Aksiyomlar hakkında matematik için temel kabuller denebilir. Mesela için bakalım. Bunu kanıtlayın desem bana "2 elmam var, 2 tane daha elma aldım 4 elmam oldu" diyebilirsiniz. Aslında gerçek dünya için evet doğru olur. Fakat matematik için bu tanım uygunsuzdur. Burası manav değil elmalar ile ispat yapamazsınız. Peki bu kadar basit bir şey matematiksel olarak nasıl kanıtlanır? Tabiki aksiyomları kullanacaksınız! Burada ilgilendiğimiz aksiyomlar peona aksiyomları olucak. Matematikteki doğal sayısı kümesi ile ilgili işlemler için kullandığımız peona aksiyomları ile bunu kanıtlayabilirsiniz.
Aksiyomların bir diğer olayı ise kanıtlanamaz olmalarıdır. Mesela ve ise bir aksiyomdur. İlk başta bunu kanıtlamaz olması garip gelebilir ama herhangi bir kanıt sunun elbet bir hata olucaktır. Hatta 'in her zaman doğru olması bile bir aksiyom!
Yani kısaca aksiyomlar için matematiğin çok temel ve kanıtlanması mümkün olmayan kabulleri denebilir. Bunların sayısı ne kadar az olursa o kadar güzel bir matematik olur demek pek yanlış olmaz. Mesela 15 kabul ile yapabildiğiniz her şeyi 12 kabul ile de yapabiliyorsanız 12 kabul olan matematiği kullanmak daha avantajlı olur.
Matematikteki aksiyom sayıları da hangi konulardan bahsettiğinize göre değişir. Örneğin öklid geometrisi 5 aksiyomadan oluşurken graf teorisi 3 aksiyomdan oluşur.
Bu arada aksiyomlar ile birlikte tanımsız kavramlarda vardır. Fakat bu bir başka sorunun konusu.
