Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat
Tüm Reklamları Kapat

Modern Diferansiyel Geometri: Manifoldlar Nedir, Diferansiyellenebilir Manifoldlar Nasıl Tanımlanır?

Modern Diferansiyel Geometri: Manifoldlar Nedir, Diferansiyellenebilir Manifoldlar Nasıl Tanımlanır? University of Wisconsin
6 dakika
1,726
Tüm Reklamları Kapat

Manifold kavramı Öklid Uzayı'nın yani düzlemsel (doğrusal) uzayların dışında da farklı geometrilerle uğraşmamıza olanak sağlayan bir kavramdır. Manifold kavramının temel motivasyonu Gauss Eğriliğidir. Gauss, her yüzeyin düz olmadığını ancak noktasal olarak baktığımızda düzlem gibi davranabildiğini gözlemlemiştir.

Örneğin Dünya'mız elbette düz değildir, ancak siz Dünya'nın üzerinde dümdüz bir ovaya baktığınızda Dünya'nın düz olmadığını fark etmekte oldukça zorlanabilirsiniz; çünkü siz Dünya'nın üzerinde bir noktasınızdır ve Dünya noktasal olarak düzdür, ancak genel yapısı itibariyle düz değildir.

Bir yüzeyin düzlem olmaktan sapma ölçüsü Gauss Eğriliği ile ifade edilir. Eğri uzaylar Öklid uzayı gibi davranmaz, yani Öklid'in 5 aksiyomunu sağlamak zorunda değillerdir. Ancak noktasal olarak baktığımızda Öklid uzayları ile aynı özellikleri gösterirler, bu da Öklid uzaylarında yapabildiğimiz her şeyi eğri uzaylara genelleştirmemizi sağlar.

Tüm Reklamları Kapat

Örneğin türev veya integral alma, dizi ve seri tanımlama gibi matematiksel işlemleri Öklid uzayında yani Rn\mathbb{R}^n'de yapabiliriz. Manifoldların noktasal olarak Öklid uzayıyla homeomorf olması sayesinde bu kavramların hepsini manifoldlar üzerinde yeniden tanımlayabilir, böylece koordinattan bağımsız bir matematiğe sahip olabiliriz. Manifold kavramını matematikte bu kadar önemli yapan şey de budur.

Manifold Tanımı

XX bir topolojik uzay olsun, eğer her x,y∈Xx,y\in X için ayrık iki Ux, UyU_x,\ U_y komşulukları bulabiliyorsak XX uzayına Hausdorff uzayı denir.

XX bir topolojik uzaysa ve eğer bu uzayın sayılabilir bir topolojik bazı mevcutsa XX'e ikinci sayılabilir uzay denir.

XX bir topolojik uzay olsun, eğer bir x∈Xx\in X noktasında, bir n∈N n\in\mathbb{N} için Rn \mathbb{R}^n uzayına homeomorfik bir UxU_x açık komşuluğu mevcut ise, yani UxU_x ve Rn\mathbb{R}^n arasında kendisi ve tersi sürekli birebir ve örten bir ff fonksiyon mevcut ise XX uzayına Lokal Olarak Öklidyen denir.

Tüm Reklamları Kapat

MM bir topolojik uzay olsun. Eğer MM,

  1. Hausdorff olma,
  2. İkinci sayılabilirlik,
  3. Lokal olarak Öklidyenlik

özelliklerine sahipse MM'e topolojik manifold denir.

Manifoldların lokal olarak Öklidyen olma sebebi açıktır, ancak Hausdorff ve ikinci sayılabilir olma özellikleri matematiksel açıdan istikrarlı ve kolay kolay bozulmayan bir sistem inşa etme ihtiyacından gelmiştir. Çünkü bir topolojik uzayın Hausdorff olması demek o uzaydaki dizilerin birden fazla noktaya yakınsamaması, ancak tek bir noktaya yakınsaması demektir. Bu da bildiğimiz limit kavramını manifoldlara taşıyabilmemizi sağlar, çünkü bildiğimiz limitte bir dizi bir noktaya yakınsıyorsa o nokta eşsiz olmalıdır, yani bir dizi birden fazla yere yakınsayamaz.

İkinci sayılabilirlik ise manifold üzerinde analiz (türev, integral hesabı vs.) yapabilmemize olanak tanır, çünkü ikinci sayılabilirlik özelliği sayesinde bir manifoldu her zaman bir Öklid uzayının alt kümesi olarak düşünebiliriz. Buna Whitney Gömme Teoremi adı verilir. Dolayısıyla lokal olarak Öklidyenliğin yanı sıra bu iki özellik de olmazsa olmazdır.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Ancak bu üç tane özelliğe sahip olması manifoldları yeterince çekici kılmayabilir, çünkü bu özellikleri kullanarak bir manifold üzerinde türev alma gibi kalkülüsten bildiğimiz kavramları genelleştiremeyiz, nedenini görmek için aşağıdaki örneğe göz atalım:

S={(x,y)∈R2∣ y=x2/3}S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\big | \ y=x^{2/3}\} kümesini düşünelim, bu kümenin bir eğri belirttiği açıktır ve bu eğrinin grafiğini aşağıda görebilirsiniz.

y=x^2/3 grafiği
y=x^2/3 grafiği
Math Stackexchange

Bu eğri manifold olmanın bütün şartlarını sağlar, ancak x=0x=0 noktasında türevlenemez bir eğridir. Dolayısıyla bu manifold "yeterince güzel" bir manifold değildir. Bunun için diferansiyellenebilir manifold kavramını tanımlayacağız.

Diferansiyellenebilir Manifoldlar

M,nM, n boyutlu bir manifold olsun, bu manifoldun bir pp noktasında UU açık komşuluğu ve ϕ:U→Rn\phi: U\rightarrow\mathbb{R}^n bir homeomorfizması varsa (U,ϕ)(U,\phi) ikilisine pp noktası etrafında bir chart denir.

ϕ\phi fonksiyonunu bir q∈Uq\in U noktasında ϕ(q)=(x1(q),...,xn(q)), xi:U→R\phi(q)=(x_1(q),...,x_n(q)),\ x_i:U\rightarrow\mathbb{R} biçiminde yazacak olursak, xix_i fonksiyonlarının bir koordinat olarak düşünülebileceğini görürüz. Yani manifoldun bir UU chartında(ϕ\phi kısaltma amaçlı bazen atlanabilir) lokal koordinatları ϕ\phi fonksiyonu ile verilir.

Bir manifold her zaman tek bir chart ile örtülmek zorunda değildir, yani bir manifoldu her zaman tek bir koordinat sistemiyle veremeyiz. Dolayısıyla bir manifoldu örteceğimiz zaman genelde bir sürü chart kullanırız.

Tüm Reklamları Kapat

Bu durumsa şöyle bir soruyu beraberinde getirir: Bu chartların kesişimlerinde neler olur? Esasında bu chartların kesişimde uzlaşmaları gerekmez, yani (U,ϕ)(U,\phi) ile (V,ψ)(V,\psi) iki farklı chart ise U∩VU\cap V içinde ϕ=ψ\phi=\psi olmak zorunda değildir. (Ayrıca U∩V U\cap V boş küme de olabilir.) Ancak biz manifoldumuz üzerinde tanımladığımız chartların birbiriyle uyumlu olmalarını isteriz.

Uyumlu Chart'lar

M,nM, n-boyutlu bir manifold olsun, (U,ϕ)(U,\phi) ile (V,ψ)(V,\psi) birer chart olsun ve U∩V U\cap V'nin boş küme olmadığını düşünelim. O halde, ϕ∘ψ−1:ψ(U∩V)→ϕ(U∩V)\phi\circ\psi^{-1}:\psi(U\cap V)\rightarrow\phi(U\cap V) fonksiyonu, bir diğer adıyla geçiş fonksiyonu bir diffeomorfizma ise biz bu iki chart'a uyumlu deriz.

Diffeomorfizma tanımı, fonksiyonun türevlenebilir olmasını gerektirir. Peki geçiş fonksiyonunun türevlenebilir olduğunu nasıl göstereceğiz? ψ(U∩V)\psi(U\cap V) ile ϕ(U∩V)\phi(U\cap V) kümeleri esasında Rn\mathbb{R}^n kümesinin bir alt kümesidir, yani bildiğimiz türev alma işlemi burada uygulanabilir çünkü işlem manifold üzerinde değildir.

Tüm Reklamları Kapat

Geçiş fonksiyonu ve chartlar arası uyumluluk.
Geçiş fonksiyonu ve chartlar arası uyumluluk.
Springer Link

Atlaslar

Bütün chartların kümesine atlas denir, yani atlasımızın içindeki açık kümelerin birleşimi manifoldu oluşturur. Dolayısıyla her noktada bir koordinat sistemi mevcuttur. Eğer atlastaki bütün chartlar uyumlu ise atlasa uyumlu atlas adı verilir. Eğer atlas mümkün olan bütün uyumlu chartları içeriyorsa bu atlasa maksimal atlas denir, ki manifold teorisinde varsayımlar hep maksimal atlaslar üzerinden üretilir. Eğer bir manifold maksimal atlasa sahipse her noktasında türevlenebilen bir koordinat sistemi mevcuttur. Böylece eğer maksimal bir atlasımız var ise manifoldumuz diferansiyellenebilir bir manifolddur.

Diferansiyellenebilir Bir Manifold Olarak Çember

S1={(x,y)∈R2∣ x2+y2=1}S^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\big | \ x^2+y^2=1\} kümesi iki boyutlu bir çember belirtir. Çemberin Hausdorff ve ikinci sayılabilir olduğu açıktır. Lokal olarak Öklidyen olduğunu göstermek için çember üzerinde bir atlas oluşturacağız. Bu atlası tek bir chart ile oluşturamayız, çünkü oluşturabilseydik çember, Öklid uzayı ile homeomorfik olurdu. Ancak çember kompakt iken (sonlu sayıda açık küme ile örtülebilirken), 11 -boyutlu Öklid uzayı olan R\mathbb{R} sonlu sayıda açık küme ile örtülemez, yani kompakt değildir.

Kompaktlık topolojik bir özellik olduğundan homeomorfizma altında korunması gerekir ancak görüldüğü üzere korunmamaktadır. U=(0,2π), V=(−π,π)U=(0,2\pi),\ V=(-\pi,\pi) alınır ve bu kümeler üzerinde polar koordinatları tanımlarsak çemberin diferansiyellenebilir manifold olduğunu görebiliriz. Çünkü polar koordinatlar türevlenebilir bir koordinat sistemidir ve aynı sistemi farklı chart'larda tanımladığımızdan birbirleriyle uyumlulardır.

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
14
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 5
  • İnanılmaz 2
  • Tebrikler! 1
  • Muhteşem! 0
  • Bilim Budur! 0
  • Güldürdü 0
  • Umut Verici! 0
  • Merak Uyandırıcı! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
  • J. Munkres. Topology.
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 21/07/2024 19:06:29 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/14138

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Tüm Reklamları Kapat
Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Basınç
Hominid
Kimya Tarihi
Mühendislik
Genel Görelilik Teorisi
Uçak
Skeptisizm
Protein
Homeostasis
Argüman
Araç
Teleskop
Yer
Teyit
Deniz
Karanlık Enerji
Araştırmacılar
Anksiyete
Kilometre
Nötron Yıldızı
Cinsel Yönelim
Bağışıklık Sistemi
Özel Görelilik
Uzay Aracı
Parçacık
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Kafana takılan neler var?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
M. Taşdemir, et al. Modern Diferansiyel Geometri: Manifoldlar Nedir, Diferansiyellenebilir Manifoldlar Nasıl Tanımlanır?. (31 Temmuz 2023). Alındığı Tarih: 21 Temmuz 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/14138
Taşdemir, M., Alparslan, E. (2023, July 31). Modern Diferansiyel Geometri: Manifoldlar Nedir, Diferansiyellenebilir Manifoldlar Nasıl Tanımlanır?. Evrim Ağacı. Retrieved July 21, 2024. from https://evrimagaci.org/s/14138
M. Taşdemir, et al. “Modern Diferansiyel Geometri: Manifoldlar Nedir, Diferansiyellenebilir Manifoldlar Nasıl Tanımlanır?.” Edited by Eda Alparslan. Evrim Ağacı, 31 Jul. 2023, https://evrimagaci.org/s/14138.
Taşdemir, Mert. Alparslan, Eda. “Modern Diferansiyel Geometri: Manifoldlar Nedir, Diferansiyellenebilir Manifoldlar Nasıl Tanımlanır?.” Edited by Eda Alparslan. Evrim Ağacı, July 31, 2023. https://evrimagaci.org/s/14138.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close