Cebirin Temel Teoremi Nedir?

Şayet üniversitede sayısal bir bölüm okuduysanız "Kalkülüsün temel teoremi" diye bir teoremi mutlaka duymuşsunuzdur. Basitçe bu teorem bize türev ile integral arasında bir ilişki olduğunu söyler ve hem matematikte hem de temel ve uygulamalı bilimlerde oldukça faydalı bir araçtır. İsminden anlaşılacağı üzere, kalkülüsün temel teoremi oldukça temel bir teoremdir çünkü bütün analiz (matematiğin bir dalı) kalkülüsün temel teoremi üzerine inşa edilmiştir.

Peki ya matematiğin öbür dalları, onlar da böyle bir teorem üzerine inşa edilmişler midir? Bunun cevabı evet! Bu yazımızda da matematiğin tarihsel olarak ikinci ortaya çıkan ve günümüzde matematikçiler arasında en popüler çalışma alanlarından biri olarak cebirden bahsedeceğiz. Daha spesifik olarak, cebirden değil, cebirin temel teoreminden (veya d'Alambert Teoremi veya d'Alambert-Gauss Teoremi) bahsedeceğiz.

Cebirin Temel Teoremi, Cebirin Temel Teoremi Değil!

Ancak burada ilginç bir detay var: Kalkülüsün temel teoremi, gerçek anlamıyla kalkülüsün en temel teoremi iken ve kalkülüsün geri kalanı (ve modern kalkülüs ve diferansiyel denklemler) o teorem üzerine inşa edilmişken, bugün inceleyeceğimiz "cebirin temel teoremi", modern cebir aslında bu temel teorem üzerine inşa edilmiş değildir. Bu, tarihsel bir hatalı isimlendirmedir; zira "cebirin temel teoremi" geliştirildiğinde, "cebir" dediğimiz matematik dalı "denklemler teorisi" olarak bilinen çok daha antik bir yapıdaydı. Bu teorem, o dönemde var olan teori için oldukça temel ve önemliydi; fakat modern cebir, "cebirin temel teoremi"nin çok ötesine geçmiştir. Dolayısıyla kalkülüsün temel teoreminin matematikteki yeri ve önemiyle, cebirin temel teoreminin matematikteki yeri ve önemini kıyaslamak doğru olmayacaktır.

Üstelik birazdan göreceğimiz üzere, ilginç bir şekilde, "cebirin temel teoremi"nin tamamen cebire dayalı bir ispatı bulunmamaktadır. Bu teoremi ispatlayabilmek için, reel sayıların tamlığının (İng: "completeness of the real numbers") bir türü kullanılmak zorundadır. Bu tamlık, cebirsel bir kavram değildir ve karmaşık sayılara ihtiyaç duymaktadır. Bu da cebirin temel teoreminin pek de "temel" olmadığına işaret etmektedir.

Yine de tarihsel önemi ve matematikteki genel yeri bakımından bu teoremden bahsetmekte fayda görüyoruz.

Cebirin Temel Teoremi Nedir?

Teoreme değinmeden önce birkaç basit tanım yapacağız.

Tanım: Kompleks Sayılar (ve $i$ Sayısı)

$\mathbb{C}:=\{x+iy|x,y\in \mathbb{R},i=\sqrt{-1}\}$

olarak tanımlanan kümeye "kompleks sayılar kümesi" denir. Buradaki $i$ sayısının oldukça ilginç bir hikayesi var, yeri gelmişken ona da kısaca değinelim.

$i$ sayısının genelde şu denklemin kökü olarak tanımlandığı düşünülür:

$x^2+1=0$

Ancak sayının tarihsel gelişimi öyle değildir. Elbette, günün sonunda yine bu denkleme ulaşılır; ancak tarihte ilk olarak kübik denklemlerin çözümünde matematikçilerin karşısına "-1 sayısının karekökü" ifadesi çıkmıştır. Bu sayının gerçek sayılar kümesinde bir karşılığı olmadığı için, -1'in karekökünü ayrı bir sayı olarak kabul edilmiş ve toplama ile çarpma işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

$(a+b\sqrt{-1})+(c+d\sqrt{-1})=(a+c)+(b+d)\sqrt{-1}$

$(a+b\sqrt{-1})\times (c+d\sqrt{-1})=(ac-bd)+(cb+ad)\sqrt{-1}$

Kısmen yanlış bir düşünce olsa da okur zihninde kolay canlandırması açısından, bu işlemlerin, köklü sayılardaki işlemlere benzediği düşünebilir. Daha sonrasındaysa her defasında -1'in karekökünü yazmak zor geldiği için, bunun yerine notasyon olarak "$i$" kullanmak yaygınlaşmıştır. Ayrıca belirtmekte fayda var ki bazı mühendislik dallarında "$i$" yerine (yeri geldiğinde) "$j$" de kullanılır; yani tüm dünyanın uzlaştığı bir notasyon yoktur.

Kompleks sayılar hakkında konuşacak çok şey var; ama şimdi polinom kavramını tanımlayalım ve ardından teoremimize geçelim.

Tanım: Polinom

$\mathbb{C}$ kompleks sayılar kümesi olmak üzere,

$\mathbb{C}[x]:=\{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n|a_i\in \mathbb{C},n\in \mathbb{N}\}$

olarak tanımlanan küme, kompleks katsayılı polinomların kümesidir. Bu kümenin her elemanına "kompleks değerli polinom" denir. Biz, kısaca "polinom" diyeceğiz. En yüksek kuvvetli terimin derecesine bu "polinomun derecesi" denir. Şimdi bu kümenin elemanlarına bir göz atalım. Örneğin:

$p(x)=ix+(2-i)x^2$

$\mathbb{C}[x]$ üzerinde bir polinomdur ve derecesi 2'dir çünkü en yüksek dereceli terimin üssü 2'dir.

$q(x)=\sqrt{x}+9i{x}^4$

ise bir polinom değildir; çünkü $x$'in karekök içinde olduğu bir terim görüyoruz - ki polinom tanımına baktığımızda kuvvetlerin doğal sayı olması gerekmektedir. Oysa karekök, 1/2. kuvvet ile özdeştir; yani bu kuvvet, bir doğal sayı değildir.

Teorem: Cebirin Temel Teoremi

Cebirin temel teoreminin şunu söylediği söylenir:

• Teorem: $p(x)\in \mathbb{C}[x]$, $n$. dereceden bir polinom olmak üzere, $p(x)=0$ denklemini çözen $n$ farklı kompleks $x$ sayısı vardır.

Bu teoremi anlamaya çalışalım. Örneğin $p(x)=x^2+4x+3$ polinomunu ele alalım. Bu polinomun derecesi $2$ olduğundan, cebirin temel teoremine göre $2$ tane kökü olmalıdır. Gerçekten de $-3$ ve $-1$ bu polinomun kökleridir (bunu kendiniz de deneyebilirsiniz).

Agora Bilim Pazarı

Edebiyat Seti 3 (6 kitap)

Dilenciler ve Kibirliler

Albert Cossery

“Hayatı yaşamadan öğretmek cehaletin işlediği en iğrenç suçtu.”

İnsan ilişkilerine ve topluma getirdiği nüktedan ve kışkırtıcı bakışla Batı kültürünün son gerçek anarşist yazarı kabul edilen Albert Cossery’nin döneminin avangard yazarlarının aksine can sıkıntısı ve muğlaklıklardan uzak romanı, adaletsiz toplumların düzenini bozan hırsızlar, züppeler, dilenciler ve yersiz yurtsuzlardan oluşuyor. Eski felsefe hocası ve dilenci Gohar, uyuşturucu satıcısı ve şair Yeghen, otoriter ve eşcinsel polis amiri Nur El Dine, Kahire sokaklarında bir araya geliyor. Peki, toplumsal norm ve heveslere karşı çıkarken iç huzuru nasıl koruyorlar? Fakirliğin ortasında, usanmaz devlet güçlerinin durduramadığı yaşam enerjisini nasıl muhafaza ediyorlar?

“Karakterlerinin içinden geçtiği dinmeyen hüzne ve beyhudeliğe rağmen, Cossery her eserinde boyunduruğa karşı insanlardaki inatçı inancın gücünü göstermeye devam ediyor.”

—Henry Miller

“Bir efsane… Otoritenin tüm biçimlerini çürüten yakıcı bir hiciv onunkisi. Mesajı çok açık: Cennet kaybolmadı, sadece hepimiz dünyanın cennetvari sadeliğinin tadına varamayacak kadar meşgulüz.”

—Guardian

“Camus gibi Cossery de ahlaki soruları absürdün filtresinden geçirerek inceler; Miller gibi o da başıboşları kucaklar. Bununla birlikte onun yazınında çok güçlü bir politik görev duygusu vardır. Cossery’e göre en şiddetli isyan edimi,iştirak etmemeyi tercih etmektir.”

—Los Angeles Times

“Albert Cossery… her gün karşımıza çıkması gereken bir isim. O kadar iyi ki: kusursuz bir üslupçu, boyun eğmez bir mizahçı, en önemli meselesi ise “her şeyin yanlış olduğu bir dünyada” hevesin beyhudeliği.”
—David Ulin, Los Angeles Times

Düzen Adamı

Alberto Moravia

Düzen Adamı çocukluğundan itibaren normalliğin peşine düşen Marcello’nun hayatı ekseninde toplumsal

alışkanlıkların ikiyüzlülüğünü ortaya koyuyor. Alberto Moravia kahramanı Marcello’nun takıntı

derecesindeki normallik arzusunu bir dürtü olarak tarif ediyor: “Kabul gören genel bir kurala uyma

iradesiydi, farklı olmak suçlu olmak anlamına geldiğine göre başkalarına benzeme isteğiydi” onunki.

“Maneviyatla sanatsal bütünlüğün nadiren rastladığımız birleşimi Moravia’yı Avrupa’nın en iyi yazarları

arasına yerleştiriyor.”

– John Burnside, Guardian

“En önemli romanı Düzen Adamı’nda Moravia, sinik fırsatçılar ülkesinde cinsellikle siyaset arasındaki

karmaşık ilişkiyi keşfediyor.”

– Rachel Donadio, New York Times

HAV

Jan Morris

Ursula K. Le Guin’in Önsözüyle

Hav kurmaca bir şehir devleti, bir Akdeniz şehri, sokaklarında Türkçenin, Ermenicenin, Rumcanın, Arapçanın, Rusçanın, İtalyancanın bir arada duyulduğu bir coğrafya. Yirmi yıl arayla bu coğrafyaya giden bir seyyah yazar, şehrin iki yakın dönemi arasındaki siyasi, kültürel, yaşamsal doku değişimlerini nefis bir dille anlatıyor.

Önce 1985 yılının Hav’ını tanımaya başlıyoruz, sonra bir “Müdahale” oluyor, altüst oluyor şehir, yirmi yılın ardından aynı yere dönüyoruz, yirmi birinci yüzyılın Yeni Hav’ına, Kutsal Mirmidon Cumhuriyeti’ne. Eskisinin izini sürmeye çalışsak da zorlanıyoruz, şehrin tarihini bağnaz bir bakışla baştan yazanların eliyle görgüsüzlüğün tüm şehirde itinayla teşhir edildiğini görüyoruz.

Hav hibrit edebiyatın usta bir örneği, seyahat edebiyatıyla bilimkurguyu bir araya getiriyor. Hav diye bir şehir yok ama pekâlâ olabilir.

“Hav, tüm Akdeniz tarihinin, âdetlerinin ve politikasının birkaç bin yılına tutulmuş bir ayna gibi… Suudi Arabistan, Türkiye veya Downing Street’in geçmişine ve mevcut haline gerçekten vâkıf, son derece gerçekçi, kesinlikle gözleme dayanan bir eser. Ciddi bilimkurgu eserleri hayal ürünlerinin değil bir gerçekçiliğin biçemidir; Hav alternatif bir coğrafyanın ne kadar kullanışlı olabileceğine mükemmel bir örnek. Eğer bilimkurguyu bilmedikleri nispetle küçük gören üstatların ahmakça züppelikleri aklınızı çelip de Hav’a sırtınızı çevirirseniz hem yazık olur hem de çok büyük bir kayıp.”

Ursula K. Le Guin

“Hav’ı okuyan hangi seyahat yazarı gerçekten var olan bir yeri anlatmaya devam etsin ki? Hibrit edebiyatın güçlü bir örneği Hav; hem başlı başına mükemmel bir kurmaca hem de Lawrence, Burton ve Blanch gibi yenilmez seyahat yazarlarına nükteli bir saygı duruşu.”
Elaine Kendall, Los Angeles Times

“Dokunaklı bir aşk mektubu [Hav], görünmez bir şehre değil, yaşamın kendisine yazılmış. Morris bize ‘şimdi ve burada’yı anlatmak için hayali bir gurbetin hikâyesini kaleme almış.”

Peter J. Conradi, The Independent

“Jan Morris gezegende ilginç neresi varsa neredeyse hepsini anlamak için edebi kabiliyetiyle muhabirlik görüsünü işe koşuyor. Kaleme aldıkları arasında Hav’ın eşsiz bir yeri var, belki de kavrayış bakımından en kuvvetli eserlerinden biri.”

Donald Morrison, Time

“1985’te ilk yayımlandığında gerçek bir yer sanılarak kafası karışmış seyahat acentelerini boş yere aramış insanlar. Boşuna değil ama, Morris’in hayal gücü hayranlık uyandırıyor, kurmaca şehir devleti dört başı mamur bir yer ve olağanüstü bir yer. Hav, Akdeniz Yarımadası’nın doğusunda, soğan kubbeleri, minareleri ve parlak olduğu kadar karmaşık tarihiyle insana son derece inandırıcı geliyor. Hav’ın geçmişi yaşanmış olaylarla ustaca örülmüş; şimdisiyse soluk ve yalıtılmış, insana rahatsız edici bir şekilde kayıp bir dünyayı gözetliyormuş hissi veriyor.”
Publishers Weekly

“Şehrin tüm tarihi bu güzel edisyonda bir araya geliyor. Okurlarsa en çok ilk bölümü sevmeye devam ediyor, yani Akdeniz Ekspres’in son durağı olan Hav’ın ilk haline yapılan o nostaljik gezinin güzel anlatımını. O romantik hırpani şehir (eğer bir zamanlar gerçekten vardıysa bile) artık yok. Fakat ne yazık ki Kutsal Mirmidon Cumhuriyeti (başka başka isimlerde) bugün hâlâ gerçekliğini koruyor.”

Michael Dirda, The Washington Post

Müzikli Beyin
Latin Amerika’nın usta kalemi César Aira, kısacık romanlarının yanı sıra öyküleriyle de tecrübeli edebiyat okurunun radarına takılıyor. Sıradan olayların, hatta kendi hayatına dair bazı unsurların üzerine kurguladığı, bağlamından sapan gerçeküstü metinleriyle Aira okurunu, zihninin karmaşık ve soyut patikalarında beraber çıkacakları kısa yürüyüşlere davet ediyor.

Tanrı’nın doğum gününü kutlayan maymunlar, varoluşunu sorgulayan çömleçikuşu, Mona Lisa’nın dünyaya yayılıp kendilerine yeni hayatlar kuran boya partikülleri, yolunu kaybetmiş çizgi roman serserileri, gezici sirklerin doğaüstü yaratıkları… Aira’nın hikâyelerinde tüm bu tuhaf karakterler, gündelik hayatın sıradanlığı içinde ete kemiğe bürünüyor.

“Aira’yı okumaya başladığınızda, durmak istemeyeceksiniz.”

Roberto Bolano

“Arjantinli yazar César Aira, avangard tekniklerle uğraşan seçkin bir minyatürcü. Çalışmalarındaki neşeli edebi oyunculuğu ve hikâye-içinde-hikâyeleriyle, Vladimir Nabokov ve Italo Calvino’yu andırıyor.”

The Wall Street Journal

Sessizliğin Yanıtı – Bir Dağ Hikâyesi

Max Frisch

Sonsöz: Peter von Matt

“Rüzgârlar gibidir hayatımızın imkânları, yine de insan neden cesaret etmez ki yelken açmaya? Her şey yaşanmamış bir hayattan daha iyidir, hatta felaket bile – acı, ümitsizlik, cürüm, her şey ama her şey boşluktan daha iyidir!”

Sessizliğin Yanıtı hayatın sıradanlığına, beyhudeliğine katlanamayan otuz yaşındaki bir adamın varoluşunun sınırlarını zorladığı bir kendini arayış hikâyesi. Max Frisch, kendi yaşamından da ipuçları barındıran bu ilk dönem eserinde, heba edilmiş bir hayatın tek sorumlusunun o hayatın sahibi olduğunu gösteriyor bize.

“Sessizliğin Yanıtı burjuva dünya görüşünün hayata geçirilmesi fikriyle uzlaşmanın peşi sıra gelecek krizi daha başından ele alır.”

– Peter von Matt

Yedi Deli Adam

Roberto Arlt

Yedi Deli Adam, kendisine sürekli acı veren ruhunu görüp anlamaya çalışan bahtsız bir adamı ve etrafında şekillenen karanlık, absürd olaylar silsilesini anlatıyor. Delilik nöbetleriyle, ruhun ve zihnin tikleriyle, birbirinden ilginç karakterlerle, devrimci, anarşist yaklaşımlarla dolu, yazıldığı dönemin Buenos Aires’inin çarpıcı bir portresini çizen roman, Roberto Arlt’ın başyapıtı kabul ediliyor.

“Âcizane, Arlt’ın İsa olduğunu varsayalım. Dolayısıyla Arjantin İsrail, Buenos Aires de Kudüs’tür… Arlt keskin zekâlı, tehlikeyi göze alan, koşullara ayak uydurabilen, doğuştan hayatta kalma becerisine sahip biri… hiç kuşkusuz Arjantin ve Latin Amerika edebiyatının önemli bir parçası.”

— Roberto Bolaño

“Kitaptaki karakterler okurun ruhuna adeta musallat oluyor.”

—Julio Cortázar

“Bu kıyılarda edebiyat dâhisi olarak adlandırılacak biri varsa o Roberto Arlt’tır… sanattan ve büyük, tuhaf bir sanatçıdan… doğduğu şehri herkesten daha iyi, muhtemelen ölümsüz tangolar yazmış olanlardan bile daha derin anlamış birinden bahsediyorum.”

—Juan Carlos Onetti

Devamını Göster

₺1,584.00

Satın Al Tüm Ürünler