kök içindeki sayıları dışarı çıkarmak için neden formül yok?

Formülü var. Kök dışına çıkarmak istediğin sayıyı asal sayılara bölersin sırayla. Yani 2,3,5,7,11... Önce 2'ye bölersin, bölünmüyorsa 3'ü denersin.. gibi...

Ardından böldüğün sayıları not et. 2 defa böldüğün sayıları bir biriyle çarparsan karekökünü elde edersin. Veya küp kökünü bulmak istersen 3 defa çarptığın sayıları birbiriyle çarparsın. Eğer gerçekten karekökü tam sayıysa sadece 2 defa çarptığın sayılar göreceksin.

36 sayısı 6'nın karesi. (36/2=18, 18/2=9, 9/3=3, 3/3=1) 36 sayısı 2 defa 2 ye bölünür, 2 defa 3'e. 2x3=6 (karekökü yani)

Veya 64 sayısı 2 sayısının 6 defa birbiriyle çarpımına eşit. 2x2x2x2x2x2 6 sayı var 6'yı 2ye bölersen 3. Yani 3 tane 2x2 var. 2x2=4 ve 64'ün 4³ olduğunu anlayabiliriz. Veya 6 tane 2 var o zaman 64 için 2⁶ diyebiliriz. Hadi 6'yı bi de 2'ye bölelim. 2x2x2 oldu dimi. Bu da 8 eder. Yani 8² olduğunu anlıyoruz.

Üslü sayı olarak yazıldığında formülize etmek gerekmeyecektir. Kök işareti gösterimi kolaylaştırmak için kullanılan bir sembol. Bu ve buna benzer gösterimleri Matematik Sembollerinin Kısa Tarihi - Joseph Mazur kitabında tarihsel olarak nasıl yerleştiği anlatılıyor. Kare işlemi sembolik bir gösterim, yazımı ve işlemi kolaylaştırmak için kullanılır. (Kısıtlı bilgim ve düz mantık yoluyla verdiğim bir cevaptır.)

@Ünal Canlı örnekler üzerinden güzelce açıklamış aslında. Genel bir formülle ifade etmek istersek karekök içinde n doğal sayısı olsun. Aritmetiğin temel teoremine göre n pozitif doğal sayısını sonlu tane asal sayının çarpımı olarak sıralama hariç tek bir şekilde yazabiliriz. p_i'ler asal, a_i'ler doğal sayı olmak üzere n=p₁^a1p₂^a2...p_k^ak olsun.

Bu durumda karekök(n)=p₁^(a1)/2p₂^(a2)/2p₃^(a3)/2....p_k^(ak)/2 olur. Bu da reel sayılarda karekök alma işleminin 1/2. kuvvet almaya karşılık gelmesi, bir çarpımın kuvvetini almanın tek tek çarpımdaki terimlerin kuvvetini alıp bu terimleri çarpmaya eşit olması ve iki defa üst üste kuvvet almanın, kuvvetleri çarpıp tek bir defa kuvvet almak ile eşit olmasından geliyor. Bu son yazdıklarım hepsi tek tek göstermek gerek aslında.

Bir yandan da karekök(n) demek, acaba hangi uzunluktaki bir doğru parçasından kare yaparsak alanı n olur demek. Karenin alanını bir kenar uzunluğunun kendisi ile çarpımı olarak tanımlıyoruz, yani karekök(n) dediğimizde öyle bir a pozitif sayısı ki a.a=n olsun diyoruz. Siz mesela karekök(4)'ten bahsetmişsiniz ve ezberlendiğini söylemişsiniz. 4 sayısını ne olarak tanımladık ki? Mesela 4 sayısına bir tanım olarak 2.2 verilemez mi?

Aslında kök içindeki sayıları kök dışına çıkaran bir formül üretebiliriz. Ancak kök içindeki sayıları kök dışına çıkarmak zaten çok kolay.

Örneğin 4 sayısını kök dışına çıkaran formül şudur:

n² = 4

bu formülde n sayısını bulursak kök dördün dışarı çıktığı zaman 2 ettiğini de buluruz. Zaten bu formül bize öğretilmemesine rağmen aslında kök içindeki sayıları kök dışına kafadan bu formülü çözerek çıkartıyoruz. Ancak 4 sayısının kök dışına çıktığında 2 olduğunu hepimiz çok iyi bildiğimiz için artık ezberden de söyleyebiliyoruz.

Yukarıda verdiğim formül sadece 4 sayısını kök dışına çıkaran formüldür. Yani formüldeki 4 sayısı değişkendir. Eğer 100 sayısını kök dışına çıkarmak isteseydik aşağıdaki formülü kullanacaktık.

n²= 100

Yani bu formül değişkendir. Değişken olmayan bir formül istiyorsak da şöyle diyebiliriz:

n²= x

tahmin edebileceğiniz gibi formüldeki x dışarı çıkarmak istediğimiz sayıyı temsil ederken n ise sayının kök içinden çıkmış halini temsil ediyor. Eğer n sayısını bulabilirsek cevabı da buluruz.