Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat
Tüm Reklamları Kapat

Küresel Koordinat Sistemi - Eşitlikler ve Dönüşümler

Küresel Koordinat Sistemi - Eşitlikler ve Dönüşümler
3 dakika
4,337
  • Özgün
Tüm Reklamları Kapat

Küresel koordinat sistemi; üç boyutlu uzaydaki bir noktayı orijine olan uzaklık r ile birbirine dik kutup açısı θ ve azimut açısı φ ile tanımlayan koordinat sistemidir. Fizikte özellikle küresel yapılar üzerinde çalışıldığında, kartezyen koordinat sistemi olan (x,y,z) yerine, küresel koordinatlar olan (r, θ , φ) tercih etmek, çözümleri birçok durumda oldukça basite indirger.

Örneğin bir parametrenin merkezden yüzeye olan değişimini, kartezyen koordinatlarda ifade etmek için değişen üç parametre (x,y,z) kullanmamız gerekirken, kutupsal koordinatlarda sadece r'nin değişimini incelemek yeterlidir.

Tüm Reklamları Kapat

Mesela Güneş'in merkezinden yüzeyine olan yoğunluk gradyenti kutupsal koordinatlarla kolayca hesaplanabilir. Çünkü sadece merkezden yüzeye olan uzaklık olan r'nin bir fonksiyonudur, θ ve φ açılarına göre değişmez. Böylelikle problem üç değişken yerine, tek değişkenle daha basit bir şekilde incelenebilir.

Bu nedenle yeri geldiğinde kartezyen koordinatlardan, kutupsal koordinatlara dönüşüm yapmak gerekir. Keza bazı durumlarda tersi de geçerli olabilir. Hatta bir problemin içerisinde iki yönde de dönüşüm yapmayı gerektiren zamanlar olabilir.

Tüm Reklamları Kapat


Küresel Koordinat Sistemi

Küresel koordinat sistemi. z ekseninden yapılan açı (kutup açısı ya da zenit açısı) φ, x ekseninden yapılan açı (azimut açısı) θ, orijinden noktaya uzaklık r ile gösterilir.
Küresel koordinat sistemi. z ekseninden yapılan açı (kutup açısı ya da zenit açısı) φ, x ekseninden yapılan açı (azimut açısı) θ, orijinden noktaya uzaklık r ile gösterilir.

Kullanılan kaynağa göre θ ile φ yer değiştirilmiş olarak gösterilebilir. Burada olası bir kafa karışıklığını önlemek için bu açıların neyi tanımladığını bilmekte fayda var. Biz burada kutup açısını (polar, zenit açısını) φ ile (z-ekseninden yapılan açı), azimut açısını da θ ile göstereceğiz (x-ekseninden yapılan açı).

SıralamaNotasyonReferans
(radyal, azimutal, polar)(r, θ, φ)Bu yazıda bu notasyon kullanılmaktadır.
(radyal, azimutal, polar)(ρ, θ, φ)Apostol (1969, p.95), Anton (1984, p. 859), Beyer (1987, p. 212)
(radyal, polar, azimutal)(r, θ, φ)ISO 31-11, Misner et al. (1973, p. 205)
(radyal, polar, azimutal)(r, θ, φ)Arfken (1985, p.102)
(radyal, polar, azimutal)(r, θ,  ψ)Moon and Spencer (1988, p. 24)
(radyal, polar, azimutal)(r, ν, φ)Korn and Korn (1968, p. 60), Bronshtein et al. (2004, pp. 209-210)
(radyal, polar, azimutal)(ρ, φ, θ)Zwillinger (1996, pp. 297-299)
Farklı kaynaklardaki farklı kutupsal koordinat notasyonları. Referans: Mathworld, Wolfram.

Zenit açısı 0° ≤ φ ≤ 180° aralığında yer alır. Azimut açısı ise 0° ≤ θ ≤ 360° arasındadır. Böylelikle birbirine dik iki eksende ifade edilen kutup açılarıyla bir kürenin tüm noktaları tanımlanmış olur. Bunu şöyle düşünebiliriz: θ açısını 0'dan 360'a kadar döndürelim. Bu durumda yukarıdaki görsele bakacak olursak xy-düzlemindeki çemberi çizmiş olduğumuzu görürüz. Şimdi bu çember φ açısı boyunca 180 derece çevirerek kapladığı hacmi hayal edelim. Bu bir tam küredir!

Burada zenit açısıyla ilgili bir konuya dikkat çekmekte yarar var. Dünya üzerinde tanımladığımız enlemler de φ=90-δ ile tanımlanır. Burada δ enlemi belirtir. Eğer φ=0 olduğu durumu inceleyecek olursak, bunun görselde tam tepe noktasına denk geldiğini görürüz. Burası Dünya üzerinde kuzey kutup noktasıdır ve enlemi δ=90'dır. Benzer şekilde enlemi δ=0 olan ekvator için φ=90 derecedir.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Küresel Koordinatlarda Dönüşümler

Kartezyen Koordinatlardan Küresel Koordinatlara Dönüşüm

Kartezyen koordinatlardan küresel koordinatlara dönüşüm için aşağıdaki eşitlikleri kullanırız. Burada r sıfırdan sonsuza, θ 0'dan 360'a (ya da 0'dan 2π'ye) φ ise 0'dan 180'e (ya da 0'dan π'ye) tanımlıdır.

Küresel koordinatlar, kartezyen koordinatlar cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanır.

Küresel Koordinatlardan Kartezyen Koordinatlara Dönüşüm

Kartezyen koordinatlar, küresel koordinatlar cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanır.

Dolayısıyla kartezyen koordinat sisteminden, küresel koordinat sistemine dönüşüm (ya da tam tersi) bu iki ifade kullanılarak kolaylıkla yapılabilir. Eğer elinizde kartezyen koordinatlar var ve kutupsal koordinatlardaki karşılığını istiyorsanız birinci dönüşüm setini, kutupsal var ama kartezyene dönüşüm istiyorsanız da ikinci dönüşüm setini kullanmanız gerekir.

Küresel Koordinat Sistemi Özellikleri

Küresel koordinat sisteminde çizgi elemanı (line element)

Küresel koordinat sisteminde alan elemanı (area element)

Küresel koordinat sisteminde hacim elemanı (volume element)

Küresel koordinat sisteminde yarıçap vektörü (radius vector)

Birim vektörler

Birim vektörlerin türevleri

Küresel Koordinatlarda Gradyent

Sorularınız için: Rasyonalist forum.

Tüm Reklamları Kapat


Hazırlayan: Ögetay Kayalı

Referanslar

1. Mathworld Wolfram, "Spherical Coordinates", <http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html>

Kapak Görseli: Heisenberg1234 - http://heisenberg1234.deviantart.com/art/Abstract-sphere-wallpaper-374498682

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
0
0
  • Alıntılı Paylaş
  • Tekrar Paylaş
  • Alıntılı Paylaşımları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Muhteşem! 0
  • Tebrikler! 0
  • Bilim Budur! 0
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 0
  • Güldürdü 0
  • İnanılmaz 0
  • Umut Verici! 0
  • Merak Uyandırıcı! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 26/02/2024 13:56:41 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/12940

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Tüm Reklamları Kapat
Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Güneş
Araştırma
Irk
Asteroid
Abd
Psikoloji
Obezite
İspat Yükü
Protein
Sars Mers
Şehir Hastanesi
Metabolizma
Çekirdek
Alan
Tekillik
Ateş
Evrim
Beyin
Epistemoloji
Zehirli Mantar
Uzay Aracı
Solunum
Temel
Tespit
Aşırı
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Kafana takılan neler var?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Evrim Ağacı'na Destek Ol
Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katmak için hemen buraya tıklayın.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
EA Akademi
Evrim Ağacı Akademi (ya da kısaca EA Akademi), 2010 yılından beri ürettiğimiz makalelerden oluşan ve kendi kendinizi bilimin çeşitli dallarında eğitebileceğiniz bir çevirim içi eğitim girişimi! Evrim Ağacı Akademi'yi buraya tıklayarak görebilirsiniz. Daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
Etkinlik & İlan
Bilim ile ilgili bir etkinlik mi düzenliyorsunuz? Yoksa bilim insanlarını veya bilimseverleri ilgilendiren bir iş, staj, çalıştay, makale çağrısı vb. bir duyurunuz mu var? Etkinlik & İlan Platformumuzda paylaşın, milyonlarca bilimsevere ulaşsın.
Youtube
Havacılık Tarihinin 90 Yıllık En Gizemli Olayı Çözülmüş Olabilir mi?
Havacılık Tarihinin 90 Yıllık En Gizemli Olayı Çözülmüş Olabilir mi?
Araba Camındaki Siyah Noktalar Ne İşe Yarıyor?
Araba Camındaki Siyah Noktalar Ne İşe Yarıyor?
Stres Yayı Yerçekimine Nasıl Karşı Koyuyor?
Stres Yayı Yerçekimine Nasıl Karşı Koyuyor?
"İkinci Beyin": Vücudunuzdaki Yabancı Organizmalar, Beyninizi Nasıl Yönetiyor?
Arılar da İnsanlar Gibi
Arılar da İnsanlar Gibi "Jetlag" Hisseder mi?
Podcast
Evrim Ağacı'nın birçok içeriğinin profesyonel ses sanatçıları tarafından seslendirildiğini biliyor muydunuz? Bunların hepsini Podcast Platformumuzda dinleyebilirsiniz. Ayrıca Spotify, iTunes, Google Podcast ve YouTube bağlantılarını da bir arada bulabilirsiniz.
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
Ö. Kayalı. Küresel Koordinat Sistemi - Eşitlikler ve Dönüşümler. (20 Şubat 2021). Alındığı Tarih: 26 Şubat 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/12940
Kayalı, Ö. (2021, February 20). Küresel Koordinat Sistemi - Eşitlikler ve Dönüşümler. Evrim Ağacı. Retrieved February 26, 2024. from https://evrimagaci.org/s/12940
Ö. Kayalı. “Küresel Koordinat Sistemi - Eşitlikler ve Dönüşümler.” Edited by Ögetay Kayalı. Evrim Ağacı, 20 Feb. 2021, https://evrimagaci.org/s/12940.
Kayalı, Ögetay. “Küresel Koordinat Sistemi - Eşitlikler ve Dönüşümler.” Edited by Ögetay Kayalı. Evrim Ağacı, February 20, 2021. https://evrimagaci.org/s/12940.
ve seni takip ediyor
Evrim Ağacı Uygulamasını
İndir
Chromium Tabanlı Mobil Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
İlk birkaç girişinizde zaten tarayıcınız size uygulamamızı indirmeyi önerecek. Önerideki tuşa tıklayarak uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu öneriyi, yukarıdaki videoda görebilirsiniz. Eğer bu öneri artık gözükmüyorsa, Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Chromium Tabanlı Masaüstü Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
Yeni uygulamamızı kurmak için tarayıcı çubuğundaki kurulum tuşuna tıklayın. "Yükle" (Install) tuşuna basarak kurulumu tamamlayın. Dilerseniz, Evrim Ağacı İleri Web Uygulaması'nı görev çubuğunuza sabitleyin. Uygulama logosuna sağ tıklayıp, "Görev Çubuğuna Sabitle" seçeneğine tıklayabilirsiniz. Eğer bu seçenek gözükmüyorsa, tarayıcının Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Safari Mobil Uygulama
Sırasıyla Paylaş -> Ana Ekrana Ekle -> Ekle tuşlarına basarak yeni mobil uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu basamakları görmek için yukarıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Daha fazla bilgi almak için tıklayın

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close