Genel Görelilik: Eşdeğerlik İlkeleri

Genel Görelilik; kütle çekimini, uzay zaman eğriliğinin bir sonucu olarak tanımlar. Uzay-zaman eğriliği ise maddenin varlığının doğal bir sonucunda ortaya çıkar. Uzay-zaman eğriliği aynı zamanda maddenin hareketine etki eder. Özetle;

“Uzay zaman maddeye nasıl hareket edeceğini, madde de uzay-zamana nasıl büküleceğini söyler.”

Genel görelilik kelimesi, özel göreliliğin genelleştirilmesini ima eder. Özel görelilikte; ışık hızının tüm eylemsiz sistemlerde sabit olduğunu kabul ederseniz, mutlak bir zaman kavramı olmadığı sonucuna varırsınız. Zaman gözlemciden gözlemciye göreli olarak değişecektir. Benzer şekilde üç boyutlu uzayda iki nokta arasındaki mesafe de gözlemciden gözlemciye farklı ölçülecektir.

Einstein kütle çekimi tanımlarken oldukça önemli anlama gelen bir şey fark etti. Aslında kütle çekim ile ivme temelde aynı şeydi. Bunu anlamak için, temellerinin bulunduğu eşdeğerlik ilkelerine bakmalıyız.

Eşdeğerlik İlkeleri

Eşdeğerliğin Zayıf İlkesi

Bu ilke, bir cismin eylemsiz kütlesi olan m_I‘nın kütle çekimsel kütlesi olan

'ye eşit olduğunu söyler. Φ kütle çekimsel potansiyeli altında cisme etkiyen kuvveti

şeklinde ifade ederiz. Bunun yanında Newton’un hareket yasalarından bildiğimiz

denklemi ile eşitliği sağladığımızda aşağıdaki sonuca varırız.

Bu denklemin bize anlattığı şey, aynı kütle çekimsel alanda bulunan cisimlerin hepsinin aynı hızda ivmeleneceğidir. Genel görelilik açısından bu durumu yorumlayacak olursak, kütle çekimsel alanda ivmelenen bir cismin eğri uzay-zamanda jeodezik olan bir evren çizgisine sahip olduğunu anlarız. (Jeodezik bir eğri demek, bir yüzey üzerindeki iki nokta arasındaki en kısa yolu ifade eden eğri demektir. Örneğin bir düzlemde iki nokta arasındaki en kısa mesafe bir doğru ile ifade edilir. Bir küre üzerinde iki nokta arasındaki mesafe ise, merkezi kürenin orijini olan ve bu iki noktadan geçen büyük çember yayıdır.) (Bkz. Jeodezik Eğri)

Yani cisim, eğri uzay-zamanı takip eden bir yol izleyecektir. Eşitlikte kütlelerin bir yeri olmadığından bu yol cisimlerin kütlesinden bağımsızdır. Yani Newton mekaniğinde bu durumu yorumlayacak olursak, bir kütle çekim alanında cisimlerin kütleleri farklı olsa dahi aynı hızda ivmeleneceklerdir.

Eşdeğerliğin Güçlü İlkesi

Yerel eylemsiz referans sisteminde (ya da serbest düşme yapan bir sistemde), tüm fiziksel olayların özel görelilik ile anlaştığını ifade eder. Bu durumun iki önemli sonucu vardır. Birincisi, ışığın kütle çekim alanından etkilenerek yolunun büküleceğini söyler. İkincisi ise kütle çekimsel kırmızıya kaymanın gerçekleşeceğini söyler.

Işığın Kütle Çekim Alanı Altında Bükülmesi

Tekdüze bir kütle çekimsel alan ele alalım ve bu alan içerisinde bir asansör serbest düşme yapıyor olsun. Şimdi ele alacağımız durumu anlamak için eğer bilginiz yoksa Özel Görelilik hakkındaki yazı dizimizi muhakkak okumanızı öneriyoruz. (Bkz. Özel Görelilik – Referans Sistemleri)

İki adet ayrı gözlemcimiz olsun. Serbest düşme yapan asansörde bulunan A gözlemcisi ve dışarıda bulunan B gözlemcisi. Asansör tam düşmeye başladığında A gözlemcisinin de bulunduğu asansörün bir ucundan bir foton çıksın. Foton bir süre sonra karşı duvara vuracaktır. A gözlemcisinin bu süre boyunca gördüğü şey fotonun dümdüz ilerleyerek karşı duvara çarptığıdır. Fakat bu süre içerisinde asansör bir miktar aşağı düştüğü için B gözlemcisi için durum aynı olmayacaktır.

Asansörde bulunan A gözlemcisi, fotonun çıktığı noktanın tam karşısındaki yere vurduğunu görür. Yani foton tamamen yatay bir hareket yaparak ilerler. Asansörde alınan bu mesafenin uzunluğu L ise, ışık hızı c olduğundan ötürü geçen zaman X=V.t formülünden de bildiğimiz üzere t=L/c olacaktır.

Bu süre zarfında asansör B gözlemcisi için gt²/2 kadar dikey eksende aşağı kaymış olacaktır. Yani B gözlemcisi, ışığı başladığı noktadan g(L/c)²/2 kadar aşağıda bir yerde görecektir.

Eşitlik ilkesinden yola çıkacak olursak, A’nın gözlemi doğru olduğuna göre, bu durum ancak B’nin kütle çekim alanının ışığın yolunu büktüğünü kabul etmesiyle anlaşılabilir. Yani bu durumda A kütle çekimsel bir alan tecrübe etmezken, B kütle çekimsel alanı tecrübe eder.

Örneğin; Dünya yüzeyine paralel olarak bir kilometre boyunca hareket eden bir ışığın ne kadar büküldüğünü bulalım. Yatay yolda aldığı mesafe 1.000 metredir. Dikeyde bükülmeden dolayı alacağı yol ise g(L/c)²/2’dir. Burada g = 10 m/s² alır ve

m/s alırsak çıkan sonucu tekrar L’ye böldüğümüzde radyan cinsinden sapmayı buluruz. Sonuç

radyandır. Bunun ciddiye alınmayacak ölçüde bir sapma olduğuna dikkat ediniz.

Kütle Çekimsel Kırmızıya Kayma

Bu sefer aynı örneği biraz daha değiştirerek ele alacağız. Yine serbest düşme yapan bir asansör ve içerisinde bulunan A gözlemcisi olacak, fakat bu sefer B asansörün üstündeki bir platformda yer alacak. A gözlemcisinin bulunduğu asansörün tabanındaki bir noktadan tavana doğru bir foton yola çıktığını varsayalım. Tam bu sırada asansör serbest düşme yapmaya başlasın. Bir süre sonra foton asansörün tavanına çarpmış olacaktır. Buradaki problem A’nın ve B’nin bu fotonun frekansını ne olarak gördüğüdür.

A yerel eylemsiz olduğu için fotonu, salındığı frekansla aynı frekansta görecektir. Peki B ne görür? Bu noktada B, fotondan v=gh/c hızıyla uzaklaşmaktadır. Dolayısıyla kırmızıya kayması v/c=gh/c²‘dir. B kaynaktan uzaklaştığı için A, durumu Doppler Kayması olarak yorumlayacaktır. B ise bu durumukütle çekim alanında tırmanan bir fotonun enerji kaybetmesi sonucu kırmızıya kaymasına bağlar.

Öyleyse kırmızıya kayma, kütle çekimsel potansiyeldeki $(\phi)$ değişim olarak da ifade edilebilir (gh=-δΦ). Dolayısıyla kırmızıya kayma $Δλ / λ = - δΦ / c²'dir. Bu etki beyaz cücelerin tayf çizgilerinde gözlenmektedir.

Örneğin;Dünya’nın yüzeyinden bir kilometre yukarıya tırmanan bir fotondaki kırmızıya kayma miktarı, Δλ / λ = ΔU/c²'dir. Bu ifade aynı zamanda yukarıda verdiğimiz gibi Δλ / λ = gh / c² şeklinde yazılabilir. (Aslında yaklaşık eşittir, U’nun c^2‘ye göre çok küçük olması durumuna bakılarak karar verilir. Yani zayıf kütle çekim alanı için geçerlidir) g = 10 m/s² alır ve

m/s  alırsak kırmızıya kayma miktarını Δλ / λ =

olarak buluruz. Bunun da Dünya’nın düşük kütle çekim alanı olmasından ötürü çok küçük bir değer olduğunu görürüz.

Ögetay Kayalı

*This article is partially translated from Martin Hendry’s GR lecture notes with his permission. Thanks to Martin Hendry for his kindness.
*Bu makale Martin Hendry’nin GG ders notlarından kendisinin izniyle kısmi olarak çevrilerek hazırlanmıştır. Nezaketinden ötürü kendisine teşekkür ederiz.

Referanslar
Kozmikanafor.com - "Genel Görelilik: Eşitlik İlkeleri", Erişim 14 Kasım 2016
<http://www.kozmikanafor.com/genel-gorelilige-giris-esitlik-ilkeleri/>