Bana kalırsa bu soru, Evrim Ağacı'na atılan en kaliteli sorudur.
Birkaç bilgiyi vererek başlamak istiyorum. ifadesi Pell sayılarıyla oldukça ilişkilidir.olmak üzere ve elbette dediğimizde zaten aklımıza Pell sayıları gelmelidir.[1] Pell sayıları genel olarak şu şekilde ilerler;
Pell sayıları hakkında bilgi vererek burayı doldurmak istemiyorum, istiyorsanız biyografimde instagram adresim var ekstra konularla ilgili danışmak için kullanabilirsiniz. Biz şimdilik bizim ihtiyacımız olan bilgilerle devam edelim. Pell sayılarındaki örüntüyü fark edebildiniz mi? Mesela bakın Fibonacci sayıları şuna benziyor;[2]
Fibonacci sayılarının örüntüsünü şöyle tanımlayabiliriz;
ve olmak üzere
Benzer şekilde Pell sayılarının da örüntüsünü bulduğunuzu sanıyorum, Pell sayılarını şu şekilde tanımlayabiliriz;
ve olmak üzere
Bu da aslında birkaç güzellik getiriyor. Bu güzelliklerin geliş yolunu ben yine bu cevapta açıklamayacağım, isterseniz kolayca indüksiyonla ispatlayabilirsiniz. Yapamazsanız instagramdan yine ulaşmanız durumunda bu güzelliklerin de ispatını yaparız.
ve eder.
Pell Sayıları ve Pisagor üçlüsü arasında da sıkı bir bağlantı vardır. Eğer dikkatlice bakarsanız her ve için sayısının bir hipotenüs belirttiğini görebilirsiniz, sahiden;
Birçok ispatı atladım, bu cevabı okuyup merak eden ve bana ulaşan herkese ispatları tekrar atarım ancak en önemli husus olduğu için hemen bu hipotenüse eşit olma konusunun ispatını yapayım, zaten diğerleri tümevarımla çıkıyor ancak bu biraz daha farklı. Motivasyonu açıklamayacağım, sadece ispata bakalım;
ifadeleri eğer özdeşlikler yardımıyla açarsak
Sol tarafta sadeleşecek ifadeler var farkındaysanız, sadeleştirince ifademiz şuna benziyor.
Sol taraftaki ifade de benzer şekilde tamkare belirtiyor,
Ve ne demiştik üstteki eşitliklerde, öyle değil mi? O halde eşitlik bariz biçimde sağlanıyor. Eşitliğin her tarafındaki sayıların da tamsayı olduğunu düşünürsek, formundaki sayılar sahiden de bir pisagor üçlüsünün hipotenüsünü belirtir.
"Benim bahsettiğin ifadeyle bunların ne alakası var?" diyebilirsin. Aslında doğrudan ilişkililer. Haydi isterseniz bahsettiğiniz ifadeyi biraz daha somutlaştıralım,
olmak üzere diyorsunuz. Önemli nokta olmasıdır.
Eğer ki ifadesinin k bir pozitif tek sayı olmak üzere ifadesine eşit olduğunu ispatlarsak, sorumuz biter çünkü daha demin de gördüğümüz üzere k pozitif tek sayısı için her hipotenüs belirtir.
Ve gerçek şudur ki aslında c_k=P_{2k+3} eder. Bu bilgiye ulaşırkenki motivasyonumu yine anlatamayacağım çünkü çözüm uzadıkça uzuyor ancak ispatını yapayım ki havada kalmasın.
Tümevarım kullanarak ispat edeceğiz.
Tümevarım varsayımımız
Tümevarım taban adımı
için eder. Dolayısıyla ifademiz doğru.
İndüksiyon adımı
Not: Bu adımı kolaylaştırmak için (bkz: gümüş oran) eşitliğini ve diyelim
olur, Ön kabulumuz olduğu için aynı zamanda eder.
Ki burada da kaçırmamamız gereken bir nokta var, sahiden,
O halde bu son ulaştığımız eşitliği şöyle düzenleyebiliriz,
Çarpımı da tamamlarsak olucaktır.
Aynı zamanda bu eşitliğin neye eşit olması gerektiğinin de farkında olursak iyi olucaktır. Bu ifade 'e yani aslında 'e eşit olmalıdır.
de aslında nedir? İlk verdiğimiz tanımlara dayanarak bu ifadenin de olduğunu söyleyebiliriz.
Demek ki olmalıdır.
Başında verdiğim ancak şu zamana kadar hiç kullanmadığımız bir formül vardı, o formülü de kullanmanın vakti işte tam şu an geldi.
edecektir. Bu ifadeyi de şöyle birleştirelim
Şimdi üstteki paydaki bütün ifadeleri toplayarak yazalım.
yerine yazalım ki parantezinde yazabilelim, aynı şeyi için de yapalım.
Bu da ortak paranteze alırsak şuna eşittir:
Ve yine unutmayalım ki;
Aslında eder ki bu da aslında eder.
Aynı şekilde eder ki bu da aslında eder.
O halde bu ifadelerin yerine bunları da yazabiliriz, yani,
ve bu ifadeyi de şu şekilde yazabiliriz,
Soldaki kesir, ilk verdiğim eşitlikten ötürü bariz şekilde
eder. Eşitliğin sağ tarafınaysa biraz daha detaylı odaklanalım.
Ayrıca parantezin içine bakarsak edeceği barizdir.
Öyleyse bu sayı da olacağı ve payla paydada sadeleşecek ifadeler olacağı için bu ifadeyi basitçe
diye düzenleyebiliriz. O halde
eder. Ancak unutmayalım bir floor operatörümüz var, yani bu bahsekonu ifadenin tamsayı kısmı bize gerekiyor. Biz biliyoruz ki , dolayısıyla bunun 'üncü kuvveti de yine 0'la -1 arasında, 0'a daha yakın bir sayı olacak ve bu durum o sayıyı 2 ile çarpsak da değişmeyecek. 0 ve -1 arasında ama 0'a daha yakın bir sayı getirecek. Dolayısıyla bu ifade gibi bir sayı olacak( ).
O halde eder.
olduğunu göz önünde bulundurursak eder. Bu da basitçe floor operatörüne atıldığında P_{2k+5} ifadesini vereceğini söyler. O halde eder ki bu da eder ve hem tümevarım hem ispat tamamlanmış olur.
Son not: Floor operatörü yüzüne yazmam gereken yerleri pek takip edemedim, genel bütünlük kaybolmuyor ancak sizin de kafanızı karıştıran bir ifade varsa muhtemelen yaklaşık eşittir olarak düşünebilirsiniz. İspatını başta geçip aksiyomatik kabul ettiğim iki ifadenin ispatı tümevarımla çıkıyor, yapamazsanız ya da ekstra bir sorunuz, danışacağınız bir şey olursa Instagram adresim biyografimde yazıyor. Sadece soru sahibi değil herkes bakabilir.
Kaynaklar
- P. G. Walsh. (1988). The Pell Equation And Powerful Numbers.
- G. E. Bergum. (1989). Applications Of Fibonacci Numbers. ISBN: 9780792305231. Yayınevi: Springer Science & Business Media.
