Bir fonksiyon ile tersinin grafikleri, girdi ve çıktı değerleri karşılıklı yer değiştirdiği için y = x doğrusuna göre simetriktir.[1][2] Bu simetri ters fonksiyon (İng: "inverse function") tanımından doğmaktadır.[1] Ters fonksiyon, başlangıçtaki girdiyi kendi çıktısına ve çıktıyı da kendi girdisine dönüştürmektedir.[1] Grafikteki (a,b) noktası b = f(a) demektir.[2] Dolayısıyla ters fonksiyonda f⁻¹(b) = a eşitliği geçerli olduğundan yeni grafikte (b,a) noktası yer alır ve koordinatların değişimi y = x doğrusuna göre yansıma yaratmaktadır.[2] Grafikteki (5,3) noktası terste (3,5) olmaktadır.[1][2]
Cebirsel işlemde de kural aynıdır.[1] Formülle verilen y = f(x) denkleminde önce x yalnız bırakılır, ardından x ile y adları değiştirilerek f⁻¹(x) bulunmaktadır.[1] Örneğin doğrusal f(x) = 3x-4 fonksiyonunun tersi f⁻¹(x) = (1/3)x+4/3 doğrusudur.[2] Kümeler de yer değiştirmektedir.[1] Bu yüzden rasyonel f(x) = 2/(x-3)+4 fonksiyonunda tanım kümesinden 3 ve görüntü kümesinden 4 çıkarılırken, f⁻¹(x) = 2/(x-4)+3 olan terste bu iki küme birbirinin yerini almaktadır.[1] Temel f(x) = 1/x fonksiyonu ise kendi tersidir.[1]
Ancak her fonksiyonun tersi yoktur.[1] Ters ilişkinin de fonksiyon kalabilmesi için başlangıçtaki bağıntının bire bir fonksiyon olması şarttır.[1][2] Farklı girdiler farklı çıktılar üretmelidir.[2] Grafikte bu koşulu yatay doğru testi (İng: "horizontal line test") ile denetlemekteyiz.[2] Yatay doğrular grafiği en çok bir kez kesmelidir.[2] Örneğin karesel f(x) = x² fonksiyonunda 9 çıktısı hem 3 hem -3 girdisinden gelir ve ters yönde tek girdiye iki çıktı düşmektedir.[1]
Çözüm tanım kümesini kısıtlamaktır.[1][3] Karesel f(x) = x² fonksiyonu [0,∞) aralığında sınırlandırıldığında bire bir olur ve simetriği karekök fonksiyonunu vermektedir.[1][2] Negatif (-∞,0] aralığında ise ters -√x olmaktadır.[2] Benzer biçimde f(x) = √(x-4) karekök fonksiyonunun tersi, başlangıçtaki görüntü kümesi tersin tanım kümesi olduğu için sadece x ≥ 0 aralığında tanımlı f⁻¹(x) = x²+4 parabol dalıdır.[3] f⁻¹ gösterimindeki -1 bir kuvvet değildir.[1] Ayrıca f⁻¹(x) gösterimi, çarpmaya göre ters olan 1/f(x) ifadesinden tamamen farklıdır.[1]
Konunun ayrıntılarını Ters Fonksiyon yazımızda bulabilirsiniz.
Kaynaklar
-
Abramson, J.. Precalculus 2E: 1.7 Inverse Functions. Openstax, Rice University. (1 Ocak 2021). Alındığı Tarih: 3 Kasım 2026. Alındığı Yer: OpenStax
| Arşiv Bağlantısı
-
Strang, G. ve Herman, E. J.. Calculus Volume 1: 1.4 Inverse Functions. Openstax, Rice University. (1 Ocak 2016). Alındığı Tarih: 3 Kasım 2026. Alındığı Yer: OpenStax
| Arşiv Bağlantısı
-
Abramson, J.. Precalculus 2E: 3.8 Inverses And Radical Functions. Openstax, Rice University. (1 Ocak 2021). Alındığı Tarih: 3 Kasım 2026. Alındığı Yer: OpenStax
| Arşiv Bağlantısı
/content/03352768-30c5-4c8a-8631-ab8bac2e3a5e.jpeg)
/profile/37f26ac92b52d4b1fc6c287a2c379540.jpeg){kind=small}