Matematik gerçekten kusursuz mu?

Merhaba,

Çok güzel bir soru ve çoğunlukla matematik felsefesi altında tartışabileceğimiz bir konu.

Pür matematik, mesleğimin bir parçası olsa da bu alanda uzman değilim. Dolayısıyla cevapta kimi noktalar yüzeysel kalmış olabilir. Bahsi geçen birçok düşünce çeşitli bilgilerin sentezlenmesiyle oluşturulmuştur ancak çoğunlukla akıl yürütmeye dayandığı için tartışmaya da açıktır.

Felsefi açıdan yaklaşacağımız için öncelikle bilim felsefesi ile matematik felsefesi arasındaki farka değinelim.

Matematik, bilimin önemli bir parçasıdır. Ancak "bilim felsefesi" daha çok doğa bilimleri ile ilgilenir. Matematik felsefesi ile ayrılırlar. Bunun birçok nedeni vardır. Genel olarak diğer bilim dalları somut delillerle çalışırken matematik, mantıksal çıkarım ve ispatlarla temellendirilir. Dolayısıyla diğer bilim dallarında "yanlışlanana kadar bu bilimsel gerçek doğrudur" denir. Bilinen bir yanlışlanmış bilimsel gerçek Thomson atom modelidir. Bu bilimsel gerçeğin yanlışlanması elbette onu kıymetsiz yapmaz çünkü bulunan yeni gerçek bu bilimsel gerçeğin üzerine kurulmuştur. Yani diğer bilim dallarında bilimsel gerçekler doğru ve yanlış olarak ayrılabilir. Ancak matematikte benzer durumlar pek görülmez. ^{[1] [2]} Örneğin, doğal sayıları bulduktan sonra negatif tam sayıların eklenmesiyle tam sayılar kümesine ulaşırız. Buradan rasyonel sayılara geçeriz. Ancak her bir sayı kümesinin keşfinde diğer sayı kümeleri reddedilmemiştir. Yani her bir ilerleme, bir öncekini çürütmez, aksine birbirine bağlı sisteme yeni bir bağ eklenir. Bu da matematiği kendi içinde güçlü ve sarmal yapıya sahip yapar. Her bir matematiksel gerçek, matematiğin diğer yönleriyle ispatlanabilir. Kök 2'nin irrasyonelliğini birkaç ispat yöntemi kullanarak gösterebiliriz.^[3] Bu da matematiği kendi içinde "mükemmel" bir sistem yapar. Bununla birlikte, diğer bilim dalları kimi kuralların ispatı ya da varlığı için başka bilim dallarına ihtiyaç duyabilir. Ancak matematiksel ispatlar için gerekli olan tek şey, matematiktir. Matematiği, kendi ekosistemine sahip bir fanus gibi düşünebiliriz. Kendi kendine var olmaya devam eder, dışardan herhangi bir desteğe ihtiyaç duymaz.

Ancak, bahsi geçtiği üzere eksikleri elbette mevcuttur. Bir örnek üzerinden ilerleyelim. En temele indiğimizde 1+1'in değerini kümeler kuramı ile göstermemiz gerekir. Çünkü önce 1'in ne olduğunu bilmemiz; + ve = işaretlerinin işlevlerini ve sınırlılıklarını belirlememiz gerekir. + bir işlemdir, bu işlemin kuralları ve kimi özel elemanları vardır. Bunları belirledikten sonra -, * ve / işlemlerini düşünebiliriz. Bu işlemler de kendi içinde çeşitli kurallara ve özel elemanlara sahiptir. Bunların hepsi kümeler kuramıyla elde edilir (Kümeler kuramı ve doğal sayıların inşası hakkında detaylı bilgi için^[4]). Peki nasıl olur?

Öncelikle bir doğal sayı sistemimiz olmalı ki üstünde işlem yapabilelim. Doğal sayıları yalnızca kümeleri kullanarak ifade edebilirim.

0 boş küme olsun, o halde 1, boş kümeyi içeren bir kümedir. 2 ise boş kümeyi ve 1'i içerir. Bunu bu şekilde sonsuza kadar sürdürebilirim. Kendimce oluşturayım; doğal sayılar kümesinin elemanları 2, 6, 0, 1, 3, 5, 8, ... olsun. Bu sistemi daha düzenli hale getirebilirim, ardıllığı kullanabilirim. bu sayede sonsuz oluşunu da ifade etmiş olurum ki elemanları gösterirken kullandığım "..." anlamlı hale gelir. Yani bize oldukça doğal görünen 0, 1, 2, 3, ... sıralamasının da kümeler kuramında bir yeri vardır. Ardıllık olmadan kümemiz düzensiz olur.

İyi ama, boş küme ne demektir? Hiçbir elemanı olmayan küme.

Peki eleman ne demektir? Bir kümede bulunan her bir nesne, varlık vb.

Varlık nedir? Nesne nedir? Peki küme ne demek? Ardıl? Sonsuz?

İşte burada oluşturulmuş mükemmel sistemin kimi eksiklikleri devreye girer. Matematiğin kurallar bütünü olduğunu, bu kuralları kendi içinde tutarlı olacak şekilde matematikçilerin belirlediklerini biliyoruz. Bunları belirlerken ilk adımımızı her ne kadar teorem ve ispat sanıyorsak da ilk adımımız, bir tanım ortaya koymaktır. Bu tanım, bahsi geçen kavramın dışında hiçbir özelliğini bırakmamalı ancak opsiyonel bir bilgi de içermemelidir. Yani tanımı okuduğumuzda ne olduğuyla birlikte ne olmadığını da anlamamız gerekir. Dolayısıyla her bir tanımın içinde geçen matematiksel her bir kavramın tanımlanması gerekir. Bu sonsuza kadar sürmez mi? O halde herkesin sonsuza kadar tanım yapması gerekmez mi? İşte bunun olmaması için tanımlar, sistemi sağlamlaştıracak bir noktadan başlamış ve sistem bu noktanın etrafında oluşturulmuştur. Her bir matematiksel sistemin tanımsız ancak ne olduğu bilinen, matematikçileri "acaba şu mu bu mu?" ikileminde bırakmayan bir kavramı vardır ve matematik, bu kavram üzere oluşturulur.

Bu durumu, bir inşaat ile durumu modelleyebiliriz. Matematiği temeli sağlam bir inşaat gibi düşünebiliriz. İnşaatın sağlam olması için temel kazmak gereklidir. Ne kadar derin olursa o kadar sağlam olur mantığındaysak magmaya kadar kazmamız bile yetmez, teknik olarak dünyanın diğer ucundan çıkmamız gerekir. Ancak bu şekilde inşaat yapamayız. O halde sağlam olacak ancak inşaatın yapılmasına engel olmayacak bir derinlik bilimsel metotlar kullanılarak bulunabilir. İnşaatta bunu matematik ile sağlıyoruz, matematikte ise temel kabullerle.

Bu noktada "matematik keşif midir icat mıdır?" gibi ya da matematik felsefesinde benimsediğimiz görüşe göre tartışma çok daha farklı bir açıdan şekillenebilir. Ancak en genel haliyle bu şekilde bahsedebiliriz.

Dolayısıyla matematik kusurlara sahip ve kendi içinde tutarlı bir sistemdir. Bu sebeple mükemmeldir.