24, 36 ve 54 dakikalık aralıklarla çalan 3 zil birlikte çaldıktan en az kaç dakika sonra tekrar aynı anda çalar?

Bu tarz sorularda ekok yani en küçük ortak katı bulmamız gerekmekte. İki sayının ortak katları, her iki sayıyı da bölebilen sayılardır. Bu ortak katlar arasında en küçük olanı, bu sayıların ekokudur. İki sayının ekokunu bulmak için, sayıları asal çarpanlarına ayırarak bu asal çarpanların en büyük üslerini alıp çarparız.

Verdiğiniz sayıların ekoku ise 216, yani ziller çaldıktan sonra 216. Dakikada tekrar beraber çalacaktır.

24, 36 ve 54 dakikalık aralıklarla çalan 3 zil birlikte çaldıktan sonra tekrar beraber çalmaları için geçen süre, bu sayıların ortak katlarının en küçüğü (EKOK) olacaktır. EKOK'u bulmak için önce bu sayıların asal çarpanlarını ayırmamız gerekiyor:

24'ün asal çarpanları:

\[ 24 = 2^3 \times 3^1 \]

36'nın asal çarpanları:

\[ 36 = 2^2 \times 3^2 \]

54'ün asal çarpanları:

\[ 54 = 2^1 \times 3^3 \]

Şimdi, EKOK'u bulmak için her asal sayının en büyük kuvvetini alıyoruz:

- 2'nin en büyük kuvveti: \( 2^3 \)

- 3'ün en büyük kuvveti: \( 3^3 \)

Bu kuvvetleri çarparak EKOK'u bulabiliriz:

\[ EKOK = 2^3 \times 3^3 \]

\[ EKOK = 8 \times 27 \]

\[ EKOK = 216 \]

Dolayısıyla, 24, 36 ve 54 dakikalık aralıklarla çalan ziller birlikte çaldıktan sonra tekrar birlikte çalmaları için en az 216 dakika geçmesi gerekir.