Her fonksiyonun tersi var mıdır?

Hayır, her fonksiyonun tersi yoktur.^[1] Ters fonksiyon (İng: "inverse function"), başlangıçtaki fonksiyonun girdisini kendi çıktısına ve çıktısını kendi girdisine dönüştürmektedir.^[1] Ancak ters ilişkinin de her girdiyi tam olarak bir çıktıya eşlemesi gerekmektedir.^[2] Bu koşulu sadece bire bir fonksiyonlar sağlamaktadır.^[1][2] Bire bir fonksiyonda farklı girdiler farklı çıktılar üretir (x₁ ≠ x₂ iken f(x₁) ≠ f(x₂)) ve yatay doğrular grafiği en fazla bir noktada kesmektedir.^[2] Örneğin y = 4x ve f(x) = 3x-4 doğrusal fonksiyonları (-∞,∞) aralığında bire birdir, tersleri de sırasıyla y = (1/4)x ve f⁻¹(x) = (1/3)x+4/3 olmaktadır.^[1][2]

Karesel f(x) = x² temel fonksiyonu ise bire bir değildir.^[1] Çünkü 9 çıktısı hem 3 hem -3 girdisinden gelir ve ters yönde aynı girdiye iki çıktı düşmesi fonksiyon olmayı engellemektedir.^[1] Bire bir olmayan bir fonksiyonun tanım kümesi kısıtlandığında tersi bulunan yeni bir fonksiyon elde edilmektedir.^[3] Böylece [0,∞) aralığında f(x) = x² fonksiyonunun tersi karekök fonksiyonudur.^[1] Aynı kural (-∞,0] üzerinde -√x tersini verirken, türetilmiş f(x) = (x-2)²-3 parabolü de x ≥ 2 kısıtıyla [-3,∞) kümesinde f⁻¹(x) = 2+√(x+3) tersini (x ≤ 2 kısıtında 2-√(x+3) dalını) vermektedir.^[2][3]

Bir fonksiyon ile tersinde tanım ve görüntü kümeleri karşılıklı yer değiştirmektedir.^[1] Başlangıçta [4,∞) tanım ve [2,∞) görüntü kümesine sahip f(x) = 2+√(x-4) karekök fonksiyonunun tersi f⁻¹(x) = (x-2)²+4 bulunur, fakat bu karesel kural sadece [2,∞) tanım kümesinde geçerlidir.^[1] Rasyonel fonksiyonlarda ise payda sıfır olamamaktadır.^[4] Dolayısıyla sıfırı tanım kümesinden dışlayan ve kendi tersine eşit olan f(x) = 1/x fonksiyonundan türetilen f(x) = 2/(x-3)+4 kuralında, dışlanan 3 ve 4 değerleri f⁻¹(x) = 2/(x-4)+3 tersinde yer değiştirmektedir.^[1][4] Gösterimdeki f⁻¹(x) yazılışında yer alan -1 bir üs değildir ve çarpmaya göre ters olan 1/f(x) anlamına gelmemektedir.^[1]

Konunun ayrıntılarını Ters Fonksiyon yazımızda bulabilirsiniz.