Özel Görelilik: İkizler Paradoksu & Eşzamanlılığın Göreliliği

Meşhur ikizler paradoksu, özel göreliliğin en popüler paradoksudur (aslında bir paradoks bile değildir). Bu kadar popüler olmasına karşın, hala büyük bir çoğunluk buradaki olayın ne olduğunu bilmemektedir. Bu yazıda ikizler paradoksu konusuna tüm detaylarıyla değineceğiz. Meraklıları için, yazının sonunda teknik hesaplar da bulunmaktadır.

İkizler Paradoksu

Dünya’da bulunan iki ikiz (ve dolayısıyla aynı yaşta) bir kardeş düşünün. Kardeşlerin isimleri Ali ve Ayşe olsun. Ayşe Dünya’dan uzak bir gezegene doğru ışık hızına yakın bir hızda seyahate çıksın, Ali ise Dünya’da kalmaya devam etsin. Ardından, Ayşe gezegene gidip, Dünya’da kalan Ali’nin yanına gelsin. Bu durumda Ayşe Dünya’ya döndüğü zaman kardeşlerin yaşları için ne söyleyebiliriz?
Bu soruya her iki kardeşin gözlem çerçevesinden ayrı ayrı cevap vermeye çalışalım. Dünya’da kalan Ali’nin gözlem çerçevesinde Ayşe ışık hızına yakın bir hıza sahiptir, bu sebeple Ali’nin gözlem çerçevesinden Ayşe için zaman daha yavaş akar. Dolayısıyla Ayşe uzak gezegene gidip geldiğinde Ali daha yaşlı olacaktır.
Ayşe’nin gözlem çerçevesinden durumu incelediğimizde ise, kendisi durağanken Dünya ve Dünya’da kalan Ali’nin ışık hızına yakın bir hızı vardır. Dolayısıyla Ayşe’nin gözlem çerçevesinde kendisi için değil, Dünya’da kalan Ali için zaman daha yavaş akacaktır. Bu nedenle seyahatinden döndüğü zaman kendisi daha yaşlı olacaktır.
O halde sorumuz şu olur: Ayşe Dünya’ya döndüğünde Dünya’da kalan Ali’nin gözlem çerçevesinde kendisi daha yaşlı iken seyahat eden Ayşe’nin gözlem çerçevesinde kendisi daha yaşlıdır. Peki hangi ikiz haklıdır?

Kısa Çözüm

Dünya’da kalan Ali haklıdır. Bunun sebebini anlamak için göreliliğin temel iki varsayımına bakalım

1. Işığın vakumdaki hızı her eylemsiz gözlem çerçevesi için aynı değere sahiptir.
2. Fizik yasaları her eylemsiz gözlem çerçevesi için aynıdır.

Burada dikkat etmeniz gereken kelime öbeği eylemsizgözlem çerçevesidir. Bir gözlem çerçevesinin eylemsiz olması demek, ivmelenmiyor olması, yani hızının sabit kalması demektir. Burada yanılgıya düşüp eylemsiz gözlem çerçevesinin yalnızca durağan (hıza sahip olmayan) bir gözlem çerçevesini kastettiği düşünülmesin. Örneğin yanınızdan sabit hızla geçen bir arabadaki insanlar da eylemsiz gözlem çerçevesine sahiptir. Ek olarak şunu da belirtmek gerekir ki eylemsiz gözlem çerçevesinin bu tanımı bazı açılardan yetersizdir, fakat yazımızın konusundan çıkmamak için bu kısmı es geçiyoruz.
Verdiğimiz örnekte uzak gezegene gidip gelen Ayşe, eylemsiz bir gözlem çerçevesine sahip değildir çünkü ivmeleniyordur. İkiz Dünya’dan hareket ederken hızlanıyor ve gezegene inmek için ise yavaşlıyor. Bunların yanı sıra hız vektörel bir büyüklük olduğu için hızın değeri değişmeseydi bile yönü değiştiği için (çünkü ikiz gezegene gittikten sonra Dünya’ya dönmek için tersi istikamette gider) ivmenin varlığından söz edebiliriz. Özel görelilik eylemsiz gözlem çerçeveleri için geçerli olduğundan, olayları uzay gemisindeki ikizin gözlem çerçevesi açısından incelememiz yanlış olur. Ancak Dünya’da kalan ikiz eylemsiz olduğundan (Dünya’nın kendi etrafında ve Güneş’in etrafında dönüşünü ihmal ediyoruz) onun gözlem çerçevesinden olayları ele alabiliriz ve bu çerçeveden Dünya’da kalan ikizin kendisi daha yaşlıdır.

İvmesiz İkizler Paradoksu

Bu meşhur örneğin pek de bilinmeyen ama ilginç olan başka bir versiyonu vardır. İlginçtir çünkü ivmelenen bir gözlemci içermediği halde ortada bir paradoks ortaya çıkıyormuş gibi görünür. Bu versiyonda iki değil üç gözlemci bulunur, fakat bu hali biraz karmaşık olduğundan biz yine iki kardeşin olduğunu ve ivmelenmenin olmadığını kabul ederek, bunun farklı bir versiyonunu ele alacağız. Paradoksun üç kişilik versiyonunu izlemek isterseniz Brian Greene’in bu versiyonu açıkladığı videosunu aşağıdan izleyebilirsiniz.
https://www.youtube.com/watch?v=AM41pweAVn0

Olay

Bir önceki örneğimizde olduğu gibi isimleri Ali ve Ayşe olan ikiz kardeş düşünelim. Fakat bu sefer Ali Dünya’da iken Ayşe 1 milyon 800 bin kilometre uzaklıkta bir gezegende olsun ve bir uzay aracıyla ışığın beşte üçü hızla Dünya’ya doğru gelsin. Ali’nin yanında Dünya üzerinde bulunan, bir saate bağlı ve düğmesi olan öyle bir bomba olsun ki bombaya bağlı saat başlatıldığı andan itibaren 10 saniye sonra düğmeye basılması durumunda bomba patlamasın. Fakat saatin başlatılmasından itibaren 10 saniyeden daha kısa bir sürede basılması durumunda bomba patlasın. Ayşe yolculuğuna başladığı anda Ali’nin, bombanın saatini başlattığını düşünelim. Sorumuz şu: Ayşe Dünya’ya varıp bombanın düğmesine bastığı zaman bomba patlar mı patlamaz mı? Bu soruya her iki gözlem çerçevesinden cevap vermeye çalışalım.

Ali'nin Gözlem Çerçevesine Göre

Ali’nin gözlem çerçevesinde saatli bomba ile beraber Ali de Dünya’da olduğu için bomba da durağandır ama Ayşe 1 milyon 800 bin kilometre kadar yolu ışığın beşte üçü hızla kat etmektedir. Bu bilgileri göz önünde bulundurarak Ali’nin gözlem çerçevesinde Ayşe düğmeye bastığı zaman saatin kaç gösterdiğini hesaplayalım. Ayşe’nın hızını aşağıdaki şekilde gösterebiliriz.

Burada hızın değerini negatif olarak göstermemiz gerektiği (tıpkı Ahır Paradoksu'nda yaptığımız gibi) söylenebilir ancak bu kısımda Lorentz Dönüşümleri'ni kullanmayacağımız için hesaplarımızda hızı negatif veya pozitif olarak almamız hesaplamalarımız açısından bir fark yaratmayacaktır. Yazımızın devamında örneğin uzun çözümünde Lorentz Dönüşümleri kullandığımız sırada hızın negatif olarak gösterip gösterilmediği önem teşkil edecektir.
Işığın hızının kabaca saniyede 300 bin kilometre olduğunu düşünürsek Ayşe’nin hızını metre/saniye cinsinden hesaplayabiliriz.

Ali’nin gözlem çerçevesinde Dünya ve gezegen arasındaki uzaklığın 1 milyon 800 bin kilometre olduğunu biliyoruz.

Bu bilgilerle çok basit bir denklemle Ayşe’nin bu yolu ne kadar zamanda alacağını ve dolayısıyla Ayşe’nin düğmeye bastığında saatin kaç gösterdiğini hesaplayabiliriz.

O halde diyebiliriz ki Ali’nin gözlem çerçevesinden Ayşe bombanın saatinin başlatılmasından  10 saniye kadar süre sonra düğmeye basmıştır ve dolayısıyla bomba patlamaz. Peki Ayşe’nin gözlem çerçevesinden durum bu şekilde midir?

Ayşe'nin Gözlem Çerçevesine Göre

Ayşe’nin gözlem çerçevesinde kendisi durağandır ancak Dünya, Ali ve saatli bomba kendisine doğru ışık hızının beşte üçü değerinde yol kat etmektedir ve bu nedenle bombanın saati daha yavaş ilerler. Üstelik bunun yanı sıra kendisi ve Dünya arasında ölçtüğü uzaklık Ali’nin ölçtüğünden daha azdır, bunun sebebi Lorentz kısalmasıdır. Dolayısıyla Ali’nin gözlem çerçevesinden sonra Ayşe’nin gözlem çerçevesinden hesaplamaya kalktığımız durumda iki şey değişir:

1. Bombanın saati daha yavaş ilerler. (Zaman Genleşmesi)
2. Dünya ve Ayşe arasındaki uzaklık daha kısadır. (Lorentz Kısalması)

Bu bilgiler ışığında Ayşe’nin gözlem çerçevesinden bombanın saatinin başlatıldığı an ile bombanın düğmesine bastığı an arasındaki süreyi hesaplayalım.
Öncelikle Lorentz faktörünü hesaplayalım

Hız değerine Ayşe’nin hızını koyarsak

Lorentz faktörünü hesapladığımıza göre Ayşe’nin gözlem çerçevesinde düğmeye bastığı anda saatin kaçı göstereceğini hesaplayabiliriz.

Daha önce söylediğimiz gibi Ayşe ve Dünya arasındaki yol kısalmıştır.

Bunu denkleme koyalım.

Ali’nin gözlem çerçevesinde delta t'nin değerini 10 saniye olarak bulmuştuk. Bunu denklemde yerien koyarsak

Böylece Ayşe’nin gözlem çerçevesinden Ayşe düğmeye bastığında saatin 8 saniyeyi göstermiş olduğunu hesapladık, 10 saniyeden daha önce bastığı için bomba patlayacaktır.
Paradoksumuz ortaya çıkmıştır. Ali’nin gözlem çerçevesinde bomba etkisiz kalırken, Ayşe’nin gözlem çerçevesinde bomba patlıyordur. Peki hangi gözlemci haklıdır?

Kısa Çözüm

Eşzamanlılığın göreliliğinin hesaba katılmayışı burada da sorun çıkartmıştır. Şöyle ki; örneğimizde Ali’nin bombanın saatini başlatması ile Ayşe’nin gezegenden yolculuğa çıkmasının aynı anda olduğunu söyledik. Ancak aynı anda ifadesini söylerken hangi gözlem çerçevesinde aynı anda olduğunu belirtmemiz gerekirdi. Varsayalım ki Dünya’da olan Ali’nin gözlem çerçevesinden saati başlatması ile Ayşe’nin yola çıkması aynı anda olsun. Bu durumda Ayşe’nin gözlem çerçevesinden yola çıktığı zaman Ali’nin saati çoktan başlatmıştır, yani saatin başlamasından itibaren bir süre çoktan geçmiştir. Dolayısıyla Ayşe’nin gözlem çerçevesinden, Ayşe’nin yola çıkmaya başlaması ile düğmeye basması arasındaki zamansal fark, Ali’nin ölçtüğünden daha az olsa da Ayşe saatin düğmesine bastığı zaman saatin gösterdiği değer her iki gözlem çerçevesinde aynıdır.
Cevabı anlamak adına şöyle düşünebilirsiniz: Ali’nin gözlem çerçevesinde Ayşe gezegenden ayrıldığında saat de aynı anda başladığı için 0 saniyeyi gösteriyor ve 10 saniye sonra Ayşe Dünya’ya varıp bombanın düğmesine bastığı zaman 10 saniyeyi gösteriyor. Ayşe’nin gözlem çerçevesinden ise gezegenden ayrıldığında Dünya’da bulunan saat 2 saniyeyi gösteriyor (bu değerin nasıl elde edildiği uzun çözümümüzde anlatılmıştır) ve Ayşe 8 saniye sonra Dünya’ya vardığı zaman saat aynı şekilde yine 10 saniyeyi gösteriyor. Dolayısıyla Ayşe için gezegenden Dünya’ya gidiş süresi daha kısa olsa bile her iki gözlem çerçevesinde de Ayşe düğmeye bastığı zaman bombanın saati 10 saniyeyi gösteriyor. Ayşe’nin gözlem çerçevesinden yolculuğa çıkmasını ve bombanın saatinin başlatılmasının aynı anda olduğunu varsaysaydık her iki gözlemci için de Ayşe düğmeye bastığı an saat 8 saniyeyi gösteriyor ve dolayısıyla her iki gözlemci için de bomba patlıyor olacaktı.

Uzun Çözüm

Örneğin paradoks gibi görünen kısmını açıkladığımıza göre daha matematiksel kısmına geçebiliriz. Dünya’da olan Ali’nin gözlem çerçevesinden uzay-zaman diyagramı şöyle görünür

Bu diyagramda 

 Ali’nin gözlem çerçevesinden Dünya ve Ayşe’nin bulunduğu gezegen arasındaki uzaklığı, mavi ok ise hareket eden gözlemci olan Ayşe için gezegenden yola çıkması ile aynı zamanda gerçekleşen olayları, mavi okun t eksenini kestiği nokta olan 

 Ayşe’nin gözlem çerçevesinden Ayşe yola çıktığı zaman bombanın saatini ve 

 ise Ayşe’nin gözlem çerçevesinden kendisinin yola çıkması ve Dünya’ya varması arasındaki süreyi, 

 ise Ali’nin gözlem çerçevesinden Ayşe’nin yola çıkması ve Dünya’ya varması arasındaki süreyi temsil ediyor. Bunlara ek olarak 

 Ayşe’nin yola çıkması olayını ve 

 ise Dünya’ya varması olayını temsil ediyor.
Öncelikle şunu belirtmemiz gerekir ki bu olayın matematiksel bir izahını verebilmek için Lorentz dönüşümlerini daha farklı şekilde formüle etmeliyiz çünkü Lorentz dönüşümleri durağan gözlemcinin zaman ve uzay koordinatlarında bulunurken 

 hareketli gözlemci de 

 koordinatlarında bulunacak şekilde oluşturulmuştur, bu varsayım matematiksel açıdan hesaplamaları kolaylaştırmak için yapılsa da örneğimiz için uygun değildir (bazı kitaplarda bu şekilde formülize edilmektedir, bazı kaynaklarda elbette genel formunu görebilirsiniz). Uygun olmamasının sebebi durağan gözlemci olarak alacağımız Ali’nin gözlem çerçevesinde Ali 

 koordinatlarında bulunurken Ayşe ise 

 koordinatlarında bulunur.
Lorentz Dönüşümleri’ni türetmenin pek çok yolu vardır fakat matematiği olabildiğince kolay tutmak adına Brian Greene’nin aşağıdaki videolarda türettiği şekilde türeteceğiz. Brian Greene’nin nasıl türettiğini görmek için aşağıdaki linklere tıklayabilirsiniz.

• Uzay Koordinatları için Lorentz Dönüşümleri
• Zaman Koordinatları için Lorentz Dönüşümleri

Yazıyı uzatmamak adına Lorentz Dönüşümleri’nin bilinen halini tekrar türetmek yerine örneğimiz için uygun versiyonunu türeteceğiz.

İki gözlemci hayal edelim. Bir gözlemciyi durağan olarak alıp onun gözlem çerçevesinden hesaplama yapalım. Söylediğimiz üzere 

 anında hareketli gözlemcinin 

 da olduğunu, bunun yanı sıra hali hazırda Lorentz kısalması adını verdiğimiz şeyi yani hareketli bir nesnenin hareket doğrultusunda kısaldığını bildiğimizi varsayacağız. Bu durumda t süre sonra nasıl bir grafik elde ederiz? Bunun cevabı aşağıdaki resimde gösterdik.

Hareketli gözlemci 

 konumundan t süre kadar sonra 

 kadar ilerlemiştir. Bunun yanı sıra Lorentz kısalmasından dolayı aldığımız nokta ve hareketli gözlemcinin orijini arasındaki uzaklık Lorentz faktörü kadar kadar küçülmüştür. Bu grafiği denkleme dökelim.

Bu denklemi düzenleyip x'i yalnız bırakalım.

Bu denklem bize durağan gözlemcinin gözlem çerçevesinde x ve t koordinatlarını bildiğimiz bir olayın, hareketli gözlemcinin gözlem çerçevesindeki uzay koordinatını hesaplamamızı sağlıyor.
Yukarıdaki resmi bir de hareketli gözlemcinin gözünden bakmak istersek elde edeceğimiz resim şu şekilde olur.

Hareketli gözlemcinin gözlem çerçevesinden durağan gözlemci –x yönüne gittiği için t anında 

 konumundan 

 kadar ilerlemiştir. Bu resmi denkleme dökelim.

Bu denklemi düzenleyip x i yalnız bırakalım.

Bu denklem bize hareketli gözlemcinin gözlem çerçevesinde x' ve t' koordinatlarını bildiğimiz bir olayın durağan gözlemcinin gözlem çerçevesindeki uzay koordinatını hesaplamamızı sağlıyor.
Fark edebileceğiniz üzere eğer 

 olarak alırsanız bildiğimiz Lorentz dönüşümlerini elde ederiz. Dolayısıyla bildiğimiz Lorentz dönüşümleri yeni bulduğumuz denklemlerin özel bir hali diyebiliriz.
Yapacağımız diğer bir işlem ise yukarıda türettiğimiz yeni dönüşümlerde u gördüğümüz yere -u yazmak olacak. Bunun sebebi yukarda formülleri türetirken durağan gözlemcinin gözlem çerçevesinden hareketli gözlemcinin +x yönüne doğru gittiğini varsaymamızdır ancak çözümün başında verdiğimiz diyagrama göre hareketli gözlemci –x yönüne doğru gidiyordur. Dolayısıyla onun hızını da -u olarak göstermemiz gerekecektir.

Bunların sonucunda örneğimiz için gerekli Lorentz dönüşümlerini elde etmiş olduk.

Denklemleri bildiğimize göre örneğimizi çözmeye başlayabiliriz. Ali’nin gözlem çerçevesindeki değerlerini bilerek ve türettiğimiz yeni Lorentz dönüşümlerini kullanarak 

 ve 

 olaylarının Ayşe’nin gözlem çerçevesinde hangi uzay ve zaman ekseninde gerçekleştiğini hesaplayalım.
İlk olarak 

 olarak gösterdiğimiz Ayşe’nin gezegenden yola çıkması olayının Ayşe’nin gözlem çerçevesinde uzay ve zaman koordinatlarını hesaplayalım.

Ali’nin gözlem çerçevesinden 

 olayı yani Ayşe’nin yola çıkması bombanın saatini başlattığı an olan 

 anında ve 

 uzay koordinatında gerçekleşir. Bu değerleri Lorentz dönüşümlerinde yerlerine koyalım.

Düşünürseniz bu çok normal bir sonuç. Ayşe’nin gözlem çerçevesinden Ayşe kendi gözlem çerçevesinin orjininde olduğu için daima

 koordinatındadır. Şimdi de zaman eksenini bulalım.

Görüldüğü üzere Ayşe’nin yola çıkması olayında bombalı saat Ali’nin gözlem çerçevesinde 

'ı gösterirken Ayşe’nin gözlem çerçevesinde pozitif bir değer almıştır. Bu değeri hesaplamak için örnekte verilen değişkenlerin değerlerini denklemde yerine yazalım.

Buradan da Ayşe’nin gözlem çerçevesinde Ayşe yola çıktığı zaman bombanın saatinin 2 saniyeyi gösterdiğini anlıyoruz. Bu da kısa cevabımızda bahsettiğimiz eşzamanlılığın göreliliği dediğimiz şeydir çünkü Ali’ye göre bombanın 0 saniyeyi göstermesi ve Ayşe’nin yola çıkması aynı anda iken Ayşe’ye göre bombanın 2 saniyeyi göstermesi ve kendisinin yola çıkması aynı andadır. O halde 

 olayının Ayşe’nin gözlem çerçevesinde koordinatları şu şekildedir.

Şimdi de aynı şekilde 

 olayının yani Ayşe’nin Dünya’ya gelip düğmeye basması olayının Ayşe’nin gözlem çerçevesinden hesaplayalım.

Lorentz dönüşümlerini de yazalım.

Daha önce de söylediğimiz üzere bu beklendik bir sonuçtur. Ayşe’nin gözlem çerçevesinde Ayşe daima 

 koordinatındadır. Zaman eksenini bulmak istersek

Örneğimizde verdiğimiz değişkenleri denklemde yerine koyarsak

Sonuç olarak Ayşe düğmeye bastığı zaman o da saatin 10 saniyeyi gösterdiğini ölçer. Dolayısıyla her iki gözlem çerçevesinde Ayşe düğmeye bastığı zaman saat 10 saniyeyi gösteriyordur.
O halde 

 olayının Ayşe’nin gözlem çerçevesindeki uzay ve zaman koordinarlatı şu şekildedir.

Dolayısıyla ortada bir paradoks yoktur, her iki gözlemci de düğmeye basıldığı zaman bombanın saatinin gösterdiği değeri 10 saniye ölçer. Bu nedenle her iki gözlemci için de Ayşe bombaya bastığı zaman bomba patlamaz.
Ek olarak her iki olay arasında geçen sürenin Ali’nin ve Ayşe’nin gözlem çerçevelerinde ölçülen değerleri arasında nasıl bir ilişki olduğunu hesaplayalım.

Sonuç olarak yine bizim bildiğimiz zaman genleşmesi formülünü elde etmiş olduk. Sonuçta zaman genleşmesi ve Lorentz kısalması gibi olgular gözlemcilerin hangi uzay koordinatında saatlerini senkronize ettiklerinden bağımsızdır.
Bu yazı da eşzamanlılığın göreliliğinin ihmal edilmesi durumunda ne gibi paradokslar ortaya çıktığını anlatmaya çalıştık ve gördük ki eşzamanlılığı göz önünde bulundurduğumuz zaman ortada hiçbir paradoks yoktur.
Ege Özmeral

---

Referanslar ve İleri Okuma
1. Green B.,WorldScienceU, <http://www.worldscienceu.com/courses/university/special-relativity>
2. Serway R.A., & Jewett J. W., Physics for Scientists and Engineers, Vol. 1 - Modern Physics
3. Landau L.D. &LiftshitzE.M., The Classical Theory of Fields, Third Revised English Edition.
Kapak görseli: <https://nootropicdesign.com/defusableclock/gallery.html>