İvme Nedir? Sabit İvmeli Harekette Hız ve Konum Nasıl Değişir?

İvme (İng: "acceleration"), hareket halindeki bir cismin hızının zaman içinde hangi oranda değiştiğini belirten vektörel bir fiziksel büyüklüktür.⁠^[3] Uluslararası Birimler Sistemi'ndeki (SI) birimi metre bölü saniye karedir (m/s²).⁠^[10] Bu birim, cismin hızının her bir saniyede kaç metre bölü saniye (m/s) arttığını veya azaldığını doğrudan ifade etmektedir. Fizikte hız, hem büyüklüğü hem de yönü olan bir niceliktir. Bu nedenle bir cismin süratinin değişmesi, hareket yönünün değişmesi veya her ikisinin birden değişmesi ivme yaratmaktadır.

Örneğin başlangıç kapısından durgun halde fırlayan bir yarış atı, 1,80 s içinde batıya doğru 15,0 m/s hıza ulaşmaktadır, dolayısıyla bu sırada ortalama ivmesinin büyüklüğü 8,33 m/s² olmaktadır. Drag yarış otomobilleri ise ortalama 26,0 m/s² ivmeye ulaşabilmektedir.⁠^[4] Durgunluktan bu ivmeyle 5,56 s boyunca hızlanan bir otomobil 402 m yol almaktadır. Günlük dilde hız ile sürat birbirinin yerine kullanılabilse de fizikte bu iki terim aynı anlama gelmemektedir.⁠^[2] Negatif işaretli ivme de her zaman yavaşlama demek değildir. Bu yazımızda önce konum ve hız değişimini ele alacağız, ardından sabit ivmeli hareketin matematiksel modellerini, hareket grafiklerinin eğim ve alan ilişkilerini ve serbest düşme hareketini inceleyeceğiz.

İvme Nedir? Konum, Hız Değişimi ve İvmenin Tanımı

Bir cismin nerede bulunduğunu ve nasıl hareket ettiğini tanımlamak için önce bir referans sistemi (İng: "frame of reference") belirlenmektedir.⁠^[1] Referans sistemi, bir cismin konumunun (İng: "position") ve hareketinin kendisine göre betimlendiği bir eksenler takımıdır. Bu takım keyfi olarak seçilmektedir. Yatay doğrultudaki doğrusal bir hareketi incelerken referans sistemi olarak tek bir ekseni kullanacağız. Cismin bu eksen üzerindeki bir ilk konumundan harekete başlayıp son konumuna ulaştığını düşünelim.

Bir cismin konumundaki bu net değişime yer değiştirme (İng: "displacement") adı verilmektedir. Yer değiştirme, son konumdan ilk konumun çıkarılmasıyla hesaplanmaktadır. Matematiksel gösterimi ise şu denklemdir:

Yer değiştirme belirli bir yön belirttiği için vektörel bir büyüklüktür. Dolayısıyla yer değiştirmenin işareti pozitif de olabilir, negatif de, çünkü bu işaret referans sisteminde hangi yönün pozitif seçildiğine bağlıdır.

Ancak yer değiştirme, kat edilen toplam mesafe değildir. İki konum arasında izlenen yolun toplam uzunluğu alınan yol (İng: "distance traveled") olarak tanımlanmaktadır. Toplam yer değiştirmenin büyüklüğü alınan yol ile karıştırılmamalıdır. Aradaki fark cisim yön değiştirdiğinde belirginleşmektedir, çünkü böyle bir harekette alınan yol büyümeye devam ederken, son konum ile ilk konum arasındaki farkı ölçen yer değiştirme küçülebilmektedir.

Konumdaki değişimin ne kadar sürede gerçekleştiği hesaba katıldığında ortalama hız (İng: "average velocity") kavramına ulaşılmaktadır. Ortalama hız, iki nokta arasındaki toplam yer değiştirmenin bu hareket için geçen süreye oranıdır ve cebirsel olarak şu bağıntıyla ifade edilmektedir:

Bu bağıntıda başlangıç anını, bitiş anını, ve ise bu anlardaki konumları göstermektedir. Ortalama hız da vektöreldir, çünkü yer değiştirmenin geçen zamana bölünmesiyle elde edilmektedir.

Günlük konuşmada hız ve sürat (İng: "speed") sözcükleri çoğu zaman birbirinin yerine kullanılmaktadır, oysa fizikte bu iki terim aynı anlama gelmeyen, ayrı kavramlardır. En temel fark, süratin hiçbir yön içermemesi ve skaler bir büyüklük olmasıdır. Hareketin herhangi bir anındaki hızı anlık hız (İng: "instantaneous velocity") olarak adlandırılmakta, bu anlık hızın yönsüz büyüklüğü ise anlık sürati (İng: "instantaneous speed") vermektedir. Başka bir deyişle anlık sürat, anlık hızın mutlak değeridir ve şu biçimde yazılmaktadır:

Hız ile sürat arasındaki bu ayrım, zıt yönlerde hareket eden parçacıklarda görülmektedir. Örneğin aynı x ekseni boyunca biri +7,0 m/s, diğeri −7,0 m/s hızla ilerleyen iki parçacık düşünelim. Bu parçacıklar zıt yönlere gittikleri için farklı hızlara sahiptir.⁠^[2] Oysa ikisinin de sürati aynıdır ve 7,0 m/s'dir. Benzer şekilde başladığı noktada sona eren bir gidiş-dönüş yolculuğunu ele alalım. Bu yolculukta toplam yer değiştirme sıfırdır, dolayısıyla ortalama hız da sıfır çıkmaktadır. Fakat yolculuk boyunca alınan yol sıfırdan büyüktür, bu yüzden ortalama sürat sıfır olmamaktadır.

Cisimlerin hızı hareket boyunca her zaman sabit kalmamaktadır, yani hız zamanla büyüklük veya yön bakımından değişebilmektedir. Hızın hangi oranda değiştiğini tanımlayan büyüklük ortalama ivmedir (İng: "average acceleration"). Ortalama ivme, hızdaki değişimin bu değişimin gerçekleştiği zaman aralığına bölünmesiyle bulunmakta, formülü ise şu biçimdedir:

Bu denklemde son hızı, ilk hızı, ise geçen süreyi göstermektedir. Tanımda ilk hızı çıkarmak şarttır. Başlangıç hızı sıfır olmadığında sadece son hızı zamana bölmek hız değişimini vermemektedir, dolayısıyla bu tanımı karşılamamaktadır.

İvmenin SI birimi olan m/s², kendi başına bir temel birim değildir. Bu birim, temel birimler kullanılarak cebirsel olarak ifade edilen türetilmiş birimler (İng: "derived units") sınıfında yer almaktadır.⁠^[10] İvme vektörel bir niceliktir. Yönü her zaman hız değişimi vektörü () ile aynıdır. Bu nedenle ivmeden söz etmek için cismin hızlanması şart değildir, çünkü sürati aynı kalsa bile yönü değişen bir cisim de ivmelenmektedir.

İvmenin vektörel hesabı ve işaret seçimi, başlangıç kapısından çıkan bir yarış atında somut olarak görülmektedir.

Çözümlü örnek 1: Başlangıç kapısından çıkan bir yarış atının ortalama ivmesi nedir?

Verilenler: Durgunluktan () harekete geçen ve 1,80 s içinde batı yönünde 15,0 m/s hıza ulaşan bir at.

İstenen: Atın bu 1,80 saniyedeki ortalama ivmesi, yani .

1. adım: Hız vektörel olduğu için koordinat sisteminde doğu pozitif, batı negatif seçildiğinde atın batıya yönelen son hızı eksi işaret almaktadır:

2. adım: Hız değişimi, son hızdan ilk hızın çıkarılmasıyla bulunmaktadır:

3. adım: Ortalama ivme, bu hız değişiminin geçen süreye bölünmesiyle bulunmaktadır:

Sonuç: Atın ortalama ivmesi çıkmaktadır. Sonuçtaki negatif işaret, ivme vektörünün batıyı gösterdiğini anlatmaktadır.

Peki zaman aralığı sıfıra yaklaştırılırsa () ne olur? Bu durumda ortalama ivme, belirli bir andaki ivmeyi veren anlık ivmeye (İng: "instantaneous acceleration") dönüşmektedir ve anlık ivme şu türevle ifade edilmektedir:

Fusianasan1350, CC BY-SA 4.0

İvme Nasıl Oluşur? Kuvvet, Kütle ve Sabit İvmeli Hareketin Tanımı

Bir cismin ivmesi, ona etkiyen net dış kuvvetle ilişkilidir. Bu ilişkiyi Isaac Newton'un ikinci hareket yasası vermektedir.⁠^[8] Yasa, bir sistem üzerine etkiyen net dış kuvvet (İng: "net external force"), kütle (İng: "mass") ve ivme arasındaki ilişkiyi şu denklemle ifade etmektedir:

Bu vektörel bağıntıda sistem üzerindeki tüm dış kuvvetlerin vektörel toplamını (), cismin kütlesini ve ise oluşan ivmeyi göstermektedir. Yasaya göre ivmenin yönü, sisteme etki eden net dış kuvvetin yönüyle aynıdır.

Newton'un ikinci yasası uyarınca ivmenin büyüklüğü iki temel etkene bağlıdır. İlk olarak, aynı kütleye daha büyük bir net dış kuvvet uygulanması daha büyük bir ivme üretmektedir. Başka bir deyişle ivme, net dış kuvvetle doğru orantılıdır. İkinci olarak, cismin kütlesi yani eylemsizliği (İng: "inertia") büyüdükçe aynı net dış kuvvetin ürettiği ivme küçülmektedir. Dolayısıyla ivme, cismin kütlesiyle ters orantılıdır.

Kuvvet, kütle ve ivme arasındaki bu nicel ilişki, yatay bir zeminde itilen bir çim biçme makinesi örneğinde hesaplanabilmektedir.

Çözümlü örnek 2: 51 N net kuvvetle itilen 24 kg kütleli bir çim biçme makinesinin ivmesi nedir?

Verilenler: Kütlesi olan bir çim biçme makinesi ve ona yatay doğrultuda etki eden 51 N büyüklüğünde bir net dış kuvvet.

İstenen: Makinenin kazandığı ivmenin büyüklüğü () ve yönü.

1. adım: Newton'un ikinci yasasına göre ivmenin büyüklüğü, net kuvvetin kütleye bölünmesiyle bulunmaktadır:

2. adım: Bir newton değerine eşit olduğu için kuvvet bu birimle yazılmakta, böylece kilogram birimi sadeleşmektedir:

Sonuç: Girdilerdeki iki anlamlı basamak korunduğunda makinenin ivmesi yaklaşık çıkmaktadır. Bu ivmenin yönü de yere paralel olan net dış kuvvetle aynıdır.

İvmenin kuvvetle olan dinamik bağlantısı kurulmadan önce, sabit ivmeli hareketin zaman ve mesafeyle olan matematiksel ilişkilerini Galileo Galilei tanımlamıştır.⁠^[11] Galileo, doğal olarak ivmelenen hareketi, 1638 tarihli bir baskısı bulunan ve H. Crew ile A. de Salvio'nun 1914 tarihli İngilizce çevirisiyle okunabilen Dialogues Concerning Two New Sciences adlı eserinin Üçüncü Gün bölümünde incelemiştir. Eserde durgunluktan başlayan düzgün ivmelenen hareket (İng: "uniformly accelerated motion") tanımlanmıştır. Bu tanıma göre cisim eşit zaman aralıklarında eşit sürat artışları kazanmaktadır.

Galileo'nun aynı eserdeki ikinci teoremine göre durgunluktan başlayarak düzgün ivmeli hareketle düşen bir cismin aldığı yollar, bu yolları geçmek için harcanan zaman aralıklarının kareleriyle orantılıdır. Teoremin birinci sonucu daha somuttur. Durgunluktan harekete geçip zamanla orantılı hız kazanan bir cisim, eşit zaman aralıklarında 1, 3, 5 gibi birle başlayan ardışık tek sayılar oranında mesafeler kat etmektedir.

Galileo bu kuramsal oranları sınamak için eğik bir kanal boyunca yuvarlanan bilyelerle deneyler yapmıştır. Bilye önce kanalın tüm uzunluğu boyunca yuvarlanmıştır. Ardından kanalın sadece dörtte biri boyunca yuvarlanmış ve iki iniş süresi karşılaştırılmıştır. Sonuç çarpıcıdır. Dörtte birlik mesafedeki iniş süresi, tam kanal boyunca süren inişin tam olarak yarısı çıkmıştır. Peki dönemin koşullarında bu kısa süreler nasıl ölçülmüştür? Her iniş sırasında akan su toplanmış ve çok hassas bir terazide tartılmış, böylece toplanan su ağırlıklarının farkları ve oranları, geçen zamanların farklarını ve oranlarını vermiştir.

Galileo'nun eşit zaman aralıklarında eşit sürat artışı olarak tanımladığı bu hareket, bugün sabit ivmeli hareket olarak ele alınmaktadır. Sabit ivmeli harekette ortalama ivme ile anlık ivme birbirine eşittir. Bu sayede hareketin bütün anlarındaki ivme tek bir sembolüyle gösterilebilmektedir.

Elbette gerçek dünyadaki her hareket baştan sona tek bir sabit ivmeyle ilerlememektedir.⁠^[3] Gerçek hareketlerde belirli bir aralık için hesaplanan ortalama ivme, örneğin yarış atının −8,33 m/s² değeri, herhangi bir andaki anlık ivmeden farklı olabilir. Bir drag yarışçısının ivmesi de kalkıştan hemen sonra çok büyüktür. Ancak araç sabit hıza yaklaştıkça bu ivme giderek azalmaktadır. Buna rağmen bu tür hareketler de başarıyla modellenebilmektedir, çünkü önce süratlenip sonra fren yapan bir otomobil gibi ivmesi büyük değişimler gösteren hareketler, her biri kendi sabit ivmesine sahip ayrı parçalara bölünerek ele alınabilmektedir.

CZmarlin — Christopher Ziemnowicz — photo credit is required if this image is used anywhere other than Wikipedia., CC BY-SA 4.0

İvme Formülü ve Sabit İvmeli Hareketin Matematiksel Modelleri

Sabit ivmeli harekette ortalama ve anlık ivmenin aynı değerini alması, cisimlerin hızını ve konumunu cebirsel denklemlerle hesaplamayı mümkün kılmaktadır. Bu denklemleri kurarken başlangıç zamanı seçilirse gösterim önemli ölçüde sadeleşmektedir, çünkü bu seçimle geçen süre doğrudan olmaktadır. Sıfır alt indisi ise başlangıç değerlerini göstermektedir. Böylece ile ilk konum, ile de ilk hız gösterilmekte, yer değiştirme biçimini almakta, hız değişimi ise olarak yazılmaktadır.

Bu başlangıç gösterimi ivme tanımına uygulandığında, sabit ivmeli harekette zamana bağlı hız modeli olan şu denklem elde edilmektedir:

Bu bağıntıda cismin anındaki son hızını, başlangıç hızını, sabit ivmeyi ve geçen süreyi belirtmektedir. Denklemdeki terimi, hız değişiminin kendisidir. Bu terim, hızdaki değişimin hem ivmenin ne kadar büyük olduğuna hem de bu ivmenin ne kadar süre devam ettiğine bağlı olduğunu göstermektedir. Yani ivme sabit kaldığı sürece hız, geçen zamanla doğrusal olarak değişmektedir.

Zamana bağlı hız modelinin nasıl çalıştığı, piste inen bir uçakta görülmektedir.

Çözümlü örnek 3: Piste 70,0 m/s hızla inip 40,0 s boyunca yavaşlayan bir uçağın son hızı nedir?

Verilenler: Uçağın ilk hızı, hareket süresi ve hareket yönüne zıt doğrultuda etki eden 1,50 m/s² büyüklüğündeki sabit ivme.

İstenen: Uçağın 40,0 s sonundaki son hızı, yani .

1. adım: Uçağın ilerleme yönü pozitif seçildiği için harekete zıt yönlü ivme negatif işaret almaktadır:

2. adım: Hızdaki değişim ivme ile sürenin çarpımı () olduğu için önce bu çarpım hesaplanmaktadır. iki saniyenin çarpımı olduğu için saniyelerden biri sadeleşmektedir:

3. adım: Son hız, ilk hıza bu hız değişiminin eklenmesiyle bulunmaktadır:

Sonuç: Uçağın son hızı çıkmaktadır. Son hız başlangıç hızından çok daha küçük olduğundan uçak yavaşlamıştır. Değerin hala pozitif çıkması ise uçağın henüz yön değiştirmediğini göstermektedir.

Hatırlarsanız +7,0 m/s ve −7,0 m/s hızlı parçacıklarla ve gidiş-dönüş yolculuğuyla ortalama hızı () anlık hızdan ve skaler süratten () ayırmıştık. Hızın zamanla doğrusal değişmesi, bu ortalama hızın hesabını da basitleştirmektedir, çünkü ivme sabit olduğunda ortalama hız, ilk hız ile son hızın aritmetik ortalamasına eşittir. Bu eşitlik şu denklemle yazılmaktadır:

Aritmetik ortalama bağıntısına yazılıp son hız yerine de konulduğunda, sabit ivmede zamana bağlı konum modeli olan şu bağıntı elde edilmektedir:

İvmenin sıfırdan farklı olduğu () hareketlerde bu bağıntı zamanın karesini () içermektedir. Konum-zaman grafiğinin parabol biçiminde olması da buradan gelmektedir.

İkinci dereceden konum modelinin uygulanışı, durgunluktan harekete geçen bir drag yarış otomobilinde incelenebilmektedir. Drag yarış otomobilleri ortalama 26,0 m/s² değerinde bir ivmeye ulaşabilmektedir.⁠^[4]

Çözümlü örnek 4: Durgunluktan 26,0 m/s² sabit ivmeyle kalkan bir drag otomobili 5,56 s içinde ne kadar yer değiştirir?

Verilenler: Otomobilin sabit ivmesi ve hareket süresi. Otomobil durgunluktan başladığı için başlangıç konumu , başlangıç hızı seçilmektedir.

İstenen: Otomobilin bu sürede yaptığı yer değiştirme, yani .

1. adım: Başlangıç konumu ve başlangıç hızı sıfır olduğu için konum denklemindeki ilk iki terim düşmektedir:

2. adım: Denklemde sürenin karesi bulunduğu için önce süre kendisiyle çarpılmaktadır:

3. adım: İvme ve sürenin karesi kısalan denklemde yerine konmakta, böylece saniye kare birimi sadeleşmektedir:

Sonuç: Üç anlamlı basamağa yuvarlandığında otomobilin yer değiştirmesi çıkmaktadır.

Bazen süre bilinmez ama hız, ivme ve yer değiştirme arasında doğrudan bir bağlantı kurmak gerekmektedir. Bunun için hız denkleminden ifadesi çekilmektedir. Bu ifade konum denkleminde yerine yazıldığında, zaman bilgisini hiç içermeyen şu bağıntıya ulaşılmaktadır:

Aynı drag otomobilinin 402 m sonundaki son hızı artık süre kullanılmadan bulunabilmektedir.

Çözümlü örnek 5: Aynı drag otomobilinin 402 m sonundaki son hızı nedir?

Verilenler: Otomobilin ilk hızı, sabit ivmesi ve yer değiştirmesi.

İstenen: Otomobilin 402 m sonundaki son hızı, yani .

1. adım: Süre kullanılmadığı için değerler zaman içermeyen bağıntıya yerleştirilmektedir:

2. adım: Hızın kendisini bulmak için eşitliğin karekökü alınmakta, ivmeyle aynı yöndeki hızı temsil eden pozitif kök seçilmektedir:

Sonuç: Üç anlamlı basamağa yuvarlanmış sonuç çıkmaktadır.

Sabit ivmeli hareket için türetilen bu matematiksel modeller, ivmenin sıfır olduğu sabit hızlı hareketi de özel bir durum olarak kapsamaktadır. Hareket boyunca ivme sıfırsa (), hız bağıntısındaki terimi sıfırlanmakta, böylece son hız her an başlangıç hızına eşit kalmakta ve olmaktadır. Aynı koşulda konum modelindeki ikinci dereceden terimi de ortadan kalkmaktadır, böylece denklem doğrudan şu biçime indirgenmektedir:

Evrim Agaci, Own work

Sabit İvmeli Hareket Grafikleri Nasıl Yorumlanır?

Fiziksel büyüklükler arasındaki ilişkiler, bu büyüklükler deneysel olarak ölçülüp birbirlerine karşı grafikleri çizilerek araştırılabilmektedir.⁠^[5] Bu grafiklere bakarak bazen nicelikler arasında matematiksel ilişkiler önerilebilmekte, ardından önerilen ilişkilerin geçerliliğini belirlemek için ek deneyler yapılmaktadır. İlk adım ise basittir. Bir hareket grafiğini doğru yorumlamak için önce düşey ve yatay eksenlerde hangi fiziksel büyüklüklerin bulunduğu saptanmalıdır.

Konum-zaman ve hız-zaman grafiklerinin temel okunuşunu hız ve ivme formülü yazımızda ayrıntılı olarak ele aldık. Burada ise bu grafikleri sabit ivmeli hareket üzerinden birlikte okuyacağız. Bu grafikleri tek bir somut hareket üzerinde görmek için sabit ivmeli bir jet otomobilinin verilerini kullanacağız. Jet otomobilinin başlangıç konumu , başlangıç hızı ve grafiklerin çizildiği zaman aralığı boyunca sabit ivmesi değerindedir.

Konum-Zaman Grafiği ve Teğet Eğimi

Konum-zaman grafiğinde konum () düşey eksende, zaman () ise yatay eksende gösterilmektedir. Drag otomobilinin 402 m yer değiştirmesini veren ikinci dereceden konum modeli () burada da işe yaramaktadır. İvmesi sıfırdan farklı olan sabit ivmeli bir hareketin konumu zamanın karesiyle değiştiği için konum-zaman grafiği düz değil, parabol biçiminde bir eğridir.

Jet otomobilinin konum-zaman grafiği, düşey eksendeki 200 m noktasından başlayarak yukarı doğru bükülmektedir. Araç sabit pozitif ivmeyle süratlendiği için eğri zaman ilerledikçe dikleşmektedir, yani eğrinin pozitif eğimi (İng: "slope") giderek artmaktadır. Bu dikleşmenin bir anlamı vardır. Jet otomobili, eşit zaman aralıklarında giderek daha büyük mesafeler kat etmektedir.

Eğrinin eğimi her noktada değişmektedir. Bu durumda ortalama hızı, tek bir andaki hızı temsil etmemektedir. Belirli bir andaki anlık hızı grafikten bulmak için eğrinin incelenen noktasına bir teğet (İng: "tangent line") doğrusu çizilmektedir. Bu teğetin eğimi cismin tam bu andaki anlık hızını vermektedir, yani matematiksel olarak bu ilişki şu türevle gösterilmektedir:

Hız-Zaman Grafiğinde Eğim ve Yer Değiştirme Alanı

Bu grafikte düşey eksende hız () bulunmaktadır. Zaman () ise yine yatay eksende kalmaktadır. Bir grafiğin eğimi düşey değişimin yatay değişime oranıdır ve hız-zaman grafiğinde düşey değişim hız değişimi (), yatay değişim ise geçen süre () olmaktadır. Dolayısıyla hız-zaman grafiğinin eğimi doğrudan ivmeyi vermektedir ve şu bağıntıyla yazılmaktadır:

Piste inen uçağın 10,0 m/s son hızını bulduğumuz modeli de bu grafikte bir doğrudur. Doğrunun düşey ekseni kestiği nokta ilk hızını, sabit eğimi ise ivmesini temsil etmektedir. Nitekim jet otomobilinin hız-zaman grafiği pozitif eğimli bir doğrudur. Bu doğru düşey ekseni 15 m/s değerinde kesmekte ve eğimi her yerde aynı olduğu için sabit ivmeyi göstermektedir.

Alanın anlamı ise farklıdır. Grafik çizgisi ile yatay zaman ekseni arasında kalan bölgenin alanı, alınan yoldan farklı olan yer değiştirmesini vermektedir.⁠^[6] Sabit ivmeli harekette hız-zaman doğrusunun altında kalan bu bölge bir yamuk oluşturmaktadır. Yamuğun alanı iki parçanın toplamıdır. Alttaki parça alanlı bir dikdörtgen, üstteki parça ise alanlı bir üçgendir. Bu ilişki hız zamanla değişse bile geçerlidir, çünkü konum fonksiyonu , hız fonksiyonu 'nin bir integralidir. Dolayısıyla hızın ilgili zaman aralığındaki belirli integrali, yani grafik altındaki toplam alan, yer değiştirmeye eşittir.

Hareket sırasında yön değişirse yer değiştirme alanları işaretleriyle birlikte toplanmaktadır.⁠^[12] Örneğin bir gidiş-dönüş yolculuğunda gidiş yönündeki yer değiştirme +5 km, dönüşteki yer değiştirme ise −5 km olsun. Böyle bir yolculuğun net yer değiştirmesi 0 km çıkmaktadır. Yani aracın hareket etmiş olması, toplam yer değiştirmenin sıfır olmasını engellememektedir. Basitleştirilmiş grafiklerde bu tür bir yolculuk köşeli sabit hız çizgileriyle gösterilmektedir. Oysa bir otomobil durgunluktan sabit hıza hızlanmadan geçememektedir, bu nedenle gerçek bir hız-zaman grafiği başlangıç ve bitiş uçlarında eğrilmektedir.

Evrim Agaci, Own work

İvme-Zaman Grafiğinde Alan ve Değişken İvme Sınırı

Üçüncü grafikte düşey eksen ivmeyi () göstermektedir. Zaman () yine öteki iki grafikteki yerini korumaktadır. Sabit ivmeli bir harekette ivme değeri zaman boyunca hiç değişmemektedir. Bu nedenle ivme-zaman grafiği yatay bir doğrudur.⁠^[5] Örneğin jet otomobilinin ivme-zaman grafiği, 5,0 m/s² değerindeki sabit ivmeyi gösteren yatay bir çizgiden oluşmaktadır. Bu yatay doğru ile zaman ekseni arasındaki dikdörtgenin işaretli alanı ise hız değişimini vermektedir ve sabit ivmede bu alan şu bağıntıyla yazılmaktadır:

Alan hesaplanırken zaman ekseninin üstündeki kısım pozitif, altındaki kısım negatif alınmakta ve bu işaretli alanlar toplanmaktadır. Ancak bu alan sadece hız değişimini () vermektedir. Dolayısıyla son hızın kendisiyle karıştırılmamalıdır.⁠^[6]

İvme her zaman sabit kalmamaktadır. Zamanla değiştiğinde ise sabit ivme grafiklerinin bazı özel kuralları geçerliliğini yitirmektedir. Bu kurallardan biri, ortalama hızı ilk ve son hızın aritmetik ortalaması olarak veren bağıntıdır (). İvme zamanla değişiyorsa bu bağıntı genel olarak ortalama hızı vermemektedir. Örneğin ivmenin zamanla değiştiği eğrisel bir hız-zaman grafiğinde ortalama hız, formülünün verdiği değerle örtüşmemektedir.

İvme değiştiğinde hız-zaman çizgisi de bükülmektedir. Bu durumda zaman aralığı sıfıra yaklaşırken tanımlanan anlık ivme (), ilgili noktada hız-zaman eğrisine çizilen teğetin eğiminden hesaplanmaktadır.

Çözümlü örnek 6: İvmesi değişen bir jet otomobilinin 25. saniyedeki ivmesi nedir?

Verilenler: Jet otomobilinin hız-zaman eğrisine noktasında çizilen teğet. Bu teğet üzerinde seçilen iki noktadan biri 1,0 s anında 210 m/s, öteki 51 s anında 260 m/s değerini göstermektedir.

İstenen: Otomobilin anındaki anlık ivmesi, yani teğetin eğimi.

1. adım: Eğim düşey değişimin yatay değişime oranı olduğu için önce iki nokta arasındaki hız farkı bulunmaktadır:

2. adım: Ardından aynı iki nokta arasındaki zaman farkı bulunmaktadır:

3. adım: Teğetin eğimi, hız farkının zaman farkına bölünmesiyle bulunmaktadır:

Sonuç: Jet otomobilinin anındaki ivmesi çıkmaktadır.

İvmenin bu şekilde sürekli değiştiği hareketlerde sabit ivme bağıntıları tek başına yeterli olmamaktadır, dolayısıyla bu hareketlerin grafiklerini hesaplamak için diferansiyel ve integral hesabı yöntemleri gerekmektedir.⁠^[9]

İvme Hakkında Doğru Bilinen Yanlışlar ve Serbest Düşme

İvme hakkındaki yanlış fikirlerden biri, negatif işaretli ivmenin cismin yavaşladığını gösterdiği düşüncesidir. Oysa ivme vektörel bir büyüklüktür. Pozitif veya negatif işareti, seçilen referans sistemindeki koordinat eksenine göre belirlenmektedir. Bu nedenle negatif işaret tek başına süratin azaldığını söylememektedir. Bir cismin yavaşlaması ivmenin negatif olmasından kaynaklanmamaktadır, aksine yavaşlama ivme vektörü cismin hareket yönüne zıt olduğunda gerçekleşmektedir. Örneğin Brezilya'nın São Paulo kentinde bir istasyona yaklaşan metro treni yavaşlamaktadır, çünkü bu sırada trenin ivmesi hareket yönünün tersinedir.

Negatif sabit ivmenin zaman içindeki etkisi, uçak örneğindeki 10,0 m/s değerini veren modelinden izlenebilmektedir. Seçilen bir başlangıç noktasına göre pozitif yönde hızı olan bir cisim sabit bir negatif ivme kazanırsa, sürati giderek azalmaktadır. Bu negatif ivme yeterince uzun sürerse cisim sonunda durmakta, ardından hareket yönünü tersine çevirmektedir ve yön değiştikten sonra hem hız hem de ivme negatif yönü göstermektedir. Nitekim bir parçacığın anındaki hızı , ivmesi ise değerindedir. Bu anda ivme negatif olduğu halde parçacık yavaşlamamaktadır. Aksine ters yönde yeniden süratlenmektedir.

Hızı sıfır olan bir cismin ivmesi de sıfır olmak zorunda değildir.⁠^[7] Yerçekimi etkisindeki serbest düşme (İng: "free fall") hareketi bunun bir örneğidir. Serbest düşme denklemleri sadece aşağı bırakılan cisimlere uygulanmamaktadır. Bu denklemler düşey yukarı atılmış bir topun hem çıkışına hem de inişine eşit biçimde uygulanmaktadır. Örneğin bir beyzbol topu düşey yukarı doğru ilk hızla vurulsun ve 5,0 s sonra vurulduğu konumda yakalansın. Top, sonunda olan en büyük yüksekliğe ulaşmaktadır. Yörüngenin bu en üst noktasında topun hızı anlık olarak sıfırdır. Fakat ivmesi sıfırdan farklıdır ve aşağı yönde 9,8 m/s² değerindedir.

Serbest düşme hareketi, kütle ile düşme ivmesi arasındaki ilişkiyi de açıklığa kavuşturmaktadır. Hava direnci ve sürtünme ihmal edildiğinde, belirli bir konumdaki bütün cisimler Dünya'nın merkezine doğru aynı sabit ivmeyle düşmektedir. Bu ivme, cisimlerin kütlesinden bağımsızdır. Dolayısıyla bu koşullarda daha ağır bir cismin zorunlu olarak daha büyük bir düşme ivmesine sahip olduğu düşüncesi yanlıştır. Drag yarışındaki 402 m sonucunu veren bağıntı () düşey doğrultudaki hareketlere de aynen taşınabilmektedir, ancak bu kez sabit yerçekimi ivmesinin () işareti eksen seçimine bağlıdır. Yukarı yön pozitif seçilirse yazılmaktadır, ama aşağı yön pozitif seçildiğinde aynı fiziksel ivme olmaktadır.

Hesaplamalarda ortalama bir değer olarak 9,8 m/s² kullanılmaktadır. Ancak yerçekimi ivmesi , yeryüzünün her noktasında aynı büyüklükte değildir. Bu değer, bulunulan konumun enlemine, yüksekliğine, yer altındaki jeolojik yapılara ve yerel topografyaya bağlıdır, dolayısıyla değeri 9,78 m/s² ile 9,83 m/s² arasında değişmektedir.

Serbest düşmedeki sabit modeli, sadece hava direncinin ve sürtünmenin ihmal edilebildiği durumlarla sınırlıdır. Cisim zemine ya da başka bir cisme değdiği anda serbest düşme sona ermektedir. Bu andan sonra cismin ivmesi artık olarak kabul edilememektedir.

MichaelMaggs, CC BY-SA 3.0

Sonuç

İvme, hızın birim zamandaki vektörel değişimidir ve ortalama ivme bağıntısı olan ile tanımlanmaktadır. Sabit ivmeli harekette hız-zaman grafiği, düşey ekseni noktasında kesen ve sabit eğimi () doğrudan ivmeyi veren bir doğrudur. İvme-zaman çizgisi ise zaman eksenine paralel uzanmakta, altındaki işaretli alan da bağıntısıyla hız değişimini ortaya koymaktadır.

Aynı modeller iki noktayı da göstermektedir. İvmenin negatif işareti tek başına yavaşlama anlamına gelmemektedir. İvme-zaman grafiği altındaki alan da doğrudan son hızı vermemektedir. Ayrıca drag yarışçısında görüldüğü gibi, gerçek hareketlerde ivme her zaman sabit kalmamaktadır. Araç sabit hıza yaklaştıkça ivme azalmaktadır. Ancak bu bir engel değildir, çünkü önce hızlanıp sonra fren yapan bir otomobilin hareketi, her biri kendi sabit ivmesine sahip ayrı parçalar halinde modellenebilmektedir.