Öncelikle merhabalar. Soruda bahsettiğiniz denklem, Newton mekaniğinde enerjiyi göstermektedir. Eğer Newton mekaniğinde formülleri kanıtlamak istiyorsak kalkülüs matematiğine ihtiyaç duyarız. Aslında şunu demek istiyorum. Bir formülü, kuvvet sadece sabit olduğunda değil aynı zamanda kuvvet değişken olduğunda da doğrulamamız gerekmektedir. Şimdi hesaplamalara geçelim.
1) ön kabulü ile başlayalım. Çünkü denklemini bu ön kabul ile ispatlayacağım.
2) Aşağıya birtakım diferansiyel denklemleri fazla değinmeden yazacağım:
a) Yolun zamana göre türevi hızdır.
b) Hızın zamana göre türevi ivmedir.
c) Kuvvetin yola göre integrali enerjidir.
d) "a" ile "b" denklemini taraf tarafa böldüğümüzde denklemine ulaşırız.
e) "c" denkleminde yerine yazdığımızda denklemi oluşur.
f) "d" denkleminde elde ettiğimiz eşitliği "e" denklemine uygulayalım.
g) Artık çözülebilir 2 tane integral elde ettik. sonucuna ulaşmış olduk.
Bu yazıda enerji denklemini yalnızca bir boyuta göre ispatladım. Fakat denklemi üç boyuta genişlettiğimizde de aynı sonucu vermektedir. Unutmayalım ki bu hesaplar sadece Newton mekaniği için geçerlidir ve "zaman" tüm parametrelerden bağımsız olarak ele alınmıştır.