Genel Görelilik: Einstein Alan Denklemleri

Madde uzay-zamana nasıl büküleceğini, uzay-zaman da maddeye nasıl hareket edeceğini söyler.-J. A. Wheeler

Einstein 1915 yılında yılında yaptığı yayınla, enerji-momentum ile uzay-zaman eğriliği arasında bir ilişki olduğunu ortaya koydu. Yani daha basit bir ifadeyle, madde ile geometri arasında sıkı bir ilişki bulunuyordu. Wheeler'ın sözünde olduğu gibi; madde, uzay-zamanı büküyor ve bükülmüş uzay-zaman da maddeye jeodezikler boyunca hareket etmesi gerektiğini söylüyordu. Bugün bunu ifade eden denklem setine, Einstein Alan Denklemleri diyoruz.

Einstein Alan Denklemleri

Denklemin sol tarafında yer alan G_ik ifadesi, Einstein tensörünü ifade ederken, sağ tarafta yer alan T_ik ifadesi stres-enerji (enerji-momentum) tensörünü ifade eder. Yani denklemin sol tarafı geometriyi, sağ tarafı ise maddeyi ifade etmektedir. Denklem sıklıkla aşağıdaki gibi yazılır.

Burada sol taraf G_ik'nın açık halini ifade eder. R_ik terimi Ricci eğrilik tensörü, g_ik metrik tensör, Reğrilik skaleri, Λ (lambda) ise kozmolojik sabittir. Bazen Einstein alan denklemlerinin kozmolojik sabitsiz halini de görebilirsiniz.

Burada i ve k alt indisleri, kaç boyutlu uzayda-zamanda çözüm yaptığınıza göre değerler alır (bazen ν ve μ ile de gösterilir). Sıklıkla çözümler dört boyutlu uzayda-zamanda ele alınır ve bunlardan biri zaman, diğer üçü ise uzay bileşenidir. Örneğin kartezyen koordinatlarda (t,x,y,z) koordinatları kullanılır. Bu da i ve k'nın (0,1,2,3) değerlerini alacağını gösterir (bazı yerlerde (1,2,3,4) şeklinde de görebilirsiniz). Bazı kitaplarda notasyon farklı olsa da sıklıkla 0 koordinatı t'ye karşılık gelir, biz de öyle alacağız. Burada bir diğer dikkat edilmesi gereken nokta, zaman bileşeninin işaretinin uzaya göre zıt işaret aldığıdır. Yani eğer (0,1,2,3) notasyonunu kullanıyorsak işaret (-,+,+,+) ya da (+,-,-,-) olarak alınır.

Tek bir denklem gibi görünen bu denkleme neden Einstein alan denklemleri dendiğini indislerden anlayabilirsiniz. i ve k için dörder tane seçenek olduğundan, 4x4=16 farklı denklem olduğu ortaya çıkar. Bunları aşağıda daha açık bir şekilde görebilirsiniz.

Fakat bunlardan altısı birbirinin aynıdır. Yani toplamda 16 denklem olması gerekirken, simetriden ötürü (matriste üst üçgenseli düşünün), Einstein alan denklemlerinde yalnızca 10 tane farklı bileşeni bulunur. Seçtiğinizi metriğe göre ise, elde ettiğiniz denklem sayısı azalır. Örneğin Schwarzschild çözümünde yalnızca 4 tane denklem ortaya çıkar. Bazen i ve k alt indisleri sayılar yerine, koordinatları ifade eden terimlerle de kullanılabilir. Örneği R₀₀ yazmak yerine, R_tt yazmak tercih edilebilir. Notasyon tercihi size kalmış. Bazen bunlar bir takım kurallara göre kullanılır.

Einstein Alan Denklemlerinin Çözümü

Aslında Einstein alan denklemleri, bize bir diferansiyel denklem seti verir. Mesele bu diferansiyel denklem setini çözerek, tıpkı Newton'ın F=ma'sında olduğu gibi, bir hareket denklemi elde etmektir. Yani Einstein alan denklemlerinin çözümünden, çözümü yapılan geometride maddenin davranışının ne olması gerektiği bulunur. Örneğin boş bir uzayda, dönmeyen, küresel simetrik, yüksüz bir karadelik için Schwarzschild çözümünü elde ederiz. Bu da böyle bir karadeliğin etrafındaki uzay-zamanı nasıl etkilediğini bulmamızı sağlar.

Elde edilen çözüm, koordinat tercihinizden bağımsızdır. Yani kartezyen koordinatları kullanarak yaptığınızda elde ettiğiniz çözüm ile, küresel koordinatları kullanarak yaptığınızda elde ettiğiniz çözüm aynıdır. Dilerseniz başlangıçta koordinat dönüşümü yaparsınız, dilerseniz sonuçta dönüşüm yaparsınız. Aynı sonucu verecektir. Yalnızca burada seçtiğiniz metriğin matrisinin daima tersinin bulunuyor olması gerekir.

Einstein Alan Denklemlerinin Elementleri

Ricci Eğrilik Tensörü

Einstein alan denklemlerinde yer alan R_ik, Ricci eğrilik tensörü, aşağıdaki şekilde ifade edilir.

Burada R^l_ijk Riemann tensörüdür ve R_ik'nın hesaplanabilmesi için R^j_ijk'nın hesaplanması gerekir. Burada i ve k değerleri bizim seçimimiz iken j ve p değeri seçimimizde yoktur. Bunun hesaplanabilmesi için j değerlerinin tümü için toplam alınır.

Bu hesaplandığında seçilen i ve k'lar için R_ik hesaplanmış olur. Burada oldukça fazla parametre bulunması sebebiyle fazla miktarda sonuç olduğu görülür. i, j ve k değeri için dörder değerden toplamda 64 ifade gelir. Ayrıca her birinin içerisinde dört değer daha alan p değeri üzerinden toplam alınmalıdır, bu da 256 değer yapar. Fakat bunların çoğu sıfırdır. Özellikle Schwarzschild ve Friedmann çözümlerinde hatta çoğunda 10 bileşenin tamamı bulunmaz. Genellikle R_tt, R_rr, R_θθ, R_ΦΦ bileşenleri sıfırdan farklıdır. Böyle bir durumda i=k olduğu görülür, bu da hesabı tekrar 64 parametreye düşürür. Fakat, dönen bir karadelik için tanımlı metrik olan Kerr metriğinde, dönmenin sebep olduğu açılar da devreye girerek bu sayıyı artırır. Bu yüzden metriğin davranışını anlamak, hesabı anlamak adına önemlidir.

Christoffel Sembolü

Yukarıda Riemann tensöründe yer alan ifade olan Gamma ikl ise Christoffel sembolüdür ve kabaca metrik bağlantıyı inceler. Bağıntısı aşağıdaki gibi verilir.

Burada m değeri üzerinden toplam alınır. Her bir parametre eğer tek tek denenirse; i, k, l ve m değerlerinin her biri için 4 değer bulunduğundan, toplamda 4x4x4x4=256 tane Christoffel sembolünün hesaplanması gerektiği görülür. Fakat bunların da bazıları simetriktir ve aynı değeri verir (örneğin k ve l'nin yerini değiştirirseniz ifade değişmez). Ayrıca seçilen metriğe göre, çoğunun değeri sıfır çıkacaktır. Örneğin metriğiniz sadece R_tt, R_rr, R_θθ, R_ΦΦ değerlerini barındırıyorsa, g^im değerinde i=m olmalıdır. Bu da Christoffel sembölünde i=m için çözüm yapmanızın yeterli olduğunu, gerisinin zaten sıfır çıkacağını gösterir. Bu gibi çıkarımlarla yapılan hesap sayısı oldukça aşağıya çekilebilir.

Özetle göz korkutuyor gibi görünse de çoğu değer bu şekilde sıfır çıkmaktadır. Basit yaklaşımlarla ve dikkatli bir hesaplamayla diferansiyel denklem setine ulaşılabilir. Mesele diferansiyel denklemleri çözebilmektir ya da seçtiğiniz metriğin zorluğuna göre bunu düzenleyebilmektir. Elbette günümüzde bunları elle tek tek çözmek yerine, Mathematica gibi programlama dilleriyle kolaylıkla gerekli denklemlere ulaşabiliyoruz. Fakat bunlar işin sadece hamallık kısmını ortadan kaldırıyor.

Ricci Eğrilik Skaleri

Eğrilik skaleri ise, adından anlaşılacağı üzere herhangi bir vektörel bileşene sahip değildir, yani sıfırıncı mertebeden bir tensördür. Birinci mertebeden bir tensörün ise bir vektör olduğunu hatırlayın. Eğrilik skaleri aşağıdaki gibi ifade edilir.

Metrik Tensör

Metrik tensör (ya da basitçe metrik), seçtiğiniz uzay-zaman koordinatlarının geometrik yapısını ifade eder. Daha basit bir deyişle, tanımladığınız uzay-zamanda iki nokta arasındaki geometrinin nasıl olduğunu anlatır. Örneğin Schwarzschild metriği aşağıdaki gibi tanımlıdır.

Bu metrikte verilen uzay-zamanda iki nokta arasındaki ayrılığın (ds); dtdt, drdr, dθdθ ve dΦdΦ bileşenleri ile ifade edildiğini görüyoruz. Dolayısıyla metrik tensörümüz aşağıdaki gibi olur.

Metrikte dtdr gibi bir ifade olmadığından g₀₁ 0'a eşittir. Yalnızca köşegen elemanlarının sıfırdan farklı olduğunu görüyoruz. Fakat bu her zaman böyle değildir. Örneğin Kerr metriğinde dtdΦ terimi de bulunur, yani g₀₃'ün bir değeri vardır.

Hazırlayan:Ögetay Kayalı

Referanslar
1. Kadri Yakut, Ege Üniversitesi Astronomi Bölümü, Extragalactic Astronomy ders notları
2. Misner, Thorne & Wheeler, Gravitation, Wiley.
3. Marko Vojinovic, Schwarzschild Solution in General Relativity
<http://gfm.cii.fc.ul.pt/events/lecture_series/general_relativity/gfm-general_relativity-lecture4.pdf>
4. Heinicke & Hehl (2015). Schwarzschild and Kerr Solutions of Einstein's Field Equations
<https://arxiv.org/pdf/1503.02172.pdf>