Doğrusal Fonksiyon Nedir? Doğrusal Fonksiyonun Grafiği Nasıl Çizilir ve Eğimi Nasıl Bulunur?

Doğrusal fonksiyon (İng: "linear function"), her girdiye tek bir çıktı atayan, değişim hızı sabit kalan ve grafiği bir doğru olan fonksiyondur. Gerçek sayılarda bu fonksiyon ailesi, koşuluyla veya eğim ile yazıldığında biçimindedir.^[1] Her girdiyi doğrudan kendisine eşleyen kuralı ise ailenin referans üyesidir. Grafiği orijinden geçmektedir.

Su altına dalan bir dalgıcın üzerindeki basınç ile sabit hızla giden bir trenin konumu doğrusal modellerle ifade edilebilmektedir, çünkü bu modellerde girdideki eşit adımlar çıktıyı her defasında aynı miktarda değiştirmektedir. Ancak bir denklemin düzlemde nasıl düz bir çizgi ürettiğini anlamak için katsayıların görevini ve doğrusuna uygulanan dönüşümleri birlikte incelemek gerekmektedir. katsayısının işareti ve fonksiyonun sıfırı, grafiği çizmeden bile doğrunun artan ya da azalan olduğunu ve hangi aralıkta pozitif ya da negatif değer aldığını belirlemektedir.

Doğrusal Fonksiyon Nedir?

Matematikte bir fonksiyon, izin verilen girdi değerlerinin oluşturduğu tanım kümesi (İng: "domain") içindeki her değere tek bir çıktı atayan bağıntıdır. Elde edilen bütün çıktı değerleri ise görüntü kümesi (İng: "range") içinde toplanmaktadır. Bir grafiğin gerçekten fonksiyon belirtip belirtmediği düşey doğru testi (İng: "vertical line test") ile anlaşılmaktadır. Koordinat düzleminde çizilen herhangi bir düşey doğru grafiği birden çok noktada kesiyorsa, tek bir girdiye birden fazla çıktı karşılık gelmektedir. Dolayısıyla böyle bir grafik fonksiyon belirtmemektedir.

Gerçek sayılarda doğrusal fonksiyonun genel biçimi, ve birer gerçek sayı olmak üzere kuralıdır. Aynı genel kural, baş katsayısı harfiyle gösterildiğinde biçiminde yazılmaktadır. Burada (veya ) katsayısı sıfırdan farklıdır. Oysa bu katsayı sıfıra eşit olduğunda çıktı her girdide aynı kalır ve grafiği yatay bir doğru olan sabit fonksiyon ortaya çıkmaktadır. Sabit fonksiyon bu nedenle koşullu doğrusal fonksiyon ailesinin dışında kalmaktadır. Bu ailedeki her fonksiyonun tanım kümesi ise aralığındaki bütün gerçek sayılardır.

Bu ailenin en yalın üyesi kuralıdır. Bu kural birim fonksiyon (özdeşlik fonksiyonu, İng: "identity function") olarak adlandırılmaktadır. Birim fonksiyonda çıktı her zaman girdinin kendisidir. Dolayısıyla bu kural şeklinde açık yazılıp biçimiyle karşılaştırıldığında ve değerleri elde edilmektedir.^[2] Ayrıca çıktıyı sıfırlayan tek girdi 0 sayısıdır. Bu nedenle fonksiyonun tek sıfırı 0'dır ve grafik orijinden geçmektedir.

Doğrusal bir fonksiyon dört farklı yolla temsil edilebilmektedir. Kural sözel bir açıklamayla anlatılabilir ya da cebirsel fonksiyon gösterimiyle ifade edilebilir. Ayrıca girdi ve çıktı çiftleri bir değer tablosu halinde dizilebileceği gibi koordinat düzleminde grafik olarak da çizilebilmektedir. Dört biçim de aynı bağıntıyı göstermektedir. Sözel bir açıklamadan fonksiyon gösterimine geçip çıktı hesaplamayı görmek için Bora'nın aylık üretim maliyeti ele alınabilir.

Çözümlü örnek 1: Bora 100 ürün ürettiğinde aylık maliyeti ne kadardır?

Verilenler: Bora her ay 1.250 dolar sabit gider ödemektedir. Buna ürettiği her ürün için 37,50 dolar üretim maliyeti eklenmektedir. Ürün sayısı olarak alınmaktadır.

İstenen: 100 ürünlük girdi için aylık maliyet, yani .

1. adım: Sabit gider ile ürün başına maliyet birleştiği için, ürün sayısını göstermek üzere aylık maliyet şu denklemle modellenmektedir:

2. adım: Çıktıyı bulmak için yerine 100 konulmaktadır:

3. adım: Önce çarpma işlemi yapıldığı için şu ara toplam bulunmaktadır:

Sonuç: , yani 100 ürünlük aylık maliyet 5.000 dolardır.^[3]

Cebirsel kural bütün gerçek sayılarda hesaplanabilse bile bir uygulamanın tanım kümesi fiziksel koşullarla sınırlanabilir. İstasyondan 250 metre uzakta başlayan ve saniyede 83 metre sabit hızla ilerleyen bir trenin istasyona uzaklığı, saniye cinsinden zamanı ve metre cinsinden mesafeyi göstermek üzere denklemiyle modellenmektedir. Fakat girdi zamanı temsil ettiği için negatif gerçek sayılar bu örnekte mümkün değildir. Bu nedenle tanım kümesi sadece negatif olmayan gerçek sayılardan oluşmaktadır.

Doğrunun Denklemi: Cebir ile Geometrinin Buluşması

Bugünkü Kartezyen geometrinin kökleri, cebir ile geometriyi birleştiren 17. yüzyıl çalışmalarına uzanmaktadır.^[11] Matematikçi René Descartes, 1637 yılında Leiden'de yayımlanan Discours de la méthode adlı eserinin eki La Géométrie içinde cebiri geometriye uygulamıştır.^[11]

Ayrıca Descartes bu eserde, geometrik bir problemi çözmek için varsayılan bilinmeyen doğru parçalarının sayısı kadar denklem bulunması yöntemini anlatmış, ayrıca geometrik eğrilerin noktaları ile bir doğrunun tüm noktaları arasındaki ilişkinin tek bir denklem aracılığıyla ifade edilmesi gerektiğini açıklamıştır. Bu anlatım, cebir ile geometrinin birincil bir metinde ilişkilendirildiğini gösteren bir örnektir.^[12]

René Descartes, Kamu malı

Eğim: Doğrunun Sabit Değişim Hızı

Doğrusal fonksiyonun genel biçimi içindeki (veya ) katsayısı, sabit değişim hızı (İng: "rate of change") anlamına gelen eğim (İng: "slope") değeridir. Doğrusal bir fonksiyonda girdi kadar değiştiğinde, çıktı her seferinde ( katsayısıyla ) kadar değişmektedir. Değişim hızı bütün girdiler için aynıdır. Dolayısıyla bu özellik sadece seçilmiş iki noktaya ait değildir. Aynı yatay değişime her yerde aynı düşey değişimin karşılık gelmesi, grafiğin sabit eğimini açıklamaktadır.

Farklı koordinatlarına sahip ve noktaları arasındaki eğim şu formülle hesaplanmaktadır:

Bu oranda pay çıktıdaki, payda ise girdideki değişimi göstermektedir. Eğim hesabında noktaların yazılış sırası değiştirilebilir. Ancak pay ve paydada kullanılan koordinatlar aynı nokta sırasını izlemelidir. Ayrıca eğimin mutlak değeri büyüdükçe doğru daha dik hale gelmektedir. Negatif eğimlerde de diklik mutlak değere göre karşılaştırılmaktadır. Örneğin eğimi olan doğru, eğimi olan doğrudan daha diktir. İki noktası bilinen bir doğrunun eğimi bu formülle adım adım bulunabilmektedir.

Çözümlü örnek 2: (3, −2) ve (8, 1) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Verilenler: Doğru üzerindeki ve koordinat çiftleri.

İstenen: Doğrunun eğimi, yani .

1. adım: Pay çıktıdaki değişimi verdiği için önce farkı hesaplanmaktadır:

2. adım: Payda girdideki değişimi verdiği için ardından farkı hesaplanmaktadır:

3. adım: Eğim bu iki değişimin oranı olduğu için pay paydaya bölünmektedir:

Sonuç: Eğim , yani ondalık gösterimle olarak bulunmaktadır.^[3] Eğim pozitiftir, dolayısıyla fonksiyon artandır.

Denklemdeki sabiti ise için çıktıyı veren başlangıç değeridir. Uygulamalı problemlerde eğimin birimi, çıktı biriminin girdi birimine oranıdır. Hız hesaplarındaki mil/saat ve bütçe hesaplarındaki dolar/gün bu oran yapısına iki örnektir. Bu nedenle eğim birimi, girdideki bir birimlik artışın çıktıda hangi birimle ne kadar değişim yarattığını doğrudan söylemektedir.

Katsayıların fiziksel anlamı, su altına dalan bir dalgıcın üzerindeki basıncı derinliğe bağlayan modelinde somutlaşmaktadır. Bu denklemde derinlik fit cinsinden, basınç ise inç kare başına libre (PSI) cinsinden ölçülmektedir. Başlangıç değeri 14,696 sayısıdır. Bu değer, 0 fit derinlikte, yani su yüzeyinde dalgıcın üzerindeki basıncı PSI cinsinden vermektedir. Eğim olan 0,434 ise her 1 fit derinlik artışında basıncın 0,434 PSI yükseldiğini göstermektedir.

Başlangıç değeri yerine belirli bir girdisindeki fonksiyon değeri ve eğimi biliniyorsa, kural nokta-eğim biçimi (İng: "point-slope form") ile şu eşitlik şeklinde yazılabilmektedir:

Düzlemdeki düşey bir doğru ise fonksiyon grafiği değildir. Çünkü tek bir girdiyi birden çok çıktıyla eşleştirmekte ve düşey doğru testini geçememektedir.^[2] Üstelik düşey bir doğruda yatay değişim sıfır olduğu için payda sıfırlanır ve düşey doğrunun eğimi tanımsız kalmaktadır.

Evrim Ağacı

Doğrusal Fonksiyonun Grafiği ve Eksen Kesişimleri

Doğrusal fonksiyonun genel biçimi verildiğinde grafiği çizmenin üç temel yolu noktaları işaretlemek, y ekseni kesişimi ile eğimi kullanmak ve kuralını dönüştürmektir. Nokta işaretleme yönteminde fonksiyon en az iki farklı girdide değerlendirilmektedir, çünkü iki nokta bir doğruyu belirlemeye yetmektedir. Yine de üç nokta seçmek işlem hatalarını yakalamaya yardımcı olmaktadır, çünkü doğru hesaplanan noktaların tamamı aynı doğru üzerinde bulunmalıdır. Üçüncü nokta aynı hizaya düşmezse hata hemen görülmektedir. Bu yöntemin işleyişi somut bir örnekle izlenebilmektedir.

Çözümlü örnek 3: Bir doğrunun grafiği nokta işaretlenerek nasıl çizilir?

Verilenler: fonksiyonu ve , 3 ve 6 girdileri.

İstenen: Grafik üzerindeki üç nokta ve bu noktalardan geçen doğru.

1. adım: İlk nokta için konulmakta ve noktası elde edilmektedir:

2. adım: İkinci nokta için girdisi kullanılmaktadır:

3. adım: Üçüncü nokta için hesaplanmaktadır.^[4] Değer şöyledir:

Sonuç: , ve noktaları tek bir düz çizgiyle birleştirilmektedir. Ortaya çıkan çizgi fonksiyonun grafiğidir.

İkinci çizim yolu ise doğrudan y ekseni kesişimi ile eğimi kullanmaktadır. Grafiğin y eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde alınmaktadır. Bu nokta, y ekseni kesişimi denen noktasıdır. Aynı grafiği bu yolla da çizilebilmektedir. Bu kez üç ayrı noktayı hesaplamak yerine önce başlangıç değeri üzerinden noktası işaretlenmektedir. Ardından bu noktadan başlanıp eğimi uyarınca her seferinde 2 birim aşağı ve 3 birim sağa gidilerek doğru tamamlanmaktadır.

Grafiğin x eksenini kestiği noktada, yani x ekseni kesişiminde ise fonksiyonun çıktısı sıfırdır. Bu noktayı bulmak amacıyla koşuluyla (veya ) denklemi çözülmektedir. Bu durumda eğim sıfırdan farklı olduğundan çözüm ( katsayısıyla ) olmaktadır. Kesişim noktası da olarak yazılmaktadır. Bu kesişim noktası bir örnek üzerinde adım adım hesaplanabilmektedir.

Çözümlü örnek 4: Bir doğru x eksenini hangi noktada keser?

Verilenler: doğrusal fonksiyonu.

İstenen: Grafiğin x ekseni kesişimi.

1. adım: Kesişim noktasında çıktı sıfır olduğu için çıktı sıfıra eşitlenmektedir:

2. adım: Bilinmeyeni yalnız bırakmak için eşitliğin iki yanına 3 eklenmektedir:

3. adım: Ardından elde edilen eşitliğin iki tarafı 2 ile çarpılmaktadır:

Sonuç: Çözüm 'dır. Dolayısıyla grafik x eksenini noktasında kesmektedir.

Fonksiyonun sıfırı ile eksen kesişimi aynı kavram değildir. Fonksiyonun sıfırı denkleminin çözümü olan bir gerçek sayıdır, eksen kesişimi ise grafik üzerinde yer alan bir noktadır. Örneğin fonksiyonunun sıfırı 3 gerçek sayısı iken, buna karşılık gelen x ekseni kesişimi noktasıdır.^[1]

Evrim Ağacı

Referans Doğrunun Dönüşümleri

Doğrusal fonksiyon grafiği çizmenin üçüncü yolu, birim fonksiyon olan referans doğrusunu dönüştürmektir. Kurala dışarıdan sabit ekleyen dönüşümü düşey öteleme (İng: "vertical shift") üretir ve bütün çıktı değerlerini kadar değiştirmektedir. Burada 0"> için grafik yukarı, için aşağı ötelenmektedir. Öte yandan fonksiyonun girdisinde yapılan değişikliği yatay öteleme (İng: "horizontal shift") yaratmaktadır. Burada 0"> için grafiği birim sağa, grafiği ise birim sola kaymaktadır.

Çıktı değerlerini sıfırdan farklı bir katsayıyla çarpan dönüşümü ise grafiği düşey yönde ölçeklemektedir. Katsayı 1"> olduğunda grafik düşey yönde gerilmektedir. Ancak olduğunda grafik düşey yönde sıkıştırılır ve doğrusu için bu işlem doğrunun eğimini küçültmektedir. Katsayı olduğunda ise sayısının mutlak değerine bağlı düşey ölçeklemeye ek olarak grafik x eksenine göre yansımaktadır.^[5] Örneğin için elde edilen kuralı, grafiğinin x eksenine göre doğrudan yansımasıdır. Düşey dönüşümler biçiminde birleştirildiğinde önce ile ölçekleme, sonra ile öteleme uygulanmaktadır. Sıra değiştiğinde sonuç da değişmektedir, çünkü önce öteleyip sonra ölçeklemek kuralını vermektedir.

Çözümlü örnek 5: Referans doğruda doğrusu nasıl elde edilir?**

Verilenler: Başlangıçta referans grafiği alınmakta, hedef ise grafiğidir. Ayrıca ara değerleri izlemek için girdisi kullanılmaktadır.

İstenen: Dönüşümlerin sırası ve girdisinin çıktısı.

1. adım: Ölçekleme önce geldiği için referans grafik ilk adımda düşey yönde oranında sıkıştırılmakta ve çıktı bir ara değere inmektedir:

2. adım: İkinci adımda elde edilen ara doğru 3 birim aşağı ötelendiği için ara değerden 3 çıkarılmaktadır.^[4] İşlem şöyledir:

Sonuç: Referans doğru önce düşey yönde oranında sıkıştırılıp sonra 3 birim aşağı ötelendiğinde doğrusu elde edilmektedir. Bu doğruda girdisinin çıktısı 'dir.

Yatay ve düşey bütün dönüşümler birim fonksiyona aynı anda uygulanabilmektedir. Sonuç yine doğrusal bir kuraldır. Referans kuralında her çıktı girdiye eşit olduğu için ifadesi doğrudan eşitliğine dönüşmektedir. Parantez açıldığında bulunur ve olacak şekilde yeniden biçimi elde edilmektedir. Benzer şekilde yazılırsa sabitiyle yine kuralına ulaşılmaktadır.

Ortaya çıkan (veya ) eşitliği, bir doğruyu yatayda ötelemenin, düşeyde büyüklüğünde bir ötelemeyle aynı doğruyu verdiğini cebirsel olarak göstermektedir. Çünkü yatay öteleme miktarı olan , katsayısıyla çarpılarak doğrudan y ekseni kesişimi değerini belirleyen sabitinin içine katılmaktadır. Ayrıca denkleminde sabiti grafiği sadece düşey yönde ötelemektedir. Eğim ise değişmemektedir. Eğimleri aynı, y ekseni kesişimi noktaları farklı olan doğruların düzlemde paralel olması da değişirken eğimin sabit kalmasının geometrik sonucudur.

Artan mı, Azalan mı? Doğrusal Fonksiyonun Nitel Özellikleri

Dönüşümlerle elde edilen doğrusunun artan mı azalan mı olduğunu, açılımı içindeki sabit terimden bağımsız olarak eğim katsayısının işareti belirlemektedir. Bir aralıkta her girdi çifti için oluyorsa, yani girdiler arttıkça çıktılar da artıyorsa fonksiyon artandır. Pozitif eğimli ( 0"> veya 0">) doğrular artandır ve grafikleri soldan sağa yükselmektedir. Öte yandan girdiler arttıkça çıktılar azalıyorsa (her için f(x_2)"> oluyorsa) fonksiyon azalandır ve negatif eğimli () doğrular soldan sağa alçalmaktadır. Referans doğru olan bir katsayıyla çarpıldığında grafik x eksenine göre yansımaktadır.^[5]

Bir doğrusal fonksiyonun artanlığı ile pozitif veya negatif değerler aldığı aralıklar birbirinden farklı özelliklerdir. Ancak bu işaret aralıkları, fonksiyonun sıfırı ve artanlık ya da azalanlık tanımı üzerinden doğrudan çıkarılmaktadır. Sıfırı olan ( sağlayan) artan bir doğrusal fonksiyonda, artanlık tanımı gereği için , c"> için f(c) = 0"> olmaktadır. Fonksiyon bu nedenle 'nin solunda negatif, sağında pozitif değerler almaktadır. Azalan bir doğrusal fonksiyonda ise sıralama tersine dönmektedir. Bu durumda için f(c) = 0">, c"> için olmaktadır.

Eğim pozitif de negatif de olsa, gerçek sayıların tümünde tanımlanan doğrusal fonksiyonun görüntü kümesi aralığıdır. Bu nedenle tanım kümesi bütün gerçek sayılar olan doğrusal fonksiyonların en büyük veya en küçük değeri yoktur, yani doğru üzerindeki hiçbir nokta mutlak bir zirve veya taban oluşturmamaktadır.

Her çıktının tek bir girdiden gelip gelmediği ise yatay doğru testi (İng: "horizontal line test") ile belirlenmektedir. Herhangi bir yatay doğru grafiği birden çok noktada kesiyorsa, bu grafiğin belirttiği fonksiyon bire bir fonksiyon (İng: "one-to-one function") değildir. Doğrusal fonksiyon bire birdir. Dolayısıyla doğrusal fonksiyonun tersi vardır. Öte yandan biçiminde olduğunda ( referans fonksiyonu dahil) fonksiyon tek fonksiyondur, yani her için sağlanmakta ve grafik orijine göre simetrik olmaktadır.^[9] Nitel özellikler bir problem üzerinde de görülebilmektedir.

Çözümlü örnek 6: Elan'ın birikimi kaç haftada biter?

Verilenler: Elan'ın 3.500 dolarlık başlangıç birikimi ve haftalık 400 dolarlık harcaması.

İstenen: Paranın bittiği an, yani grafiğin yatay ekseni ( eksenini) kestiği nokta.

1. adım: Para her hafta aynı miktarda azaldığı için hafta cinsinden zamanına bağlı kalan para şu denklemle modellenmektedir:

2. adım: Para, grafiğin eksenini kestiği anda bittiği için çıktı sıfıra eşitlenmektedir:

3. adım: Bilinmeyeni bulmak için 3.500 sayısı 400'e bölünmektedir.^[6] İşlem şöyledir:

Sonuç: Eğim olduğu için fonksiyon azalandır. Kalan para hafta sonunda sıfıra inmektedir.

Kredi kartıyla borçlanma varsayılmadığında model, paranın bittiği bu andan sonra geçerli değildir. Elan'ın modeli için uygun tanım aralığı bu nedenle olmaktadır. Gerçek yaşam modelleri de çoğunlukla sınırlı bir tanım aralığında geçerlidir, çünkü neredeyse hiçbir eğilim sonsuza dek sürmemektedir. Model kurarken sadece formülü bulmak yeterli değildir. Ulaşılan sonucun verilen duruma uygun ve matematiksel açıdan anlamlı olup olmadığı da değerlendirilmelidir.

Evrim Ağacı

Mutlak Değer ve Ters Fonksiyonla Bağlantı

Doğrusal fonksiyonun genel biçimi, parçalı tanımlanan mutlak değer fonksiyonunun da doğrudan yapı taşını oluşturmaktadır. Nitekim fonksiyonu için , için biçimindedir, yani iki farklı aralıkta iki doğrusal kuralı birleştirmektedir.^[7] Mutlak değer grafiğinin ayırt edici özelliği ise yön değiştirdiği köşe noktasıdır. Temel grafiğinde bu köşe orijinde bulunmaktadır.

Öte yandan bire birlik koşulunu sağlayan her doğrusal kural, girdilerle çıktıları yer değiştiren bir ters fonksiyon (İng: "inverse function") tanımlamaktadır.^[8] Asıl fonksiyon eşlemesini yapıyorsa, ters fonksiyon girdisinden çıktısını vermektedir. Bu yer değiştirme nedeniyle, bire bir olan her fonksiyonun tersinin grafiği asıl grafiğin doğrusuna göre yansımasıdır. Birim fonksiyonun tersi ise yine kendisidir.

İki doğrusal kolu birleştiren mutlak değer fonksiyonu bütün gerçek sayılarda bire birlik özelliğine sahip değildir. Ancak mutlak değer fonksiyonu aralığına kısıtlandığında birim fonksiyonla aynı değerleri vermektedir.^[8] Bu aralıkta her çıktı tek bir girdiden geldiği için kısıtlanmış fonksiyon bire birdir ve tersi vardır.

Sonuç

Doğrusal fonksiyon, birim fonksiyon 'in ölçeklenip ötelenmesiyle elde edilen ve grafiği sabit eğimli bir doğru olan fonksiyondur. Türetilen her kuralı (veya ) açılımı yoluyla doğrusal fonksiyonun genel biçimi olan ifadesine indirgenmektedir. Bu yapıda katsayısının işareti doğrunun yönünü, fonksiyonun sıfırı ise işaretin değiştiği yeri göstermektedir.

Bununla birlikte "doğrusal" terimi matematiğin her alanında aynı kapsamda kullanılmamaktadır.^[10] Lineer cebir ve fonksiyonel analizde doğrusal fonksiyon terimi, ve koşullarını sağlayan fonksiyonlar için kullanılmaktadır. Bu tanım, doğru grafiğine dayalı kullanımdan farklı ve daha dar bir çerçevedir.

Bu daha katı tanımı, ailenin sadece y ekseni kesişimi orijinde bulunan ( olan) üyeleri karşılamaktadır. Bu üyeler tek fonksiyondur.^[9] Birim fonksiyon da bu çekirdek gruba dahildir. Oysa sabit terimi sıfırdan farklı olan biçimi ve koşullarını sağlamaz ve sadece geniş kullanımda doğrusal sayılmaktadır.