Dirac Delta Fonksiyonu

Dirac delta fonksiyonu, genelleştirilmiş fonksiyon veya dağılımdır ve İngiliz teorik fizikçi Paul Dirac tarafından sunulmuştur. Delta fonksiyonu δ(x); x=0 hariç her yerde değeri sıfır olan, fakat x=0'da sonsuz büyüklüğe sahip olan ve toplam integrali 1'e eşit olan fonksiyondur. Bu fonksiyon, impuls gibi uzun ve dar atımlar gösteren fonksiyonlar için iyi bir yaklaşım sağlar.

Neden Dirac Delta Fonksiyonuna İhtiyaç Duyuyoruz?

Bu durumu öncelikle konsept olarak anlamak adına, basit bir örnekle incelemeye başlayalım. Örneğin, x=0'da noktasal bir q yükümüz bulunsun. Bu yük için yük yoğunluğunu ρ(?)'i nasıl tanımlarız? Bütün yükün x=0 noktasında bulunduğunu biliyoruz. Ancak bunu matematiksel olarak nasıl gösterebiliriz? İşte Dirac delta fonksiyonu bize tam olarak bu noktada yardım etmektedir.

Şimdi, bu örneği matematiksel olarak ifade etmek için, bir vektör fonksiyonu (V) tanımlayalım.

Aslında, bu ifade bir noktasal yükün elektrik alanıyla oldukça benzerdir. Eğer hayal edecek olursanız, bu vektör fonksiyonunun, merkezden dışarı doğru küresel olarak saçıldığını anlayabilirsiniz. Matematik dilinde saçılmak demek diverjans demektir. Öyleyse, küresel koordinatlarda bu ifadenin diverjansını alalım ve ne buluyoruz inceleyelim. Diverjans ifademiz aşağıdaki gibiydi.

Küresel koordinatlarda diverjans ifadesini ise şu şekilde yazabiliriz:

Şimdi, vektör fonksiyonumuzu yerine yazalım.

Cevap sıfır! "Dışarı doğru saçılan bir fonksiyonun diverjansı nasıl sıfır olabilir ki?" diye sorabilirsiniz. Bu soruya cevap vermeden önce başka bir şey daha deneyelim. Sonuçta diverjans teoremimizin doğru olduğunu biliyoruz. Öyleyse, bir de o teoremi kullanalım ve bakalım diğer taraf da bize sıfır mı veriyor.

Diverjans ya da Gauss teoremine göre, önce bir kapalı yüzey tanımlamamız gerekiyor. Bu yüzeyi, yarıçapı R olan ve merkezi (0,0,0) noktasında olan bir küre olarak tanımlayalım. Öyleyse:

Şimdi de 4π çıktı! Hani Gauss (diverjans) teoremi doğruydu? Biz mi bir yerlerde hata yapıyoruz? Yoksa Gauss teoremi mi yanlış? Nedir bu olan?

Olan şey aslında çok basit. Vektör fonksiyonumuz, r=0 olduğunda sonsuza gidiyor. Bütün karışıklığın sebebi de bu nokta. Eğer ki, diverjansımızı r=0 noktası dışında bir noktada hesaplasaydık, bulacağımız cevap kesinlikle 0 olmalıydı. Çünkü oluşturacağımız hacimin içerisinde bir kaynak olmayacaktı. Hesaplayacağımız yüzey integraline bakacak olursak da, oluşturduğumuz kürenin yarıcapı R ne olursa olsun, çıkan sonucun 4π olacağını görebiliriz. Öyleyse, bu iki sonucu birleştirecek olursak:

V, r=0 noktası hariç her yerde sıfır olmakta. Yüzey integralinden de görebileceğimiz gibi, sonucu r=0'dan gelen katkıyla 4π olmakta.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Dirac Delta Fonksiyonu

?(x) ile ifade edilen Dirac delta fonksiyonu, aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

Görsel olarak ifade edecek olursak:

Görselde gördüğümüz sivri yapının alanı 1 olarak tanımlanmıştır. Bu yüzden, -∞ ile +∞ arasında tanımlanan bir integralin sonucu da 1 olmak zorundadır. Yani:

Şimdi, bu ifadenin nasıl kullanıldığını açıklamak adına, f(x) fonksiyonunun ?(x) ile çarpımına bakalım. ?(x), x=0 haricinde 0 sonucunu vereceği için, çarpımı şu şekilde ifade edebiliriz:

Eğer Kronecker delta ya da Levi-Civita sembolu ile daha önceden tanışmışsanız, Dirac delta fonksiyonunun bu ikisiyle olan benzerliğini görebilirsiniz. Şimdi konudan sapmadan, yukarıdaki çarpımın integralini tanımlayalım:

f(0) sabit olduğundan, diyebiliriz ki:

Eşitliğin sağ tarafındaki integrali yukarıda tanımlamıştık. Öyleyse:

olmuş olur. Yani, aslında ?(x), fonksiyonun x=0'daki değerini, integralden "çekip" alır. Her ne kadar vektör fonksiyonu örneğimiz x=0 noktasında sonsuza gitse de, her durumda fonksiyonun sonsuza gittigi nokta x=0 olmak zorunda değil. Örneğin, x=a noktasında fonksiyon sonsuza gitsin. Ya da, keyfimiz gereği, fonksiyonun x=a noktasındaki değerini seçmek isteyelim. Öyleyse, x=a gibi bir noktada da Dirac delta fonksiyonunu tanımlamalıyız.

Kullandığımız mantık oldukça basit. ?(x), sadece içerisi 0 olduğunda 1 sonucunu vermekte. Öyleyse, içerisini x=a noktasında 0 yaparsak, x=a noktasında da Dirac delta fonksiyonunu kullanmış oluruz.

Benzer sekilde, x=a noktasında sıçrama yapan fonksiyonumuzun tüm uzaydaki integralinin sonucu 1'i verecektir.

Dirac delta fonksiyonu, x=a noktasındaki değeri seçeceğinden:

Haline gelir. Bu ifadenin integralini alırsak, yukarıdaki sonuca benzer olarak:

Elde etmiş oluruz. Bu sayede, herhangi bir a noktasında da Dirac delta fonksiyonunu kullanarak, integralden f(a)'yı seçmeyi başardık. Benzer şekilde, üç boyutta da dirac delta kullanılabilir.

Agora Bilim Pazarı

Nasıl Yaşanır ya da Bir Soruda Montaigne’in Hayatı ve Cevaplamak İçin Yirmi Teşebbüs

“Montaigne okurken aniden kitabı kapatıp şu soruyu kendine sormayan varsa
aklına şaşarım:
‘Benim hakkımda bu kadar çok şeyi nereden biliyor?’”
Bernard Levin – The Times

Tür tür insanla nasıl geçinilir, sevilen birinin kaybı nasıl atlatılır, ağlayan komşu nasıl teselli edilir, insan kusurlarıyla nasıl barışır? Hepsi daha büyük bir sorunun
türevleri:
Nasıl yaşanır?

Çoğuları tarafından ilk modern insan olarak görülen Rönesans asilzadesi Michel
Eyquem de Montaigne bu kadim soruya fena halde takıktı. Düşüncelerini daha
önce kimsenin yazmadığı bir formda, son derece kişisel bir dille (bu sebepten
“bloggerların atası” olarak da adlandırılır) kağıda dökerek nasıl yaşanır sorusuna
cevaplar aradı. “Şöyle olmalı, böyle yapmalı,” diye ahkâm kesmedi. Dürüstçe
kendini anlattı ve insanlar onu anlamaya çalışırken, kendilerini anladıklarını fark
ettiler. Pascal’dan Virginia Woolf’a, Nietzsche’den Zweig’a kadar pek çok okuru
Denemeler’i bir kitaptan ziyade hayat arkadaşı olarak gördüler.

Aklı çağının ötesine geçmiş Montaigne’i yaşadığı döneme hapsetmeyi reddeden
Sarah Bakewell, kendisine büyük övgü ve Ulusal Kitap Eleştirmenleri Ödülü’nü
kazandıran yepyeni bir biyografi formu geliştiriyor; nasıl yaşanır sorusu
çerçevesinden, bize hem Montaigne’in iyi yaşamak üzerine düşüncelerini hem de
onu bu düşüncelerle buluşturan hayat öyküsünü anlatıyor. Nasıl Yaşanır
neredeyse Denemeler kadar dost bir kitap.

Devamını Göster

₺288.00

Satın Al Tüm Ürünler

Dirac Delta Fonksiyonu ve Vektör Potansiyeli Örneği

İntegralimizin sonucunun 4π olduğunu söylemiştik. Öyleyse,

r vektörü 3 boyutta tanımlandığı icin için, 3 boyutta Dirac delta kullanmamız gerekiyor. 3 boyutta Dirac delta, "?³(r)" şeklinde ifade edilmekte. Yani ifade, fonksiyonun yalnizca (0,0,0) noktasındaki değerini 4π olarak vermekte. Geri kalan her yerde de 0 sonucunu vermekte.

Hazırlayan:Ege Can Karanfil
Editör: Ögetay Kayalı

Referanslar
1. David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th edition, Pearson
2. David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd edition
3. Prof. Dr. Gürsevil TURAN, Quantum Physics ders notları
4. Wolfram, Delta Function, <https://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html>
5. Science Direct, <https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/dirac-delta-function>
Figürler
1. David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th edition, syf. 46
2. David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th edition, syf. 47