün rüzgâr yüklerine nasıl tepki vereceğini belirlemek için kritik öneme sahiptir.

Agora Bilim Pazarı

Omurgasız Hayvanlar Biyolojisi

• Boyut: 16 X 24
• Sayfa Sayısı: 512
• ISBN No: 9779758982043

Devamını Göster

₺520.00

Satın Al Tüm Ürünler

• Dış Sitelerde Paylaş

Her bir yükseklikteki rüzgâr hızını bilmek, köprü üzerine uygulanan aerodinamik kuvvetleri hesaplamamıza olanak tanır. Rüzgârın köprüye uyguladığı kuvvet, rüzgârın kaybettiği hız kadardır. Bu kuvvetler, köprü tasarımının rüzgâr yüklerine karşı ne kadar dayanıklı olması gerektiğini anlamak için esastır. Bu nedenle, köprü tasarımcıları için rüzgârın hız dağılımını detaylı olarak bilmek ve bu bilgiyi kullanarak köprüyü uygun şekilde tasarlamak ve güçlendirmek önemlidir.

Berat Çelik

Bu problem için yapılacak modellemede şu elementler bulunur:

• Hesaplama Alanı: Kesik yeşil çizgi ile gösterilen alana Hesaplama Alanı diyoruz. Bu alan içerisinde akış denklemlerini çözeceğiz. Yüksekliği 1 metre genişliği de 10 metre diye düşünelim.
• Giriş Hızı: Rüzgâr $U$ hızıyla giriş yapacak.
• Izgara Boyutu: Enerji denklemini çözerken 10x10'luk bir ızgara kullanmıştık. Burda da benzer bir şekilde yeşil alan içerisinde hayali noktalar belirleyeceğiz ve her nokta üzerinde denklemlerimizi çözeceğiz. Köprü üzerinde kullanacağımız ızgara yükseklikte 6 genişlikte 10 olmak üzere 6x10 olsun.

Benzer şekilde, problem için bazı sınır koşulları da belirlemeliyiz:

• Giriş: Sol tarafta hız soldan sağa doğru sabit hız.
• Çıkış: Sağ taraftaki, hesaplamalarımız sonrasında öğreneceğimiz hız.
• Yüzey: Köprü yüzeyi üzerinde rüzgârın hızının sıfır olması.
• Üst Sınır: Yeterince yukarda rüzgâr soldan sağa doğru aynı geldiği gibi geçecek, yani hızı değişmeyecek.

Bu fiziksel problemi Navier-Stokes Denklemleri ile modelleyeceğiz. Rüzgârın hızının zamana göre değişmediğini düşünürsek denklemlerimiz şu şekilde olur:

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$

$u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$

Düz bir plaka üzerindeki akış için temel denklemleri, yani süreklilik ve momentum denklemlerini, Sonlu Farklar Metodu (FDM) ile ayrıklaştırmak, bu problemleri sayısal olarak çözmek için gereklidir. Burada bu denklemleri adım adım ayrıklaştıralım:

1. Ayrıklaştırma: Kütle Korunumu:

$\frac{u_{i+1,j}-u_{i+j}}{\Delta x}+\frac{v_{i,j+1}-v_{i+j}}{\Delta y}=0$

2. Ayrıklaştırma: Momentum Denklemi ($x$ yönü):

$u_{i,j}\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2\Delta x}+v_{i,j}\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j-1}}{2\Delta y}=\nu (\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta y^2})$

Şimdi sınır koşullarımızı da denklem sisteminde gösterelim. Plaka yüzeyinde hızın sıfır olması şöyle gösterilir.

Plaka yüzeyinde (y = 0):

$u_{i,0}=0$

$v_{i,0}=0$

Sınır tabakanın dışı (y → ∞ veya son ayrık y-noktası) için ise gösterim şu şekildedir:

$u_{i,n_y}=U$

Kırmızı kesik noktalı çizgilerin kesiştiği her noktada bu denklemleri sonlu farklar yöntemi ile çözersek her nokta için rüzgârın hızını bulabiliriz. Sonlu farklar yönteminin kütlenin korunumu ve momentumun korunumu denklemlerini çözmesi, daha önceki örneğimizde gördüğümüz gibi aslında bir çeşit ortalama alma metodudur. Ancak aritmetik ortalama değil, fiziksel gerçekliği yansıtmak üzere yukarıdaki denklemlerden gelen farklı bir ortalama alma yöntemi ortaya çıkmaktadır.

Rüzgârın her noktadaki hızı bulunduktan sonra köprü üzerinden geçerken kaybettiği momentumu hesaplayabiliriz. Rüzgâr soldan esmeye başlayıp sağdan çıkıncaya kadar hızı azaldığı için momentum kaybetmiştir. Sistemin toplam momentumu korunduğuna göre rüzgâr kaybettiği momentumu köprüye aktarmış demektir. Bu şekilde köprü üzerine uygulanan kuvveti bulabiliriz. Bu hesaplama aslında köprü inşa edilmeden önce, İstanbul'da gerçekleşebilecek en sert rüzgâra göre yapılmış olmalıdır. Böylelikle daha köprü inşa edilmeden rüzgârdan kaynaklanan ne kadarlık yük olacağını biliyorduk. Şimdi sıra, o kuvvete dayanabilecek köprü ayağını tasarlamakta. Elbette burada da sonlu farklar yöntemi kullanılıyor!

Katı Mekaniği ve Sonlu Farklar Yöntemi

Sonlu Farklar Yöntemi, katıların nasıl tepki vereceğini anlamada da kullanılır. Örneğin otomobil endüstrisinde, araçların çarpışma simülasyonları bu yöntemle yapılır. Bu simülasyonlar, güvenliğin nasıl artırılacağını gösterir ve araçlar daha güvenli hale getirilir. Biz ise bir kolonun eğilme miktarını hesaplayacağız.

Köprü bacağı olarak kullanılan bir dikey kolon üzerine uygulanan noktasal bir kuvvetin neden olduğu bükülme miktarını hesaplamak için sonlu farklar yöntemini kullanacağız. Bu kuvvet bir önceki analizimizde köprü üzerinden geçen akışın uyguladığı kuvvettir. Bu tür yapısal analizler, genellikle mühendislikte Euler-Bernoulli kiriş teorisi ile modellenir. Kirişin bükülme denklemini çözerek, kirişin her noktasında yer değiştirme (defleksiyon) miktarını hesaplayabiliriz.

Kolon uzunluğunu $L$ metre, kolonun alt ucunu sabit (yer değiştirme ve hız sıfır) ve üst uca uygulanan kuvveti $F$ Newton olarak kabul edelim.

Euler-Bernoulli Kiriş Teorisi, bize şu eşitliği verir:

$EI\frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}=q(x)$

Burada, $q(x)$ kiriş üzerine uygulanan yük dağılımını ifade eder ve bu problemde $q(x)=0$'dır, yani yük yoktur. $F$ kuvveti ise noktasal yük olarak $x=L$ noktasında uygulanır.

Sınır Koşulları ise şöyle tanımlanabilir:

• Alt uç (x = 0) sabittir:
• $y(0)=0$ (Yer değiştirme sıfır)
• $y^{\prime }(0)=0$ (Yer değişim hızı sıfır)
• Üst uç (x = L) noktasına noktasal kuvvet uygulanır:
• $y^{\prime \prime }(L)=0$ (Moment sıfır)
• $y^{\prime \prime \prime }(L)=-F/EI$ (Kesme kuvveti)

Dördüncü dereceden türevi sonlu farklar metodu ile ayrıklaştırmak içinse genellikle merkezi fark kullanılır. Bir ızgara üzerinde düğüm noktalarını ele alarak, her bir düğüm noktası için yer değiştirme $y$ değerlerini hesaplarsınız. $\Delta x$ adım boyunu $L/n$ olarak tanımlayarak ve $n$ ızgara sayısını belirleyerek dördüncü türev için sonlu fark yaklaşımı şöyle ifade edilir:

$\frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}=\frac{y_{i-2}-4y_{i-1}+6y_i-4y_{i+1}+y_{i+2}}{\Delta x^4}$

Kolonu bir boyutlu olarak düşündüğümüzde herhangi bir noktadaki yer değiştirme miktarını yine bir çeşit ortalama alma metodu ile hesaplamış oluruz. Bu aritmetik ortalama değil, fizik denkleminden doğan farklı bir ortalama alma tekniğidir. Bazı değerlerin ortalamaya katılım etkisi 4 veya 6 kat daha fazladır. Hangi noktanın ne kadar etkili olacağına karar veren de fiziğin ta kendisidir.

Yukarıdaki ayrıklaştırma kullanılarak, Euler-Bernoulli kiriş denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz:

$EI\frac{y_{i-2}-4y_{i-1}+6y_i-4y_{i+1}+y_{i+2}}{\Delta x^4}=q_i$

Bu ayrıklaştırılmış form, bir lineer denklem sistemi olarak çözülebilir. Sistemin çözümü için genellikle doğrusal cebirsel yöntemler kullanılır. Kirişin sınır koşulları (örneğin, sabitlenmiş, serbest, kayma yok veya mafsallı destek), bu denklemler sistemine uygun olarak düğüm noktalarında ifade edilir ve sistem buna göre çözülür.

Sonlu farklar yöntemi kullanılarak elde edilen bu model, yapısal mühendislikte yaygın olarak kullanılan önemli bir araçtır. Bu yaklaşım sayesinde, karmaşık yük ve destek koşulları altında kirişlerin nasıl davranacağını etkili bir şekilde tahmin etmek mümkündür.

Sonuç

Bu yazımızda, Sonlu Farklar Yöntemi'nin (FDM) mühendislikten günlük hayatımıza, hava durumu tahminlerinden köprü tasarımlarına kadar pek çok alanda nasıl kullanıldığını gördük. Bu yöntem, pek göz önünde olmasa da hayatımızın her köşesinde karşımıza çıkıyor ve dünyamızı daha yaşanabilir, güvenli ve verimli kılıyor.

Bu karmaşık hesaplamaları yapabilmek için cebimizde bir süper bilgisayar taşımamıza gerek yok. Modern teknoloji ve bilgisayarlar sayesinde, mühendisler ve bilim insanları bu denklemleri saniyeler içinde çözebiliyor. Sonuçlar? Daha sağlam binalar, daha etkili ilaçlar, daha verimli araçlar ve elbette daha doğru hava durumu tahminleri!

Artık, bir köprünün üzerinde yürürken altınızdaki asfaltın Sonlu Farklar Yöntemi sayesinde hesaplanan kuvvetlere dayanıklı olduğunu bileceksiniz. Ya da evinizde otururken, dışarıdaki rüzgârın gücünü hesaplayan bilim insanlarının çalışmalarına güvenerek, sıcak bir kahvenin keyfini çıkarabilirsiniz.

Sonlu Farklar Yöntemi, adeta bir matematik sihirbazı gibi, kâğıt üzerindeki formüllerden yola çıkarak köprüleri, binaları, araçları ve daha fazlasını sorunsuz bir şekilde kullanmamızı sağlıyor. Bu yöntem olmasaydı, mühendislik ve bilim dünyası şüphesiz çok daha farklı olurdu.