Elektromanyetik Teori: Gauss Yasası

Elektromanyetik teorinin en temel problemi; çeşitli geometrilere sahip olan ve üzerindeki net yük miktarı sıfırdan farklı olan nesnelerin herhangi bir noktadaki elektrik alanını bulmaktır. Gauss yasası bu problemi bazı özel durumlarda (simetri durumlarında) son derece kolay şekilde çözmemizi sağlayan, oldukça kullanışlı bir yöntemdir.
Herhangi bir elektromanyetik teoriye giriş kitabını elimize aldığımızda, konu akışı çoğunlukla noktasal parçacıkların, Coulomb yasası yardımıyla elektrik alanının bulunmasıyla başlar. Ardından, aynı yasa, integral kalkülüsü kullanılarak 2 ve 3 boyutlu objelere de uygulanır. Lakin, bu işlemler çoğu zaman hayli uzun matematiksel adımlardan oluşur.
Ne mutlu ki, biraz sonra bahsedeceğimiz matematiksel yöntemler yardımıyla, küresel ya da silindirik simetrinin söz konusu olduğu durumlarda, bu uzun adımlardan kurtulmak ve komik sayılabilecek kadar kısa bir sürede aynı sonuca ulaşmak da mümkündür.

Gauss Teoremi

Bu isimler gözünüzü korkutmasın. Fiziğin her alanında olduğu gibi, tüm matematiksel ifadelerimiz, fiziksel bir anlam ifade eder. Gauss teoremi söz konusu olduğunda bu fiziksel anlam, bir noktadan saçılan madde miktarı ile bu noktayı kapsayan herhangi bir yüzeyden çıkan madde miktarı arasındaki ilişkiyle özetlenebilir.
Daha anlaşılır olması adına bir örnek ele alalım. Uzayda bir yerde bir ışık kaynağı düşünelim. Bu ışık ne kadar parlaksa, saçılan foton miktarı o kadar fazladır diyebiliriz. Şimdi, bu ışık kaynağını içinde barındıran çeşitli boyda küreler çizelim. Rastgele bir yapıdaki, farklı bir üç boyutlu cisim de çizebilirdik.
Küre seçmemizin sebebi, küresel simetri kavramının, işlerimizi hayli kolaylaştırmasıdır. Kürenin boyutu ne olursa olsun, kürenin toplam yüzey alanından çıkacak olan foton miktarı, ışık kaynağından çıkan foton miktarıyla aynı olacaktır.
Bu kürelerimizin dışında herhangi bir ışık kaynağı varsa, bu ışık kaynağı toplam saçılmada bir değişime yol açmaz. Bunun sebebi de, tahmin edebileceğiniz üzere, kürenin bir yüzeyinden giren fotonların, diğer yüzeyden çıkacak olması ve foton sayısına bir katkı sağlamamasıdır.
İşte! Gauss teoreminin (ya da diverjans teoreminin) söylediği şey de tam olarak budur:

Buradaki dτ hacim, dα ise alan anlamına gelir. Bir vektörün diverjansının, onun herhangi bir yöndeki saçılma miktarını verdiğini biliyoruz. Öyleyse, eşitliğin sol tarafının, verilen hacimdeki saçılma miktarını ifade ettiğini söyleyebiliriz. Sağ taraf da benzer şekilde, yüzey alanının dışına doğru olan akışı temsil eder.

Noktasal Yük ve Gauss Yasası

Az önce noktasal ışık kaynağı ile verdiğimiz örnekte, noktasal ışık kaynağı değil, noktasal bir yük düşünelim. Bu sefer noktasal yükü pek çok küre çizmek yerine, yarı çapı r olan hayali bir kürenin merkezine yerleştirelim.
Bu noktasal yükün oluşturduğu elektrik alan vektörlerini inceleyecek olursak, hayali küremizin yüzeyindeki toplam akıyı şu şekilde ifade edebiliriz:

Elektrik potansiyeli yazmayı da küresel koordinatlarda birim alan vektörünü yazmayı da biliyoruz. İkisini de yukarıdaki integrale yerleştirelim ve ne sonuç çıkacağına bakalım.

Bu ifadeyi toparlayacak olursak:

Böylece Gauss yasasını türetmiş olduk. İspatımız sırasında en dikkat çekici kısım, yarıçap ifadesinin yok olmasıdır. Bu da demek oluyor ki noktasal yükümüzü çevreleyen kürenin yarıçapı ne olursa olsun, çıkan sonuç aynı olacaktır.

Birden Fazla Yük Durumunda Gauss Yasası

Oluşturduğumuz Gauss yüzeyinin yarıçapından bağımsız olarak, sistemin elektrik alanını bulabildiğimiz için,  birden fazla yükün olduğu durumlarda q ifadesi, Gauss yüzeyinin çevrelediği yük miktarını temsil eder. Yani:

haline gelir. Şimdi, yazımızın başındaki ifadeye, yani Gauss teoremine geri dönelim. İncelediğimiz problemdeki vektör alanı, elektrik alana karşılık geldiği için, teorem:

haline gelir. Bu ifadenin doğruluğunu, elektrik alanın diverjansını hesaplayarak gösterebiliriz.

Elektrik Alanın Diverjansı ve Gauss Teoreminin İspatı

Elektrik alanın en genel ifadesini, Coulomb yasasından elde edebiliriz. Hatırlayacak olursanız bu ifade:

şeklindeydi. Şimdi, bu ifadenin diverjansını alalım ve sonucu inceleyelim:

Bu ifadenin sol tarafındaki diverjansın nasıl alındığını ve aşağıdaki işlemlerin ne anlama geldiğini, Dirac Delta fonksiyonu yazımızı okuyarak öğrenebilirsiniz. Diverjansın sonucunu yerine yazacak olursak:

Bu sayede, Gauss yasasının diferansiyel formunu ifade etmiş olduk. İfadeyi düzenleyelim.

Şimdi, Gauss teoremindeki ifadeye benzetmek için, bu diferansiyel formun integralini alalım. Böylece denklem,

halini alır. İfadenin sağ tarafındaki ρdτ, integralin alındığı hacimdeki toplam yük anlamına gelmektedir. Öyleyse,

olmuş olur. İfadenin sağ tarafına tekrar bakacak olursak, Gauss yasasının sonucunun da aynı olduğunu görürüz. Öyleyse şu şekilde ifade edebiliriz:

Böylece Gauss yasası yardımıyla, Gauss teoremini ispat etmiş olduk.

---

Hazırlayan: Ege Can Karanfil
Editör:Ögetay Kayalı

Referanslar
1. David J. Griffiths, "Introduction to Electrodynamics",4th edition, Pearson, Chapter 2.2
2. Francis B. Hildebrand, "Advanced Calculus for Applications, 1962, Chapter 6
3. Hyperphysics, "Gauss Law", <http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/gaulaw.html>
Kapak Görseli:
https://wonderopolis.org/wonder/how-does-a-plasma-ball-work