Modern Diferansiyel Geometri: Manifoldlar Nedir, Diferansiyellenebilir Manifoldlar Nasıl Tanımlanır?

Manifold kavramı Öklid Uzayı'nın yani düzlemsel (doğrusal) uzayların dışında da farklı geometrilerle uğraşmamıza olanak sağlayan bir kavramdır. Manifold kavramının temel motivasyonu Gauss Eğriliğidir. Gauss, her yüzeyin düz olmadığını ancak noktasal olarak baktığımızda düzlem gibi davranabildiğini gözlemlemiştir.

Örneğin Dünya'mız elbette düz değildir, ancak siz Dünya'nın üzerinde dümdüz bir ovaya baktığınızda Dünya'nın düz olmadığını fark etmekte oldukça zorlanabilirsiniz; çünkü siz Dünya'nın üzerinde bir noktasınızdır ve Dünya noktasal olarak düzdür, ancak genel yapısı itibariyle düz değildir.

Bir yüzeyin düzlem olmaktan sapma ölçüsü Gauss Eğriliği ile ifade edilir. Eğri uzaylar Öklid uzayı gibi davranmaz, yani Öklid'in 5 aksiyomunu sağlamak zorunda değillerdir. Ancak noktasal olarak baktığımızda Öklid uzayları ile aynı özellikleri gösterirler, bu da Öklid uzaylarında yapabildiğimiz her şeyi eğri uzaylara genelleştirmemizi sağlar.

Örneğin türev veya integral alma, dizi ve seri tanımlama gibi matematiksel işlemleri Öklid uzayında yani ${\mathbb{R}}^n$'de yapabiliriz. Manifoldların noktasal olarak Öklid uzayıyla homeomorf olması sayesinde bu kavramların hepsini manifoldlar üzerinde yeniden tanımlayabilir, böylece koordinattan bağımsız bir matematiğe sahip olabiliriz. Manifold kavramını matematikte bu kadar önemli yapan şey de budur.

Manifold Tanımı

$X$bir topolojik uzay olsun, eğer her $x,y\in X$ için ayrık iki $U_x,U_y$ komşulukları bulabiliyorsak $X$ uzayına Hausdorff uzayı denir.

$X$bir topolojik uzaysa ve eğer bu uzayın sayılabilir bir topolojik bazı mevcutsa $X$'e ikinci sayılabilir uzay denir.

$X$ bir topolojik uzay olsun, eğer bir $x\in X$ noktasında, bir $n\in \mathbb{N}$ için ${\mathbb{R}}^n$ uzayına homeomorfik bir $U_x$ açık komşuluğu mevcut ise, yani $U_x$ ve ${\mathbb{R}}^n$ arasında kendisi ve tersi sürekli birebir ve örten bir $f$ fonksiyon mevcut ise $X$ uzayına Lokal Olarak Öklidyen denir.

$M$ bir topolojik uzay olsun. Eğer $M$,

1. Hausdorff olma,
2. İkinci sayılabilirlik,
3. Lokal olarak Öklidyenlik

özelliklerine sahipse $M$'e topolojik manifold denir.

Manifoldların lokal olarak Öklidyen olma sebebi açıktır, ancak Hausdorff ve ikinci sayılabilir olma özellikleri matematiksel açıdan istikrarlı ve kolay kolay bozulmayan bir sistem inşa etme ihtiyacından gelmiştir. Çünkü bir topolojik uzayın Hausdorff olması demek o uzaydaki dizilerin birden fazla noktaya yakınsamaması, ancak tek bir noktaya yakınsaması demektir. Bu da bildiğimiz limit kavramını manifoldlara taşıyabilmemizi sağlar, çünkü bildiğimiz limitte bir dizi bir noktaya yakınsıyorsa o nokta eşsiz olmalıdır, yani bir dizi birden fazla yere yakınsayamaz.

İkinci sayılabilirlik ise manifold üzerinde analiz (türev, integral hesabı vs.) yapabilmemize olanak tanır, çünkü ikinci sayılabilirlik özelliği sayesinde bir manifoldu her zaman bir Öklid uzayının alt kümesi olarak düşünebiliriz. Buna Whitney Gömme Teoremi adı verilir. Dolayısıyla lokal olarak Öklidyenliğin yanı sıra bu iki özellik de olmazsa olmazdır.

Ancak bu üç tane özelliğe sahip olması manifoldları yeterince çekici kılmayabilir, çünkü bu özellikleri kullanarak bir manifold üzerinde türev alma gibi kalkülüsten bildiğimiz kavramları genelleştiremeyiz, nedenini görmek için aşağıdaki örneğe göz atalım:

$S=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|y=x^{2/3}\}$ kümesini düşünelim, bu kümenin bir eğri belirttiği açıktır ve bu eğrinin grafiğini aşağıda görebilirsiniz.

Math Stackexchange

Bu eğri manifold olmanın bütün şartlarını sağlar, ancak $x=0$ noktasında türevlenemez bir eğridir. Dolayısıyla bu manifold "yeterince güzel" bir manifold değildir. Bunun için diferansiyellenebilir manifold kavramını tanımlayacağız.

Diferansiyellenebilir Manifoldlar

$M,n$ boyutlu bir manifold olsun, bu manifoldun bir $p$ noktasında $U$ açık komşuluğu ve $\varphi :U\to {\mathbb{R}}^n$ bir homeomorfizması varsa $(U,\varphi )$ ikilisine $p$ noktası etrafında bir chart denir.

$\varphi$ fonksiyonunu bir $q\in U$ noktasında $\varphi (q)=(x_1(q),...,x_n(q)),x_i:U\to \mathbb{R}$ biçiminde yazacak olursak, $x_i$ fonksiyonlarının bir koordinat olarak düşünülebileceğini görürüz. Yani manifoldun bir $U$ chartında($\varphi$ kısaltma amaçlı bazen atlanabilir) lokal koordinatları $\varphi$ fonksiyonu ile verilir.

Bir manifold her zaman tek bir chart ile örtülmek zorunda değildir, yani bir manifoldu her zaman tek bir koordinat sistemiyle veremeyiz. Dolayısıyla bir manifoldu örteceğimiz zaman genelde bir sürü chart kullanırız.

Bu durumsa şöyle bir soruyu beraberinde getirir: Bu chartların kesişimlerinde neler olur? Esasında bu chartların kesişimde uzlaşmaları gerekmez, yani $(U,\varphi )$ ile $(V,\psi )$ iki farklı chart ise $U\cap V$ içinde $\varphi =\psi$ olmak zorunda değildir. (Ayrıca $U\cap V$ boş küme de olabilir.) Ancak biz manifoldumuz üzerinde tanımladığımız chartların birbiriyle uyumlu olmalarını isteriz.

Uyumlu Chart'lar

$M,n$-boyutlu bir manifold olsun, $(U,\varphi )$ ile $(V,\psi )$ birer chart olsun ve $U\cap V$'nin boş küme olmadığını düşünelim. O halde, $\varphi \circ {\psi }^{-1}:\psi (U\cap V)\to \varphi (U\cap V)$ fonksiyonu, bir diğer adıyla geçiş fonksiyonu bir diffeomorfizma ise biz bu iki chart'a uyumlu deriz.

Diffeomorfizma tanımı, fonksiyonun türevlenebilir olmasını gerektirir. Peki geçiş fonksiyonunun türevlenebilir olduğunu nasıl göstereceğiz? $\psi (U\cap V)$ ile $\varphi (U\cap V)$ kümeleri esasında ${\mathbb{R}}^n$ kümesinin bir alt kümesidir, yani bildiğimiz türev alma işlemi burada uygulanabilir çünkü işlem manifold üzerinde değildir.

Springer Link

Atlaslar

Bütün chartların kümesine atlas denir, yani atlasımızın içindeki açık kümelerin birleşimi manifoldu oluşturur. Dolayısıyla her noktada bir koordinat sistemi mevcuttur. Eğer atlastaki bütün chartlar uyumlu ise atlasa uyumlu atlas adı verilir. Eğer atlas mümkün olan bütün uyumlu chartları içeriyorsa bu atlasa maksimal atlas denir, ki manifold teorisinde varsayımlar hep maksimal atlaslar üzerinden üretilir. Eğer bir manifold maksimal atlasa sahipse her noktasında türevlenebilen bir koordinat sistemi mevcuttur. Böylece eğer maksimal bir atlasımız var ise manifoldumuz diferansiyellenebilir bir manifolddur.

Diferansiyellenebilir Bir Manifold Olarak Çember

$S^1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2=1\}$ kümesi iki boyutlu bir çember belirtir. Çemberin Hausdorff ve ikinci sayılabilir olduğu açıktır. Lokal olarak Öklidyen olduğunu göstermek için çember üzerinde bir atlas oluşturacağız. Bu atlası tek bir chart ile oluşturamayız, çünkü oluşturabilseydik çember, Öklid uzayı ile homeomorfik olurdu. Ancak çember kompakt iken (sonlu sayıda açık küme ile örtülebilirken), $1$-boyutlu Öklid uzayı olan $\mathbb{R}$ sonlu sayıda açık küme ile örtülemez, yani kompakt değildir.

Kompaktlık topolojik bir özellik olduğundan homeomorfizma altında korunması gerekir ancak görüldüğü üzere korunmamaktadır. $U=(0,2\pi ),V=(-\pi ,\pi )$ alınır ve bu kümeler üzerinde polar koordinatları tanımlarsak çemberin diferansiyellenebilir manifold olduğunu görebiliriz. Çünkü polar koordinatlar türevlenebilir bir koordinat sistemidir ve aynı sistemi farklı chart'larda tanımladığımızdan birbirleriyle uyumlulardır.