Sonlu Farklar Yöntemi Nedir? Mühendislik ve Matematikte Nasıl Kullanılır?
![Sonlu Farklar Yöntemi Nedir? Mühendislik ve Matematikte Nasıl Kullanılır?](https://cdn.evrimagaci.org/2CfFtsgrhw_nMnEVY4ni6bRT8z8=/250x0/storage.evrimagaci.org%2Fcontent%2F904c4990-1c5e-4e02-9b66-ad3dbb8afcac.jpeg)
- Özgün
- Hesaplamalı Fizik
Sonlu Farklar Yöntemi (FDM) fizik kanunlarını modelleyen matematik denklemlerini çözmeye yarayan bir yöntemdir. Bu yöntem farkında olmasak da sayısız hesaplamaların yapıldığı günlük hayatımızda oldukça yer kaplar. Peki, bu hesaplamalar nasıl yapılır ve nelerdir?
Bir örnek üzerinden gidelim: hava durumu tahminleri. Bu tahminler, hava durumu modelleri kullanılarak yapılır ve bu modeller atmosferdeki sıcaklık, nem, rüzgâr hızı gibi parametrelerin nasıl değişeceğini hesaplar. Sonlu Farklar Yöntemi, bu değişimleri adım adım hesaplayarak meteorologlara yarın yağmur mu yağacağını, yoksa güneş mi açacağını söyleme şansı tanır.
Bir diğer örnek, mühendislikte karşımıza çıkan yapısal analizlerdir. Örneğin, bir binanın depreme dayanıklılığını hesaplarken Sonlu Farklar Yöntemi kullanılarak binanın her bir noktasındaki stres ve gerilme miktarları detaylı bir şekilde hesaplanabilir. Bu, yapıların daha güvenli ve dayanıklı olmasını sağlar.
Isı Transferinde Sonlu Farklar Yöntemi
Isı transferi, yaşamımızın her alanında karşımıza çıkar: Evimizi ısıtmaktan, yiyeceklerimizi pişirmeye kadar. Peki, bu süreçleri nasıl optimize ederiz? İşte burada Sonlu Farklar Yöntemi devreye girer.
Bir örnek olarak, modern binaların ısı yalıtımını ele alalım. Mühendisler, Sonlu Farklar Yöntemi ile duvarlardan pencereye kadar binaların her bölgesindeki ısı transferini hesaplar ve yalıtım malzemelerini bu hesaplara göre seçer. Bu, binaların daha enerji verimli olmasını sağlar ve ısıtma/soğutma maliyetlerini düşürür.
FDM hesaplamaları çok kolaydır. Siz de bu hesaplamaları hemen yapabilirsiniz. Hatta şimdi beraber bir hesaplama yapalım! Aşağıdaki İstanbul haritasında üç nokta işaretlenmiş. Bu noktalardan birinci ve üçüncüsünde sıcaklığı ölçecek istasyonlar bulunuyor. Ancak ikinci bölgede sıcaklığı ölçecek bir istasyon bulunmuyor. Rüzgârsız bir günde ikinci bölgedeki sıcaklığı bulabilir misiniz? Hava durumu bilgisi her zaman tahmin edilir, en basit tahmin yöntemlerinden birisi de ortalama almaktır. İkinci bölgedeki sıcaklık muhtemelen birinci ve üçüncü bölgedeki sıcaklığın arasında bir yerde olacaktır. Bu sıcaklığı 18 ve 20 derecenin ortalamasından 19 derece olarak tahmin edebiliriz. Bu işlem ile ilk FDM hesaplamanızı yapmış oldunuz, tebrikler!
![Üç Noktalı Sıcaklık Dağılımı](https://cdn.evrimagaci.org/9geQPEvDRUvoAXieNtzLAiFBLDs=/825x0/storage.evrimagaci.org%2Fcontent%2F7035574b-7a28-4232-a01b-69dec7d2c260.jpeg)
Şimdi aynı işlemi 5 bölge için tekrarlayalım. Aynı harita üzerinde 4 tane sıcaklık ölçen istasyon olduğunu düşünelim. Daha fazla istasyon ile İstanbul üzerindeki sıcaklık dağılımını tahmin edelim. Ortadaki bölge etrafındaki dört istasyonun sıcaklık ortalaması bize bu bölgenin sıcaklığını verecektir. (18+20+21+15) = 18.5 ℃. Önceki tahminimizden biraz daha farklı bir sonuç çıktı. Daha fazla istasyondan bilgi geldiği için bu daha doğru bir tahmin olacaktır.
![Beş Noktalı Sıcaklık Dağılımı](https://cdn.evrimagaci.org/vHMCn8-dgE3rh5CQ040mz9RYxEk=/825x0/storage.evrimagaci.org%2Fcontent%2Fb266bf16-bc9d-4e59-9aff-abb97ea19f09.jpeg)
Şimdi istasyon sayımızı oldukça arttıralım. Böylelikle daha yüksek çözünürlüklü bir sıcaklık dağılımı elde edebiliriz. Beyaz çerçeveli bölgelerdeki sıcaklık bilgisini bildiğimizi, diğerlerini bilmediğimizi varsayalım. İç noktalardaki her bir bölgenin sıcaklığının etrafındaki dört bölgenin ortalaması olduğunu düşünelim. Bu işlem öncekiler gibi hızlıca hesaplanamaz, ama kesinlikle aynı şekilde hesaplanacak.
![Çok Noktalı Sıcaklık Dağılımı](https://cdn.evrimagaci.org/u3e8_j5bNcYQgDfKMJzY3Y8DX2g=/825x0/storage.evrimagaci.org%2Fcontent%2Fff902a58-3e8f-42e9-9914-fe984e3b8622.jpeg)
Her bir bölge için geçerli olan bir formül yazalım. Herhangi bir x ve y pozisyonunda bulunan bölgenin sıcaklığı aşağıdaki gibi yazılabilir.
Tx,y=(Tx−1,y+Tx+1,y+Tx,y−1+Tx,y+1)/4T_{x,y}=(T_{x-1,y} + T_{x+1, y} +T_{x,y}-1+T_{x,y}+1)/4
Bu formül tam olarak, herhangi bir (x,y)(x,y) konumunda bulunan bölgenin; yatayda kendinden önceki ve sonraki bölgelerin ve dikeyde üstündeki ve altındaki bölgelerin sıcaklıklarının ortalaması hesaplıyor. Yani bu, 5 bölgeli hesabımızın birebir aynısı.
Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, sitemizin/uygulamamızın çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, %100 reklamsız ve çok daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.
KreosusKreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.
Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.
PatreonPatreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.
Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.
YouTubeYouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.
Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.
Diğer PlatformlarBu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.
Giriş yapmayı unutmayın!Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.
Her bir bölge için bir denklem yazılması gerekiyor. Bu 10×10=10010\times 10 = 100 denklem anlamına geliyor. Bu yüz denklemin her biri aynı anda çözülmeli, çünkü birindeki bilinmeyen bazı diğerlerinde de bilinmiyor. Bu kadar çok denklemi aynı anda matriksler yardımı ile çözebiliriz. Elde çözmek istemeyeceğimiz kadar uzun sürecek bu çözümler bilgisayar yardımıyla kolayca yapılabilir ve bize İstanbul üzerindeki sıcaklık dağılımını verecektir. Bu denklemlerin çözümü en sade şekliyle "difüzyon ile yayılan ısı transferi" çözümünü verir. Ortalama alma metodu, ısı denkleminin İki Boyutlu Birinci Dereceden Merkezi Fark (İng: "2D First Order Central Difference") yöntemi ile çözülmesine karşılık gelir. Çözdüğümüz fizik denklemi aşağıdadır.
∂2T∂x2+∂2T∂y2=0\Large \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0
Denklem biraz karmaşık görüns de biraz kalkülüs bilginiz varsa oldukça kolaydır. Bu denklem, sıcaklığın xx yönündeki değişim hızı ile yy yönündeki değişim hızının toplamının sıfırı vereceğini ifade eder. Bir başka deyişle, xx yönündeki yayılım hızı artarsa, yy yönündeki yayılım hızından harcayarak artabilir. Bir yerden tanıdık geldi mi? Evet bu tam olarak "enerjiyi koruyan" denklem!
Ancak örneğimizde zamana göre değişimin etkisini hesaba katmadık. Katacak olsaydık aşağıdaki denklemi çözmüş olacaktık. Bu denklemin FDM ile çözümü için sadece ilgili noktanın etrafındaki 4 noktanın sıcaklık değerini değil aynı zamanda bir önceki zamandaki sıcaklıklarının etkisini de almamız gerekecekti. Böylelikle çok daha karışık bir denklemler sistemi çözmemiz gerekecek. Bu denklemin adı enerjinin korunumu denklemidir. Lisede ne demiştik? Enerji vardan yok olmaz, yoktan var olmaz: enerji korunur!
∂T∂t−α(∂2T∂x2+∂2T∂y2)=0\Large \frac{\partial T}{\partial t} - \alpha (\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} )=0
Bu denklemlerin üzerine bir de rüzgârın da etkisini katacak olsaydık çözülmesi gereken iki denklem daha eklememiz gerekecekti. Bir tanesi kütlenin korunumu denklemi, bir diğeri ise momentumun korunumu denklemi. Kütle korunumu, enerji korunumu ve momentum korunumu denklemlerinin hepsine birden Navier-Stokes denklemleri deniyor. Bu denklemlerin tam çözümleri ise henüz bulunmuş değil.
Ancak biz bu denklemleri bazı basit koşullar için numerik olarak çözebiliriz. Bu da sonlu farklar yöntemi sayesinde mümkün! Hatta Navier-Stokes denklemlerinin kesin çözümünü bulanlar için bir ödül bile var. Bu denklem, içinde bulunduğumuz bin yılın çözülmesi en önemli 7 denklemi içerisinde sayılıyor. Clay Matematik Enstitüsü bu denklemleri kesin olarak çözebilene 1 milyon dolar para ödülü verecek.[1]
Akışkanlar Mekaniğinde Sonlu Farklar Yöntemi
Su yönetimi, özellikle büyük şehirlerde yaşamsal önem taşır. Sonlu Farklar Yöntemi, su borularındaki akışın nasıl optimize edileceğini ve arıtma tesislerindeki işlemlerin nasıl iyileştirileceğini hesaplar. Bu yöntem sayesinde, su kaynaklarımız daha etkili kullanılır ve çevresel etkiler azaltılır.
Rüzgâr türbinleri için de Sonlu Farklar Yöntemi kullanılabilir. Türbin kanatlarının aerodinamik tasarımında yapılan hesaplamalar, rüzgârın türbin üzerindeki etkilerini detaylıca gösterir ve bu sayede enerji üretimi maksimize edilir.
Navier-Stokes denklemlerinden ısı denklemini çıkardığımızda, yani sıcaklığın akışkan boyunca hiç değişmediğini düşündüğümüzde denklem çok sadeleşir ve sonlu farklar yöntemi ile çözülebilecek bir hal alır.
Basit Bir Köprü Hikayesi
İstanbul'da bugün rüzgârın kuzeyden güneye doğru estiğini düşünelim. Bu rüzgâr Boğaz köprüsü üzerinden de esecektir. Peki acaba bugünkü rüzgâr köprünün üzerine ne kadar kuvvet uygulayacak? Bu kuvvet köprümüzü yıkar mı? Bunu bilmenin yolu da akışkanlar mekaniği denklemlerini sonlu farklar yöntemi ile çözmekten geçiyor.
![Köprü Üzerinden Geçen Hava Akımı](https://cdn.evrimagaci.org/13QmidEOmClKoxpR6DRnsNlE_Ds=/825x0/storage.evrimagaci.org%2Fcontent%2Fa663a6bb-0af5-4fdd-bc47-5b03a6512c23.jpeg)
Düz bir köprü yüzeyi düşünelim, bu yüzey üzerinden sabit bir hızla esen rüzgârı inceleyeceğiz. Bu senaryoda, sıcaklığın akışkan üzerindeki etkisini ihmal ediyoruz, yani enerji denklemini dikkate almayacağız. Köprüyü hayali olarak kuzeyden güneye doğru bir bıçakla kestiğimizi düşünün. Bu hayali kesite yandan baktığımızda aşağıdaki gibi bir şekil görürüz.
![Flat Plate Problemi Şematik Çizimi](https://cdn.evrimagaci.org/alvY4G4R7d79Bc_FmveEP-q8O8I=/825x0/storage.evrimagaci.org%2Fcontent%2F2ca4610b-07ce-498b-9039-b77e586c0a5a.jpeg)
Rüzgâr, henüz köprüye varmadan sabit bir hızla eserken köprü yüzeyine ulaştığında durum değişir. Köprünün yüzeyiyle olan sürtünme nedeniyle, yüzeydeki rüzgâr hızı sıfıra iner. Köprüden yükseğe doğru çıktıkça, rüzgâr hızı yavaş yavaş artar ve sonunda açık havadaki ilk hızına kavuşur. Bu hız dağılımını anlamak, köprünün rüzgâr yüklerine nasıl tepki vereceğini belirlemek için kritik öneme sahiptir.
Her bir yükseklikteki rüzgâr hızını bilmek, köprü üzerine uygulanan aerodinamik kuvvetleri hesaplamamıza olanak tanır. Rüzgârın köprüye uyguladığı kuvvet, rüzgârın kaybettiği hız kadardır. Bu kuvvetler, köprü tasarımının rüzgâr yüklerine karşı ne kadar dayanıklı olması gerektiğini anlamak için esastır. Bu nedenle, köprü tasarımcıları için rüzgârın hız dağılımını detaylı olarak bilmek ve bu bilgiyi kullanarak köprüyü uygun şekilde tasarlamak ve güçlendirmek önemlidir.
![Flat Plate Problemi Şematik Çizimi Izgara ile Gösterimi](https://cdn.evrimagaci.org/YiEX3a4c_GpmQk9UR21GhB-GP20=/825x0/storage.evrimagaci.org%2Fcontent%2Fec8bf9ed-3961-48fb-924d-f991ac8f2a3f.jpeg)
Bu problem için yapılacak modellemede şu elementler bulunur:
- Hesaplama Alanı: Kesik yeşil çizgi ile gösterilen alana Hesaplama Alanı diyoruz. Bu alan içerisinde akış denklemlerini çözeceğiz. Yüksekliği 1 metre genişliği de 10 metre diye düşünelim.
- Giriş Hızı: Rüzgâr UU hızıyla giriş yapacak.
- Izgara Boyutu: Enerji denklemini çözerken 10x10'luk bir ızgara kullanmıştık. Burda da benzer bir şekilde yeşil alan içerisinde hayali noktalar belirleyeceğiz ve her nokta üzerinde denklemlerimizi çözeceğiz. Köprü üzerinde kullanacağımız ızgara yükseklikte 6 genişlikte 10 olmak üzere 6x10 olsun.
Benzer şekilde, problem için bazı sınır koşulları da belirlemeliyiz:
- Giriş: Sol tarafta hız soldan sağa doğru sabit hız.
- Çıkış: Sağ taraftaki, hesaplamalarımız sonrasında öğreneceğimiz hız.
- Yüzey: Köprü yüzeyi üzerinde rüzgârın hızının sıfır olması.
- Üst Sınır: Yeterince yukarda rüzgâr soldan sağa doğru aynı geldiği gibi geçecek, yani hızı değişmeyecek.
Bu fiziksel problemi Navier-Stokes Denklemleri ile modelleyeceğiz. Rüzgârın hızının zamana göre değişmediğini düşünürsek denklemlerimiz şu şekilde olur:
∂u∂x+∂v∂y=0\Large \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} =0
u∂u∂x+v∂u∂y=ν∂2u∂y2\Large u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} =\nu \frac{\partial^2u}{\partial y^2}
Düz bir plaka üzerindeki akış için temel denklemleri, yani süreklilik ve momentum denklemlerini, Sonlu Farklar Metodu (FDM) ile ayrıklaştırmak, bu problemleri sayısal olarak çözmek için gereklidir. Burada bu denklemleri adım adım ayrıklaştıralım:
1. Ayrıklaştırma: Kütle Korunumu:
ui+1,j−ui+jΔx+vi,j+1−vi+jΔy=0\Large \frac{ u_{i+1,j} - u_{i+j} }{\Delta x}+\frac{v_{i,j+1} - v_{i+j}}{\Delta y} =0
2. Ayrıklaştırma: Momentum Denklemi (xx yönü):
ui,jui+1,j−ui−1,j2Δx+vi,jui,j+1−ui,j−12Δy=ν(ui,j+1−2ui,j+ui,j−1Δy2)\Large u_{i,j} \frac{ u_{i+1,j} - u_{i-1,j} }{2\Delta x} + v_{i,j} \frac{ u_{i,j+1} - u_{i,j-1} }{2\Delta y}=\nu (\frac{u_{i,j+1} -2u_{i,j} + u_{i,j-1} }{\Delta y^2})
Şimdi sınır koşullarımızı da denklem sisteminde gösterelim. Plaka yüzeyinde hızın sıfır olması şöyle gösterilir.
Plaka yüzeyinde (y = 0):
ui,0=0\Large u_{i,0}=0
vi,0=0\Large v_{i,0}=0
Sınır tabakanın dışı (y → ∞ veya son ayrık y-noktası) için ise gösterim şu şekildedir:
ui,ny=U\Large u_{i,n_y}=U
Kırmızı kesik noktalı çizgilerin kesiştiği her noktada bu denklemleri sonlu farklar yöntemi ile çözersek her nokta için rüzgârın hızını bulabiliriz. Sonlu farklar yönteminin kütlenin korunumu ve momentumun korunumu denklemlerini çözmesi, daha önceki örneğimizde gördüğümüz gibi aslında bir çeşit ortalama alma metodudur. Ancak aritmetik ortalama değil, fiziksel gerçekliği yansıtmak üzere yukarıdaki denklemlerden gelen farklı bir ortalama alma yöntemi ortaya çıkmaktadır.
Rüzgârın her noktadaki hızı bulunduktan sonra köprü üzerinden geçerken kaybettiği momentumu hesaplayabiliriz. Rüzgâr soldan esmeye başlayıp sağdan çıkıncaya kadar hızı azaldığı için momentum kaybetmiştir. Sistemin toplam momentumu korunduğuna göre rüzgâr kaybettiği momentumu köprüye aktarmış demektir. Bu şekilde köprü üzerine uygulanan kuvveti bulabiliriz. Bu hesaplama aslında köprü inşa edilmeden önce, İstanbul'da gerçekleşebilecek en sert rüzgâra göre yapılmış olmalıdır. Böylelikle daha köprü inşa edilmeden rüzgârdan kaynaklanan ne kadarlık yük olacağını biliyorduk. Şimdi sıra, o kuvvete dayanabilecek köprü ayağını tasarlamakta. Elbette burada da sonlu farklar yöntemi kullanılıyor!
Katı Mekaniği ve Sonlu Farklar Yöntemi
Sonlu Farklar Yöntemi, katıların nasıl tepki vereceğini anlamada da kullanılır. Örneğin otomobil endüstrisinde, araçların çarpışma simülasyonları bu yöntemle yapılır. Bu simülasyonlar, güvenliğin nasıl artırılacağını gösterir ve araçlar daha güvenli hale getirilir. Biz ise bir kolonun eğilme miktarını hesaplayacağız.
Köprü bacağı olarak kullanılan bir dikey kolon üzerine uygulanan noktasal bir kuvvetin neden olduğu bükülme miktarını hesaplamak için sonlu farklar yöntemini kullanacağız. Bu kuvvet bir önceki analizimizde köprü üzerinden geçen akışın uyguladığı kuvvettir. Bu tür yapısal analizler, genellikle mühendislikte Euler-Bernoulli kiriş teorisi ile modellenir. Kirişin bükülme denklemini çözerek, kirişin her noktasında yer değiştirme (defleksiyon) miktarını hesaplayabiliriz.
Kolon uzunluğunu LL metre, kolonun alt ucunu sabit (yer değiştirme ve hız sıfır) ve üst uca uygulanan kuvveti FF Newton olarak kabul edelim.
![Kolonun Şematik Çizimi](https://cdn.evrimagaci.org/wL6FJ0gdr9WAHkosSKMnXY8-L0I=/825x0/storage.evrimagaci.org%2Fcontent%2F7c9c3b86-888e-411b-96c6-0f39689d1e7e.jpeg)
Euler-Bernoulli Kiriş Teorisi, bize şu eşitliği verir:
EI∂4y∂x4=q(x)\Large EI \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} = q(x)
Burada, q(x)q(x) kiriş üzerine uygulanan yük dağılımını ifade eder ve bu problemde q(x)=0q(x)=0'dır, yani yük yoktur. FF kuvveti ise noktasal yük olarak x=Lx=L noktasında uygulanır.
Sınır Koşulları ise şöyle tanımlanabilir:
- Alt uç (x = 0) sabittir:
- y(0)=0y(0)=0 (Yer değiştirme sıfır)
- y′(0)=0y'(0)=0 (Yer değişim hızı sıfır)
- Üst uç (x = L) noktasına noktasal kuvvet uygulanır:
- y′′(L)=0y''(L)=0 (Moment sıfır)
- y′′′(L)=−F/EIy'''(L)=−F/EI (Kesme kuvveti)
Dördüncü dereceden türevi sonlu farklar metodu ile ayrıklaştırmak içinse genellikle merkezi fark kullanılır. Bir ızgara üzerinde düğüm noktalarını ele alarak, her bir düğüm noktası için yer değiştirme yy değerlerini hesaplarsınız. ΔxΔx adım boyunu L/nL/n olarak tanımlayarak ve nn ızgara sayısını belirleyerek dördüncü türev için sonlu fark yaklaşımı şöyle ifade edilir:
∂4y∂x4=yi−2−4yi−1+6yi−4yi+1+yi+2Δx4\Large \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} = \frac{y_{i-2} - 4y_{i-1} + 6y_{i} -4y_{i+1} +y_{i+2}}{\Delta x^4}
Kolonu bir boyutlu olarak düşündüğümüzde herhangi bir noktadaki yer değiştirme miktarını yine bir çeşit ortalama alma metodu ile hesaplamış oluruz. Bu aritmetik ortalama değil, fizik denkleminden doğan farklı bir ortalama alma tekniğidir. Bazı değerlerin ortalamaya katılım etkisi 4 veya 6 kat daha fazladır. Hangi noktanın ne kadar etkili olacağına karar veren de fiziğin ta kendisidir.
Yukarıdaki ayrıklaştırma kullanılarak, Euler-Bernoulli kiriş denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz:
EIyi−2−4yi−1+6yi−4yi+1+yi+2Δx4=qi\Large EI\frac{y_{i-2} - 4y_{i-1} + 6y_{i} -4y_{i+1} +y_{i+2}}{\Delta x^4} = q_i
Bu ayrıklaştırılmış form, bir lineer denklem sistemi olarak çözülebilir. Sistemin çözümü için genellikle doğrusal cebirsel yöntemler kullanılır. Kirişin sınır koşulları (örneğin, sabitlenmiş, serbest, kayma yok veya mafsallı destek), bu denklemler sistemine uygun olarak düğüm noktalarında ifade edilir ve sistem buna göre çözülür.
Sonlu farklar yöntemi kullanılarak elde edilen bu model, yapısal mühendislikte yaygın olarak kullanılan önemli bir araçtır. Bu yaklaşım sayesinde, karmaşık yük ve destek koşulları altında kirişlerin nasıl davranacağını etkili bir şekilde tahmin etmek mümkündür.
Sonuç
Bu yazımızda, Sonlu Farklar Yöntemi'nin (FDM) mühendislikten günlük hayatımıza, hava durumu tahminlerinden köprü tasarımlarına kadar pek çok alanda nasıl kullanıldığını gördük. Bu yöntem, pek göz önünde olmasa da hayatımızın her köşesinde karşımıza çıkıyor ve dünyamızı daha yaşanabilir, güvenli ve verimli kılıyor.
Bu karmaşık hesaplamaları yapabilmek için cebimizde bir süper bilgisayar taşımamıza gerek yok. Modern teknoloji ve bilgisayarlar sayesinde, mühendisler ve bilim insanları bu denklemleri saniyeler içinde çözebiliyor. Sonuçlar? Daha sağlam binalar, daha etkili ilaçlar, daha verimli araçlar ve elbette daha doğru hava durumu tahminleri!
Artık, bir köprünün üzerinde yürürken altınızdaki asfaltın Sonlu Farklar Yöntemi sayesinde hesaplanan kuvvetlere dayanıklı olduğunu bileceksiniz. Ya da evinizde otururken, dışarıdaki rüzgârın gücünü hesaplayan bilim insanlarının çalışmalarına güvenerek, sıcak bir kahvenin keyfini çıkarabilirsiniz.
Sonlu Farklar Yöntemi, adeta bir matematik sihirbazı gibi, kâğıt üzerindeki formüllerden yola çıkarak köprüleri, binaları, araçları ve daha fazlasını sorunsuz bir şekilde kullanmamızı sağlıyor. Bu yöntem olmasaydı, mühendislik ve bilim dünyası şüphesiz çok daha farklı olurdu.
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna Git- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- ^ Clay Mathematics Institute. The Millennium Prize Problems - Clay Mathematics Institute. (27 Mayıs 2022). Alındığı Tarih: 28 Nisan 2024. Alındığı Yer: Clay Mathematics Institute | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 08/09/2024 02:29:22 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/17457
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.