Ters Fonksiyon Nedir, Nasıl Bulunur?

Ters fonksiyon (İng: "inverse function"), başlangıçtaki bir fonksiyonun girdisini kendi çıktısına, başlangıçtaki fonksiyonun çıktısını ise kendi girdisine dönüştüren matematiksel eşlemedir.^[1] Bir fonksiyon aldığı sayısal girdiyi belirli bir kurala göre işleyerek tek bir sonuç ürettiğinde, bu işlemin tersi üretilen sonuçtan yola çıkıp başlangıçtaki girdiyi geri vermektedir.^{[1], [2]} Cebirsel bir formülle tanımlanan bire bir yapıdaki bir fonksiyonda ters fonksiyonu bulmak için önce y = f(x) denkleminde x girdi değişkeni yalnız bırakılmaktadır.^[1] Ardından x ile y yer değiştirmekte, yeni y değişkeninin yerine de f⁻¹(x) sembolü yazılmaktadır.^[1]

Günlük hayatta sıcaklık birimlerini birbirine dönüştürürken ya da gidilen mesafeden harcanan süreyi hesaplarken aslında bir fonksiyonun çıktısından girdisine geri dönülmektedir.^[1] Örneğin 75 Fahrenheit derecesinin yaklaşık 24 Celsius derecesine karşılık geldiğini bildiğimizde, 26 Celsius derecesinin yaklaşık 79 Fahrenheit derecesi ettiğini bulmak ters yöndeki dönüşümü çalıştırmaktır.^[1] Ne var ki her kural geri sarılabilen bir yapıda değildir.^[1] Ayrıca f⁻¹(x) yazılışındaki üst indis, ilk bakışta yanıltıcı biçimde bir kuvvet alma işlemi gibi algılanabilir.^{[1], [8]}

Ters Fonksiyon Nedir?

Bir f fonksiyonu her girdiyi belirli bir işlem zincirinden geçirip bir çıktıya taşırken, ters fonksiyon bu eşleme yönünü bütünüyle tersine çevirmektedir.^[1] Yani girdi ile çıktı rol değiştirmektedir.^[1] Somut bir eşleştirme üzerinden düşündüğümüzde bu hemen netleşmektedir.^[1] Örneğin bire bir özelliğe sahip bir f fonksiyonunda f(2) = 4 ve f(5) = 12 değerleri verilmiş olsun.^[1] Ters eşlemeye geçildiğinde 4 girdisi 2 çıktısını, 12 girdisi ise 5 çıktısını üretmekte^[1] ve dolayısıyla bu iki ilişki f⁻¹(4) = 2 ve f⁻¹(12) = 5 biçiminde yazılmaktadır.^[1]

Cebirsel kurallarla kurulan fonksiyonlarda geri dönüş, birbirini çözen zıt işlemlere dayanmaktadır.^[1] Basit bir doğrusal kural olan y = 4x fonksiyonu kendisine verilen her girdiyi dörtle çarparken^[1] tersi olan y = (1/4)x fonksiyonu aldığı değeri dörtte birle çarparak sayıyı başlangıçtaki değerine geri döndürmektedir.^[1] Böylece iki fonksiyon, uygun tanım kümeleri üzerinde iki yönde de birbirinin etkisini tamamen geri almaktadır.^[1] Matematiksel olarak f'nin tanım kümesindeki (İng: "domain") her x değeri için f⁻¹(f(x)) = x eşitliği sağlanmakta^[1] ve benzer şekilde f⁻¹'in tanım kümesinde yer alan her x için de f(f⁻¹(x)) = x geçerli olmaktadır.^[1]

Tam bu noktada bir gösterim çatışmasıyla karşılaşılmaktadır.^[8] Çünkü f⁻¹(x) gösteriminde fonksiyon adının sağ üst köşesine yazılan -1 işareti, cebirde bir sayının kuvvetini gösteren üs yazımıyla aynı konumu paylaşmaktadır.^[8] Oysa f⁻¹(x) ifadesindeki -1 bir üs değildir.^[1] Bu -1, -1'inci kuvvet anlamına gelmemekte, sadece ters fonksiyonu adlandıran gösterimin bir parçası olarak durmaktadır.^{[1], [8]}

Bu çatışma yüzünden f⁻¹(x) ters fonksiyon değeri ile 1/(f(x)) ifadesi birbirine karıştırılabilir.^{[1], [7]} Halbuki 1/(f(x)) yazılışı ters fonksiyonu değil, fonksiyon değerinin çarpmaya göre tersini (İng: "reciprocal") göstermektedir.^[1] İkisi tamamen farklı kavramlardır.^[7] Az önceki f(x) = 4x örneğine döndüğümüzde, bu fonksiyonun tersi f⁻¹(x) = (1/4)x kuralıdır.^[1] Çarpmaya göre tersinde ise x değişkeni paydaya inmekte ve 1/(4x) ifadesi ortaya çıkmaktadır.^{[1], [4]}

-1 İşareti Nereden Geliyor?

Fonksiyon kavramı matematikte 18. yüzyılın ortasında, 1748'de Leonhard Euler'in çalışmasıyla öne çıkmıştır.^[10] Ters fonksiyonları göstermek üzere kullanılan üst indisli yazım ise 1813 yılında Philosophical Transactions of the Royal Society of London dergisinde yayımlanan makalede sin⁻¹ x ve tan⁻¹ x gibi trigonometrik örneklerle basılmıştır.^[11] Matematik tarihçisi Florian Cajori'nin aktardığına göre makalenin yazarı, yıllar sonra yazdığı bir açıklamada bu gösterimi 1813'te ilk kez kendisinin kullandığını sandığını, ancak Alman analist Bürmann'ın aynı yazımı çok daha önce açıkladığını sonradan öğrendiğini belirtmiştir.^[11] Yine de Bürmann bu yazımı tan⁻¹ gibi ters fonksiyonlara uygulamamıştır.^[11]

Söz konusu birincil metni kaleme alan John Herschel, cos⁻¹ e yazımının 1/(cos e) anlamına gelmediğini 1813 tarihli makalesinde bir dipnotla açıklamıştır.^[12] Bu yazım, kosinüsü e değerine eşit olan yayı belirtmektedir.^[12] Herschel ayrıca negatif üst işaretli gösterimi doğrudan ters işlemlerle ilişkilendirmiştir.^[12] Aynı açıklamaya göre φ⁻ⁿ(x) biçimindeki genel bir ifade de bir kuvveti değil, n'inci ters fonksiyonu temsil etmektedir.^[12]

Julia Margaret Cameron, CC0

Her Fonksiyonun Tersi Var mı?

Bir fonksiyonun girdileri ile çıktıları yer değiştirdiğinde her zaman yeni bir fonksiyon elde edilememektedir.^[1] Yani bazı fonksiyonların tersi yoktur.^[1] Hatırlanacağı üzere bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için her girdiye tam olarak bir çıktı karşılık gelmesi şarttır^[2] ve dolayısıyla çıktılar girdiye dönüştürüldüğünde oluşan ters bağıntının da her girdiyi sadece tek bir çıktıya götürmesi gerekmektedir.^[2] Bu koşulu f'nin bire bir fonksiyon (İng: "one-to-one function") olması sağlamaktadır.^{[1], [2]} Cebirsel olarak, tanım kümesindeki farklı her iki girdinin çıktıları da birbirinden farklıysa, yani x₁ ≠ x₂ olduğunda f(x₁) ≠ f(x₂) eşitsizliği korunuyorsa fonksiyon bire birdir.^[2]

Farklı iki girdi aynı çıktıyı ürettiğinde ise geri dönüş tek bir cevaba ulaşamamakta^[1] ve bunun en bilinen örneği de tüm gerçek sayılarda ele alınan f(x) = x² karesel fonksiyonu olmaktadır.^[1] Çünkü burada 9 çıktısı hem 3 hem de -3 girdisinden gelmektedir.^[1] Eşlemeyi ters yönde çalıştırıp 9 değerini ters bağıntıya girdi olarak verdiğimizde^[1] bu tek 9 girdisine aynı anda hem 3 hem de -3 olmak üzere iki ayrı çıktı düşmektedir.^[1] Oysa tek bir girdiye birden fazla çıktının karşılık gelmesi, elde edilen bağıntının fonksiyon olmasını engellemektedir.^[1]

Peki bir fonksiyonun bire bir olup olmadığı cebirsel işlem yapmadan grafik üzerinden nasıl anlaşılır?^[2] Bu soruyu yatay doğru testi (İng: "horizontal line test") yanıtlamaktadır.^[2] Buna göre bir f fonksiyonunun bire bir olması için gerek ve yeter koşul, düzlemdeki her yatay doğrunun fonksiyon grafiğini en fazla bir noktada kesmesidir.^[2] Eğer herhangi bir yatay doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, aynı y çıktısına birden fazla x girdisi karşılık geliyor demektir. Bu durumda fonksiyon bire bir değildir.^[2] Bu sınama, düşey doğru testi (İng: "vertical line test") ile aynı soruyu yanıtlamamaktadır.^[2] Çünkü düşey doğru testi çizilen bir grafiğin fonksiyona ait olup olmadığını belirlerken, yatay doğru testi söz konusu fonksiyonun bire bir olup olmadığını denetlemektedir.^[2]

Bire bir koşulunu sağlayan bir f fonksiyonunun tersi alındığında, tanım kümesi ile görüntü kümesi (İng: "range") karşılıklı olarak yer değiştirmektedir.^[1] Yani f'nin görüntü kümesi f⁻¹'in tanım kümesi olmakta, f'nin tanım kümesi ise f⁻¹'in görüntü kümesine dönüşmektedir.^[1] Eğer X kümesinden Y hedef kümesine tanımlanan bir f fonksiyonunun sadece kendi görüntü kümesi üzerinde değil, belirtilen Y kümesinin tamamından X kümesine iki yönlü bir tersinin bulunması isteniyorsa bire birliğe ek olarak örtenlik (İng: "surjectivity") özelliği de gerekmektedir.^{[5], [6]} Örtenlik, fonksiyonun görüntü kümesinin belirtilen hedef kümeye eşit olmasıdır^[5] ve hem bire bir hem de örten olan eşlemelere bijektif fonksiyon (İng: "bijective function") adı verilmektedir.^[5] Dolayısıyla X'ten Y'ye tanımlı bir fonksiyonun iki yönlü bir tersi, ancak ve ancak bu fonksiyon bijektif olduğunda bulunmaktadır.^[6]

Tersi Bulmanın Dört Adımı

Çıktıdan girdiye geri dönerken, başlangıçtaki fonksiyonda uygulanan işlemler gelişigüzel bir sırayla geri alınmamaktadır.^[1] Ters işlemler, uygulandıkları sıranın tam tersinden geri sarılmaktadır.^[1] Çünkü girdiye en son hangi matematiksel işlem uygulanmışsa, çıktıya ulaşıldığında ilk olarak bu son işlemin çözülmesi gerekmekte, sıranın bu tersine dönmesi iki fonksiyonun art arda uygulandığı bileşke işleminde de genel bir teorem olarak ortaya çıkmaktadır.^{[1], [6]} Buna göre terslenebilir yapıdaki f ve g fonksiyonlarının bileşkesi alındığında, bileşkenin tersi (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹ kuralıyla bileşenlerin terslerinin ters sıradaki bileşkesine eşit olmaktadır.^[6]

Cebirsel bir formülle temsil edilen fonksiyonlarda bu sırayı hatasız yürütmek için standart bir çözüm yolu izlenmektedir.^[1] Bu yol dört adımda ilerlemektedir.^[1]

• Bire birliğin denetlenmesi: Ters bulma işlemine geçmeden önce verilen f fonksiyonunun bire bir fonksiyon olup olmadığı kontrol edilmektedir.^[1]
• Girdi değişkeninin yalnız bırakılması: Fonksiyon kuralı y = f(x) denklem biçiminde yazılarak cebirsel adımlarla x değişkeni y cinsinden çözülmektedir.^[1]
• Değişken adlarının değiştirilmesi: Ters fonksiyonun da bağımsız değişken olarak x harfiyle ifade edilebilmesi için denklemdeki x ile y yer değiştirmektedir.^[1]
• Ters fonksiyon sembolünün yazılması: Değişken değişiminden sonra elde edilen yeni y harfinin yerine f⁻¹(x) yazılarak ters fonksiyonun formülü tamamlanmaktadır.^[1]

Doğrusal Fonksiyonlar

Bu yöntem en açık biçimde, en yalın temel fonksiyon ailesi olan doğrusal fonksiyonlarda izlenebilmektedir.^[2] İlk çözümlü örnek olarak gerçek sayılarda tanımlı f(x) = 3x-4 doğrusal fonksiyonunun tersini bulalım.^[2] Bu fonksiyon aldığı x girdisini önce 3 ile çarpmakta, ardından elde edilen çarpımdan 4 sayısını çıkarmaktadır.^[2] Tersini bulmak üzere kuralı önce y = 3x-4 denklemi olarak yazalım.^[2] Ters sıra ilkesi gereği ilk iş, en son yapılan çıkarmayı geri almaktır. Eşitliğin her iki yanına 4 eklediğimizde 3x = y+4 ara sonucuna ulaşılmaktadır.^[2]

Evrim Agaci, Own work

İkinci adımda 3 ile çarpmanın etkisini geri almak için 3x = y+4 eşitliğinin her iki tarafını 3 sayısına böleriz^[2] ve böylece x değişkeni yalnız kalmakta ve x = (1/3)y+4/3 denklemi elde edilmektedir.^[2] Harflerin yerini değiştirdiğimizde y = (1/3)x+4/3 denklemine, y yerine ters fonksiyon sembolünü koyduğumuzda da f⁻¹(x) = (1/3)x+4/3 sonucuna varılmaktadır.^[2] Bu doğrusal kural hiçbir gerçek sayıyı dışlamamaktadır. Bu nedenle kümeler yer değiştirdikten sonra da hem f⁻¹'in tanım kümesi hem de f⁻¹'in görüntü kümesi (-∞,∞) aralığı olmaktadır.^[2]

Bu sayısal örneğin ortaya koyduğu yapı, f(x) = mx+b biçimindeki tüm doğrusal, diğer adıyla afin fonksiyonlar (İng: "affine functions") için genel bir formüle bağlanmaktadır.^[9] Böyle bir fonksiyonun terslenebilir olması için eğim katsayısı olan m değerinin sıfırdan farklı olması (m ≠ 0) gerekmektedir.^[9] Bu durumda tersi de yine bir afin fonksiyondur.^[9] Ters fonksiyonun eğimi başlangıçtaki eğimin çarpmaya göre tersi olan 1/m değerine, düşey ekseni kesme noktası ise -b/m değerine eşittir^[9] ve dolayısıyla terslenebilir her doğrusal fonksiyonun tersi doğrudan f⁻¹(x) = (1/m)x-b/m formülüyle kurulmaktadır.^[9]

Tablo ve Grafikten Ters Okumak

Her eşleme bir formülle verilmemektedir. Kimi zaman bir veri tablosu ya da koordinat düzlemindeki bir grafikle sunulmaktadır.^[1] Tabloyla verilen bire bir fonksiyonlarda tersi oluşturmak oldukça doğrudandır.^[1] Başlangıçtaki tablonun girdi satırı veya sütunu tersin çıktısı, çıktı satırı veya sütunu da tersin girdisi yapılmaktadır.^[1] Örneğin bir otomobilin sürüş süresine (dakika) bağlı olarak aldığı yolu (mil) gösteren bir tabloda ters fonksiyon, gidilen yoldan harcanan süreyi bulmaktadır.^[1] Böyle bir tabloda f⁻¹(70) = 90 eşitliği, otomobilin 70 mil yol almak için 90 dakika harcadığı anlamına gelmektedir.^[1]

Fonksiyonun sadece grafiği verildiğinde ise eksenleri okuma sırası tersine çevrilmektedir.^[1] Ters fonksiyonda hesaplanmak istenen girdi değeri önce düşey y ekseninde bulunmakta^[1] ve bu yükseklikten grafiğe yatay olarak gidildiğinde karşılık gelen çıktı yatay x ekseninden okunmaktadır.^[1] Örneğin bir g fonksiyonunun grafiğinde (3,1) noktasının yer alması, bize doğrudan g(3) = 1 olduğunu söylemektedir.^[1] Buna karşılık g⁻¹(3) değerini okumak istediğimizde, y ekseninde 3 değerini bulur ve grafik üzerindeki (5,3) noktasına ulaşırız^[1] ve bu (5,3) noktası g(5) = 3 anlamına geldiğinden de tanım gereği g⁻¹(3) = 5 olmaktadır.^[1]

Aynı 3 sayısında değerlendirilen g(3) = 1 ile g⁻¹(3) = 5 sonuçları ise birbirinden tamamen farklıdır.^[1] Farkın geometrik açıklaması, koordinat ikililerinin yer değiştirmesidir.^[2] Başlangıçtaki f fonksiyonunun grafiği üzerindeki her (a,b) noktası b = f(a) eşitliğini ifade ederken^[2] ters fonksiyonda f⁻¹(b) = a geçerli olduğundan f⁻¹'in grafiğinde karşılık gelen nokta (b,a) koordinatlarına yerleşmektedir.^[2] Düzlemdeki her noktada birinci ve ikinci koordinatlar yer değiştirdiği için f⁻¹'in grafiği, f'nin grafiğinin y = x doğrusuna göre tam bir yansıması olmaktadır.^[2]

Bazı özel fonksiyonlarda (a,b) noktalarının (b,a) noktalarına dönüşmesi grafiği hiç değiştirmemektedir. Bu fonksiyonlar kendi terslerine eşittir.^[1] Bunlar arasında üç yapı öne çıkmaktadır.^[1]

• Özdeşlik fonksiyonu: Her girdiyi değiştirmeden kendisine eşleyen özdeşlik fonksiyonu (İng: "identity function"), doğrudan yansıma ekseni olan y = x doğrusunu oluşturduğu için kendi tersine eşittir.^[1]
• Çarpmaya göre tersini alma fonksiyonu: Sıfır dışındaki gerçek sayılarda tanımlanan f(x) = 1/x fonksiyonu, bir sayının iki kez çarpmaya göre tersi alındığında f(f(x)) = 1/(1/x) = x eşitliği sağlandığından kendi tersidir.^[1]
• Sabitten çıkarma fonksiyonları: Herhangi bir c sabiti için f(x) = c-x kuralıyla verilen doğrusal fonksiyonlar, girdi ile çıktı yer değiştirdiğinde yine aynı denklemi verdiklerinden kendi terslerine eşittir.^[1]

Evrim Agaci, Own work

Karesel, Karekök ve Rasyonel Fonksiyonlar

Karesel, karekök ve rasyonel temel fonksiyon ailelerine geçildiğinde ise ters fonksiyonu bulmak, dört adımı yürütmekle bitmemektedir.^{[1], [3]} Bu ailelerde ters kuralın geçerli bir fonksiyon olabilmesi, doğru tanım kümesiyle birlikte tanımlanmasına bağlıdır.^{[1], [3]} Bire bir olmayan bir kuralın tanım kümesini fonksiyonun bire bir olacağı daha dar bir alt kümeye kısıtladığımızda, tersi bulunan yeni bir fonksiyon oluşturulmaktadır.^[3] Böylece normalde yatay doğru testini geçemeyen eğrilerin belirli kolları terslenebilir hale gelmektedir.^{[2], [3]}

Bir fonksiyonu bire bir yapacak şekilde tanım kümesini daraltmanın birden fazla yolu olabilir^[1] ve seçilen her kısıtlama da farklı bir ters fonksiyon formülü üretmektedir.^{[1], [3]} Peki bu durum bir fonksiyonun aynı anda birden fazla tersi olabileceği anlamına mı gelir?^[1] Hayır. Sabit tutulan tek bir tanım kümesi üzerinde fonksiyonun tersi, eğer varsa, her zaman tektir.^[1] Farklı kısıtlı kümelerin farklı tersler vermesi bu tekliği bozmamaktadır. Çünkü her küme seçimi aslında ayrı bir başlangıç fonksiyonu tanımlamaktadır.^{[1], [3]}

Kare Fonksiyonunda Dal Seçimi

Referans kare fonksiyonu olan f(x) = x², tüm gerçek sayılarda ele alındığında x²'de 9 çıktısının iki girdiden gelmesi nedeniyle bire bir değildir.^[1] Ancak kısıtlama yoluyla bu parabolün sağ veya sol kolundan biri seçilebilmektedir.^{[1], [2]} Tanım kümesi negatif olmayan gerçek sayılara, yani [0,∞) aralığına sınırlandığında fonksiyon bire bir olmakta, tersi de karekök fonksiyonu olan f⁻¹(x) = √x olarak bulunmaktadır.^[1] Öte yandan kısıtlama sadece pozitif tarafta yapılmak zorunda değildir^[2] çünkü aynı h(x) = x² kuralı (-∞,0] aralığında ele alındığında sol kol da bire birdir ve tersi h⁻¹(x) = -√x olmaktadır.^[2]

Şimdi yatay olarak ötelenmiş f(x) = (x-4)² fonksiyonunda doğru ters dalın nasıl seçildiğine bakalım.^[3] Fonksiyonu y = (x-4)² olarak yazıp değişkenleri değiştirdiğimizde x = (y-4)² denklemi çıkmakta^[3] ve her iki tarafın karekökünü aldığımızda ise ±√x = y-4 ve y = 4±√x ara ifadeleri ortaya çıkmaktadır.^[3] Dikkat edilirse y = 4±√x ifadesi her pozitif x girdisi için iki ayrı sonuç üretmektedir. Yani yazıldığı haliyle bir fonksiyon değildir.^[3] Doğru dalı belirlemek için başlangıçtaki tanım kümesi kısıtına bakmamız gerekmektedir.^[3]

Eğer f(x) = (x-4)² fonksiyonunun tanım kümesi x ≥ 4 koşuluyla kısıtlanmışsa, kümeler yer değiştirdiği için tersin çıktıları da en az 4 olmalıdır.^{[1], [3]} Çıktının 4 veya 4'ten büyük olabilmesi için artı dalı seçilmekte, tersi de f⁻¹(x) = 4+√x olarak yazılmaktadır.^[3] Buna karşılık aynı f(x) = (x-4)² kuralı başlangıçta x ≤ 4 koşuluyla ele alınmışsa, tersin çıktıları en fazla 4 olabilmekte^[3] ve dolayısıyla eksi dal kullanılmakta ve sonuç f⁻¹(x) = 4-√x olmaktadır.^[3]

Bu seçimin son örneği olan f(x) = (x-2)²-3 fonksiyonu hem yatay hem de düşey öteleme içermekte^[3] ve tepe noktası (2,-3) olan ve kolları yukarı doğru açılan bir parabol tanımlamaktadır.^[3] Bire birliği sağlamak için tepe noktasının sağ tarafına karşılık gelen x ≥ 2 kısıtını seçtiğimizi düşünelim.^[3] Denklemde y = (x-2)²-3 yazıp her iki tarafa 3 eklediğimizde y+3 = (x-2)² ara sonucu çıkmakta^[3] ve ardından karekök alıp x ≥ 2 kısıtına uygun olan pozitif dalı seçtiğimizde √(y+3) = x-2, buradan da x = 2+√(y+3) elde edilmektedir.^[3] Harfler yer değiştirince tersi f⁻¹(x) = 2+√(x+3) olmaktadır.^[3] Bu örnekte başlangıçtaki tanım kümesi ile tersin görüntü kümesi [2,∞) aralığı, başlangıçtaki görüntü kümesi ile tersin tanım kümesi ise [-3,∞) aralığıdır.^[3] Başlangıçta x ≤ 2 kısıtı seçilseydi tersi f⁻¹(x) = 2-√(x+3) olurdu.^[3]

Karekök Fonksiyonları

Karekök fonksiyonlarının tersini bulma süreci, kare alma işlemi nedeniyle bizi yeniden ikinci dereceden polinom ifadelerine götürmekte, ancak gerçek sayılarda negatif bir sayının karekökü alınamadığından karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekmektedir.^{[1], [3], [4]} Bu temel koşul hem karekök fonksiyonunun kendi kümelerini hem de tersinden elde edilen parabol parçasının sınırlarını doğrudan belirlemektedir.^{[1], [3], [4]} İlk örnek f(x) = √(x-4) olsun.^[3] Denklemi y = √(x-4) biçiminde yazıp değişkenleri değiştirdiğimizde x = √(y-4) eşitliği oluşmaktadır.^[3] İki tarafın karesini aldığımızda x² = y-4, her iki tarafa 4 eklediğimizde de x²+4 = y bulunmaktadır.^[3] Başlangıçtaki karekök fonksiyonunun çıktıları hiçbir zaman negatif olmamaktadır. Kümeler yer değiştirdiği için de tersi sadece x ≥ 0 değerleri için f⁻¹(x) = x²+4 olarak tanımlanmaktadır.^[3]

Karekök ifadesine dışarıdan bir sabit eklendiğinde bu sınırın nasıl değiştiğini görmek için f(x) = 2+√(x-4) fonksiyonunu çözelim.^[1] İlk olarak y = 2+√(x-4) denkleminde kareköklü terimi yalnız bırakmak için eşitliğin her iki yanından 2 çıkarılmakta ve y-2 = √(x-4) elde edilmektedir.^[1] İkinci adımda her iki tarafın karesi alınarak (y-2)² = x-4 ara denklemine geçilmekte^[1] ve üçüncü adımda ise her iki tarafa 4 eklendiğinde x değişkeni yalnız kalmakta ve x = (y-2)²+4 bulunmaktadır.^[1] Son adımda harfler değiştirilip ters fonksiyon sembolü yazıldığında f⁻¹(x) = (x-2)²+4 kuralına ulaşılmaktadır.^[1]

Evrim Agaci, Own work

Ortaya çıkan f⁻¹(x) = (x-2)²+4 formülü, tek başına bakıldığında tüm gerçek x sayıları için hesaplanabilir bir parabol denklemi gibi görünmektedir.^[1] Ne var ki bu hesaplanabilirlik kısıtı kaldırmamaktadır.^[1] Çünkü başlangıçtaki f(x) = 2+√(x-4) fonksiyonunda kök içindeki x-4 ifadesi negatif olamayacağından tanım kümesi [4,∞) aralığıdır.^{[1], [4]} Karekökten çıkan en küçük değer 0 olduğu ve buna 2 eklendiği için görüntü kümesi de [2,∞) aralığı olmaktadır.^[1] Dolayısıyla kümeler yer değiştirince f⁻¹(x) = (x-2)²+4 fonksiyonunun tanım kümesi mutlaka [2,∞) aralığına kısıtlanmalıdır.^[1]

Rasyonel Fonksiyonlar

Paydasında değişken barındıran rasyonel fonksiyonlarda küme kısıtları karekökten değil, sıfıra bölme yasağından doğmakta^[4] ve bu yüzden paydayı sıfıra götüren tüm girdiler dışarıda bırakılmaktadır.^[4] Kendi tersi olan fonksiyonlar arasında incelediğimiz f(x) = 1/x bu durumu en yalın haliyle göstermektedir.^{[1], [4]} Sıfıra bölme tanımlı olmadığından 0 sayısı f(x) = 1/x fonksiyonunun tanım kümesinden dışlanmaktadır.^[4] Ayrıca 1 sayısının herhangi bir sayıya bölünmesinden hiçbir zaman 0 sonucu elde edilemeyeceği için bu fonksiyonun görüntü kümesi de 0 değerini içermemektedir.^[4]

Pay ve paydası ötelenmiş f(x) = 2/(x-3)+4 fonksiyonunun tersini aynı adımlar ve ters sıra ilkesiyle bulalım.^[1] Önce fonksiyonu y = 2/(x-3)+4 biçiminde yazıp eşitliğin her iki yanından 4 çıkardığımızda y-4 = 2/(x-3) ara denklemine ulaşılmaktadır.^[1] Ardından her iki tarafı x-3 ile çarpıp y-4 ifadesine böldüğümüzde bölen ile bölüm yer değiştirmekte, böylece x-3 = 2/(y-4) eşitliği elde edilmektedir.^[1] Her iki tarafa 3 eklediğimizde ise x = 2/(y-4)+3 sonucu çıkmaktadır.^[1] Son adımda x ile y takas edildiğinde f⁻¹(x) = 2/(x-4)+3 sonucuna varılmaktadır.^[1]

Bu sonuçta dışlanan sayıların izi açıkça sürülebilmektedir.^[1] Başlangıçtaki f(x) = 2/(x-3)+4 kuralında x = 3 paydayı sıfırladığından tanım kümesinden 3 çıkarılmaktadır.^{[1], [4]} Kesirli kısım olan 2/(x-3) hiçbir zaman 0 değerini alamamaktadır. Bu nedenle kesre 4 eklendiğinde toplam çıktı hiçbir zaman 4 olamamakta ve görüntü kümesinden 4 çıkarılmaktadır.^{[1], [4]} Tersinde bu iki istisna yer değiştirmektedir.^[1] Nitekim f⁻¹(x) = 2/(x-4)+3 için 4 girdisi paydayı sıfırlamakta, 3 ise hiçbir zaman çıktı olarak elde edilememektedir.^{[1], [4]}

Sonuçtan Girdiye Gitmek: Gerçek Problemler

Gerçek yaşamdaki bazı problemlerde hedef sonuç bellidir ve ona ulaştıracak girdi aranmaktadır. Bu durumda her seferinde denklemi baştan çözmek yerine doğrudan ters fonksiyon kullanılmaktadır.^{[1], [3]} Girişte değindiğimiz sıcaklık dönüşümü bunun doğrusal bir örneğidir.^[1] Fahrenheit derecesini (F) Celsius derecesine (C) çeviren formül C = (5/9)(F-32) biçimindedir.^[1] İki taraf 9/5 ile çarpıldığında C·9/5 = F-32 elde edilmekte, buna 32 eklendiğinde ise Celsius'tan Fahrenheit'e dönüşümü veren ters formül F = (9/5)C+32 olarak bulunmaktadır.^[1]

Kimyasal karışım problemlerinde ise istenen derişimi elde etmek için rasyonel bir fonksiyonun tersine başvurulmaktadır.^[3] Örneğin %20 asit içeren 100 mL'lik bir çözeltiye, %40'lık asit çözeltisinden n mL eklendikten sonraki yeni asit derişimi C = (20+0,4n)/(100+n) fonksiyonuyla temsil edilmektedir.^[3] Burada eklenen miktardan derişimi bulmak yerine, hedeflenen bir C derişimi için kaç mililitre %40'lık çözelti eklenmesi gerektiğini veren ters bağıntıyı adım adım kuralım.^[3] Önce denklemin her iki yanını paydadaki 100+n ile çarparak C(100+n) = 20+0,4n eşitliğini yazalım.^[3]

Çarpma işlemini dağıttığımızda 100C+Cn = 20+0,4n olmaktadır. Terimleri n içerenler bir yanda, diğerleri karşı yanda kalacak biçimde topladığımızda ise 100C-20 = (0,4-C)n ara sonucu ortaya çıkmaktadır.^[3] Her iki taraf 0,4-C ifadesine bölündüğünde aranan miktarı derişim cinsinden veren ters bağıntı n = (100C-20)/(0,4-C) olarak elde edilmektedir.^[3] Rasyonel fonksiyonlardaki dışlama kuralı gereği paydadaki 0,4-C ifadesi sıfır olmamalıdır. Şimdi bu karışımın %35 asit derişimine ulaşmasını istediğimizi varsayalım ve ters formülde C = 0,35 değerini yerine koyalım.^[3] Hesaplama yapıldığında n = (100(0,35)-20)/(0,4-0,35) = (35-20)/0,05 = 15/0,05 = 300 sonucu bulunmaktadır.^[3] Böylece %35'lik derişimi yakalamak için başlangıçtaki çözeltiye %40'lık çözeltiden tam 300 mL eklenmesi gerektiği doğrudan belirlenmektedir.^[3]

Fiziksel ve geometrik problemlerde de kısıtlama ve küme değişimi ilkeleri modelin gerçekçi sınırlarını çizmektedir.^[3] Örneğin yüksekliği taban yarıçapının iki katına eşit olan koni biçimindeki bir çakıl yığınında, koninin hacmi (V) yarıçap (r) cinsinden V = (2/3)πr³ fonksiyonuyla verilmektedir.^[3] Gerçek bir yığında negatif yarıçap anlamsızdır. Bu nedenle başlangıçtaki fonksiyonun tanım kümesi r ≥ 0 olarak sınırlandırılmaktadır.^[3] Hacim de negatif değer alamayacağı için tersin tanım kümesi fiziksel olarak V ≥ 0 aralığı olmaktadır.^[3]

Yığının hacmi bilindiğinde taban yarıçapını bulmak için V = (2/3)πr³ denkleminde r değişkenini yalnız bırakalım.^[3] Eşitliğin her iki yanı 3 ile çarpılıp 2π değerine bölündüğünde r³ = 3V/(2π) ara ifadesi oluşmakta, her iki tarafın küpkökü alındığında ise ters bağıntı r = ∛(3V/(2π)) biçimini almaktadır.^[3] Hacmi 100 kübik fit olan bir çakıl yığını için π = 3,14 yaklaşık değeri kullanılarak bu ters fonksiyon çalıştırıldığında r = ∛((3·100)/(2·3,14)) ≈ ∛47,7707 ≈ 3,63 sonucu hesaplanmaktadır.^[3] Yani 100 kübik fitlik bu yığının taban yarıçapı yaklaşık 3,63 ft olmaktadır.^[3]

Bill Harrison, CC BY-SA 2.0

Sonuç

Özetle ters fonksiyon, bire bir olan bir kuralı sondan başa doğru işleten bağıntıdır. Denklemde girdiyi yalnız bırakıp harfleri değiştirerek bulunmaktadır.^{[1], [2]} Ancak cebirsel işlemlerden çıkan formül tek başına tersi tanımlamaya yetmemektedir^{[1], [3]} çünkü tersi sadece formül değil, formül ile tanım kümesi birlikte belirlemektedir.^{[1], [3]} Bu nedenle bir fonksiyonun tersini bulmak, aslında hangi girdiler arasında tek ve kayıpsız bir geri dönüşün mümkün olduğu sorusunu yanıtlamaktır.^{[1], [2], [3]}

Girişteki Fahrenheit ve Celsius dönüşümünde doğrusal kural her girdiyi benzersiz bir çıktıya götürmektedir. Dolayısıyla 75 Fahrenheit derecesinden yaklaşık 24 Celsius derecesine gidilebildiği gibi 26 Celsius derecesinden de yaklaşık 79 Fahrenheit derecesine dönülebilmektedir.^[1] Buna karşılık karesel, karekök ya da rasyonel ilişkilerde sonuçtan girdiye tek bir değerle dönebilmek, ancak kısıtlama ve küme değişimi kurallarının formülle birlikte korunmasıyla mümkün olmaktadır.^{[1], [3]} Kısacası tersin varlığı ve doğruluğu, cebirsel kural ile küme sınırlarının bütünlüğüne dayanmaktadır.^{[1], [3], [6]}