Ebob ve Ekok Nedir? Nasıl Hesaplanır?

En büyük ortak bölen (EBOB) ve en küçük ortak kat (EKOK), iki ya da daha fazla tam sayının ortak ölçüsünü ve ortak buluşma noktasını veren temel sayı teorisi kavramlarıdır. Birincisi sayıların hepsini kalansız bölen en geniş ölçüyü, ikincisi hepsine kalansız bölünen en küçük pozitif sayıyı göstermektedir.

Gündelik yaşamda 570 santimetre eninde ve 450 santimetre boyundaki bir zemini hiç karo kesmeden kaplamak istediğimizde EBOB devreye girmektedir. 6 ile 10 günde bir tekrarlanan iki nöbetin kaç gün sonra çakışacağı sorusunda ise EKOK gerekmektedir. Ancak 59 ve 61 gibi sayılarda ilk ortak noktaya ulaşmak, 61 ve 59 adımlık listeler yazmayı gerektirmektedir. Bu nedenle sayıların asal çarpan yapısını bilmek büyük kolaylık sağlamaktadır.

Bölen ve kat yapısından asal çarpanlara ayrılışın tekilliğine uzanan bu temel, bölen sayısını tek bir formülle hesaplamayı mümkün kılmaktadır. Aynı temelin üzerinde ortak bölme tablosu, üs karşılaştırma kuralları ve ardışık kalanlara dayalı bir algoritma yükselmektedir. Bu araçlar ayrıca çarpım özdeşliğini, sıfırın yarattığı sınır durumlarını ve su kapları aktarımındaki değişmezliği de açıklamaktadır.

Doğal Sayılarda Bölen Kat İlişkisi

Pozitif tam sayılar arasındaki en temel aritmetik bağ, bir sayının diğerini kalansız bölüp bölmediği sorusuyla kurulmaktadır. Hiçbir kalan bırakmadan sayısını bölen pozitif tam sayıya, bu sayının böleni veya çarpanı (İng: "factor" veya "divisor") denmektedir. Kalanın sıfır olması, bölünen sayının eşit büyüklükteki gruplara eksiksiz ayrılabildiğini göstermektedir. Dolayısıyla bölen, bir bütünün parçalanmadan hangi tam birimlerle ölçülebileceğini belirleyen ayrık bir ölçüttür. Bölünebilme ilişkisi ile bölmenin ürettiği kesir birbirinden kesin sınırlarla ayrılmaktadır. yazılışı, sayısının sayısını kalansız böldüğünü ileri süren bir önermedir.⁠^[10] Oysa yazılışı doğruluk değeri taşımamakta, bir kesri (İng: "fraction"), yani sayısal bir niceliği göstermektedir. Bu nedenle iki gösterim birbirinin yerine kullanılmamaktadır.

Bir sayısının bölenleri ikişerli gruplar halinde ortaya çıkmaktadır. sayısı sayısını kalansız böldüğünde bölüm olan de sayısını kalansız bölmektedir. Böylece her böleni, çarpımları sayısını veren tamamlayıcı bir böleniyle eşleşmektedir:

Bu çarpan çifti (İng: "factor pair") yapısı sayesinde küçük bir bölen bulunduğunda büyük eşi de aynı anda belirlenmektedir. Bölenin ters yönünde katlar (İng: "multiple") yer almaktadır. Bir sayısının pozitif katı, ile başka bir pozitif tam sayının çarpımıdır. Pozitif bölenler sayının kendisini aşamadığından sonlu bir küme oluşturmaktadır. Buna karşın bir sayıyı 1, 2, 3 ve devamındaki sayma sayılarıyla çarpmanın durma kuralı yoktur. Çünkü sayma sayıları sınırsızca büyüdüğünden her pozitif tam sayının sonsuz sayıda pozitif katı mevcuttur.

Denis Mihailov, CC BY 2.0

Asal Çarpanlara Ayırma Teknikleri

Sayılar pozitif bölenlerinin adedine göre sınıflandırıldığında 1 ayrı bir konumda durmaktadır. Çünkü 1 sayısının tek pozitif böleni kendisidir. Asal sayılar (İng: "prime numbers") tam iki pozitif bölene, bileşik sayılar (İng: "composite numbers") ise ikiden fazla pozitif bölene sahiptir. Bu durumda 1 ne asal ne de bileşik sayıdır. Birden büyük bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma (İng: "prime factorization"), onu asal sayıların çarpımı olarak yazmaktır.⁠^[2] Aritmetiğin temel teoremi (İng: "fundamental theorem of arithmetic") uyarınca 1'den büyük her pozitif tam sayı, asal çarpanların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılmaktadır. Bileşik bir sayı ilk adımda farklı çarpan çiftleriyle yazılabilse de çarpanlar parçalanmaya devam ettikçe ulaşılan yapıtaşları değişmemektedir. Çarpanların sırası ise değiştirilebilmektedir. Yine de küçükten büyüğe sıralandığında ayrılış her sayı için tekildir.

Görsel yollardan ilki çarpan ağacı (İng: "factor tree") yöntemidir. Sayıdan 1 dışındaki herhangi bir çarpan çiftiyle iki dal uzatılmakta, ucu asal olan dal tamamlanmış sayılıp daire içine alınmaktadır. Bileşik uçlar yeniden çarpan çiftine ayrılmakta, işlem bütün uçlar asal olana dek sürmektedir. Daire içindeki uçlar çarpıldığında ayrılış ortaya çıkmaktadır. Aynı sonuca bölme merdiveni (İng: "ladder method") de götürmektedir. Rastgele bir çarpan çifti yerine sayı, kendisini bölen en küçük asala bölünmekte, bölüm aynı asala bölünebildiği sürece işlem tekrarlanmaktadır. Asala tam bölünme bittiğinde sıradaki asala geçilmekte ve bölüm 1 olana dek basamaklar sürmektedir.

Bir asal ayrılışta birden çok kez çıkarsa üslü biçimde (İng: "exponential form") yazılmaktadır. Tabana asalın kendisi, üsse ise çarpımda kaç kez tekrarlandığı yazılmaktadır. Böylece her bileşik sayı, asal tabanların kuvvetlerinin çarpımı haline gelmektedir.

Asal Çarpanlardan Pozitif Bölen Sayısı

Üslü ayrılış, sayının kendisini olduğu kadar bölenlerinin iç yapısını da belirlemektedir. Pozitif bir tam sayısı birbirinden farklı asallarının kuvvetleriyle şeklinde yazıldığında, onu bölen herhangi bir sayısı dışarıdan yeni bir asal içerememektedir. Çünkü ile tamamlayıcı böleninin çarpımı sayısını verdiğinden de aynı asal tabanlardan oluşmak zorundadır. Her pozitif böleni, sayısının asal çarpanlarındaki üslerin sınırlar içinde değiştirilmesiyle kurulmaktadır:

Her üssü, sıfırdan değerine kadar olan tam sayılardan () seçilmektedir. Üssün 0 seçilmesi, ilgili asalın bölende yer almaması demektir. Çünkü her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir. Tüm üsler 0 olduğunda her sayının en küçük pozitif böleni olan 1, tümü olduğunda ise sayının kendisi elde edilmektedir. Bu seçim kuralı, bölenleri tek tek listelemeden sayısını doğrudan saymaya olanak tanımaktadır. Birinci asalın üssü için 1'den 'e kadar tane pozitif değer ve ek olarak 0 bulunmaktadır, yani tam olarak seçenek vardır. Benzer şekilde ikinci asal için , 'inci asal için seçenek ortaya çıkmaktadır.

Üs seçimleri birbirinden bağımsız olduğundan seçenekler çarpılmaktadır. Böylece sayısının pozitif bölen sayısını veren fonksiyonu şu formülle hesaplanmaktadır:

Formüldeki simgesi, her üssünün 1 fazlasının birbiriyle çarpılacağını göstermektedir.⁠^[9] Sonuç listeyle de sınanabilmektedir. Örneğin 126 sayısının bölenleri çarpan çiftleriyle yazıldığında 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63 ve 126 olmak üzere tam 12 değer çıkmaktadır.⁠^[4] 60'ın bölen listesi ise 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60 sayılarından oluşmaktadır. Aşağıdaki örnek, aynı sonuca listeleme yapmadan ulaşmaktadır.

Evrim Ağacı

Çözümlü örnek 1: 60 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?

Verilenler: Doğal sayı 60'tır.

İstenen: Asal çarpan üsleriyle değeri.

1. adım: Bölme merdiveniyle 60 en küçük asaldan başlanarak ayrılmakta ve tekrarlanan çarpanlar üslü yazılmaktadır:

2. adım: Formül uyarınca her üsse 1 eklenmektedir:

3. adım: Seçenek sayıları çarpılarak bölen adedi bulunmaktadır:

Sonuç: 60 sayısının tam olarak 12 tane pozitif tam sayı böleni bulunmaktadır.

Ebob ve Ekok Nedir?

Tek bir sayıdan, iki ya da daha fazla sayının birlikte incelenmesine geçildiğinde bölen ve kat kümelerinin kesişimi yeni sorular doğurmaktadır. Sayıların her birini aynı anda kalansız bölen sayılara ortak bölenler (İng: "common divisors") denmektedir. Pozitif sayılarda ortak bölenler sonlu bir küme oluşturduğundan en büyüğünü seçmek mümkündür. Verilen sayıların ortak bölenlerinin en büyüğüne en büyük ortak bölen (EBOB) adı verilmektedir ve bu kavram İngilizce kaynaklarda "greatest common divisor" (GCD) veya "greatest common factor" (GCF) terimleriyle yer almaktadır.⁠^[1]

Katlarda ise her listede birden beliren sayılara ortak katlar (İng: "common multiples") denmektedir. Ortak katların pozitif olanlarının en küçüğü, en küçük ortak kat (EKOK, İng: "least common multiple", kısaca LCM) adını almaktadır. Buradaki "pozitif" koşulu temel bir sınırdır. Çünkü sıfır her sayının sıfır katı olsa da EKOK tanımına dahil edilmemektedir.

Bölenlerde en büyük, katlarda en küçük değerin aranması iki kümenin sınır yapısından kaynaklanmaktadır. "En küçük ortak bölen" (İng: "least common factor") terimi bilgi vermemektedir. Çünkü 1 sayısı bütün pozitif sayıları kalansız böldüğünden en küçük pozitif ortak bölen her zaman 1'dir. Tam tersine "en büyük ortak kat" (İng: "greatest common multiple") diye bir son değer de yoktur. Bir ortak katın 2 katı, 3 katı ve sonraki tüm tam katları da ortak kat olmayı sürdürmektedir. Bu nedenle ortak katlarda anlamlı tek sınır, pozitif bölgedeki ilk buluşma noktasıdır. Dolayısıyla iki kavramın adlarındaki "en büyük" ve "en küçük" sıfatları, kümelerin hangi uçta sınırlı olduğunu yansıtmaktadır.

Ortak Bölenlerin En Büyüğü

Ortak bölen kavramı tüm tam sayılara genişletildiğinde her pozitif ortak bölenin negatif karşılığı da kümeye girmektedir. Örneğin 18 ile 30 sayılarının ortak bölenleri kümesini oluşturmaktadır.⁠^[11] Negatifler pozitiflerden küçük olduğundan kümenin en büyük elemanı 6'dır ve eşitliği geçerlidir. Negatif işaret kalansız bölünebilmeyi değiştirmediğinden, hesapta işaretler yerine mutlak değerler kullanılabilmektedir:

Ayrıca ortak bölenler kümesi iki sayının bölen kümelerinin kesişimi olduğundan, yazılış sırası sonucu etkilememektedir. Başka bir deyişle her ve çifti için simetrisi geçerlidir. Pozitif iki sayının EBOB değeri pozitiftir ve yukarıdan sınırlıdır. Bir sayıyı bölen hiçbir tam sayı bölünen sayının kendisinden büyük olamayacağından ortak bölen de küçük sayıyı aşamamaktadır. Dolayısıyla pozitif ve için olmaktadır. Üst sınıra hangi koşulda ulaşıldığı bölünebilme kontrolüyle anlaşılmaktadır. Küçük sayı büyük olanı kalansız bölüyorsa kendisini de böldüğünden ortak bölendir.⁠^[14] Kendisinden büyük bir böleni bulunmadığı için bu durumda küçük sayı doğrudan EBOB olmaktadır. Tersine küçük sayı büyük olanı bölmüyorsa EBOB, küçük sayıdan da küçük kalmaktadır. Böyle bir durumda hangi ortak bölenin en büyük olduğu, çarpan yapılarının karşılaştırılmasıyla belirlenmektedir.

Ortak Katların En Küçüğü

İki sayının pozitif katları ayrı ayrı sıralandığında listelerin kesiştiği ilk pozitif değer EKOK'tur. Ortak katlar ise bu değerden sonra da düzenli biçimde sonsuza dek sürmektedir. Örneğin 15 ve 20 için iki listede de görünen en küçük sayı 60 olduğundan bulunmaktadır. Listeler uzatıldığında 120 de ortak kat olarak görülmektedir. Ancak daha küçük bir ortak kat olan 60 bulunduğundan 120 en küçük ortak kat sayılmamaktadır. EKOK'un her iki sayıdan da büyük olması gerekmemektedir. Sayılar birbirinin tam katıysa yeni bir sayı üretilmemektedir. Nitekim 50 ile 100 için 100, 50'nin iki katı ve kendisinin bir katı olduğundan çıkmaktadır. Başka bir deyişle büyük sayı küçüğün tam katıysa büyük sayının kendisi EKOK olmaktadır.

En uç durumda bir sayısının kendisiyle EKOK'u aranmaktadır. Pozitif katlar biçiminde başladığından iki özdeş listenin ilk ortak elemanı olmaktadır. Bu durum şu özdeşlikle ifade edilmektedir:

Böylece EBOB üst sınırını küçük sayıdan, EKOK alt sınırını büyük sayıdan almaktadır. Aslında iki kavram aynı sayı çiftine ters yönlerden bakmaktadır. Biri sayıları bölerek küçülen ölçüyü, diğeri sayıları katlayarak büyüyen ortak noktayı aramaktadır. Sayılardan biri diğerini bölüyorsa EBOB küçük sayıya, EKOK büyük sayıya eşit olmaktadır. Sayılar eşitse ikisi de sayının kendisiyle çakışmaktadır.

Temel Hesaplama Yöntemleri ve Algoritmalar

Tanımları doğrudan uygulayan en yalın yol, bölenleri veya katları listelemektir. Bölen listelemede her sayının bütün bölenleri yazılmakta ve ortak olanların en büyüğü seçilmektedir. Örneğin 1.400 ile 250 için iki listede birden yer alan en büyük sayı 50'dir. Kat listelemede ise pozitif katlar sırayla yazılmakta, ortak bir değer belirene dek listeler uzatılmakta ve ilk ortak pozitif sayı EKOK alınmaktadır. Sayılardan biri çok büyükse iki sayının da bütün bölenlerini yazmak gereksizdir. Çünkü ortak bölen küçük sayının bölenlerinden biri olmak zorundadır. Bu durumda için 732'nin bölenlerini yazmak yerine 48'in bölenlerini yazıp hangilerinin 732'yi kalansız böldüğünü denetlemek yeterlidir.

Buna karşın sayılar büyüdüğünde veya ortak çarpan bulunmadığında listeleme işlevini yitirmektedir. Özellikle kat listelemede ilk ortak kat, sayıların çarpımı kadar uzakta olabilmektedir. Nitekim 59 ve 61 sayılarının EKOK'unu listeyle arayan birinin 59'un 61 katını ve 61'in 59 katını yazması gerekmektedir.⁠^[5] Bu büyüme, sayıların iç yapısını kullanan yöntemlere ihtiyaç doğurmaktadır. Listeleme küçük sayılarda hızlı sonuç vermekte ve kavramın sezgisel olarak kavranmasına yardım etmektedir.

Evrim Ağacı

Asal Çarpan Kuvvetleriyle Hesaplama

Sayıları çarpan ağacı veya bölme merdiveniyle asal çarpanlara ayırmak, listeleme zorunluluğunu ortadan kaldırmaktadır. EBOB için iki ayrılış karşılaştırılmakta ve her iki sayıda bulunan çarpanların her tekrarı bire bir eşleştirilmektedir. Örneğin 24 ile 36'nın ayrılışlarında ikişer tane 2 ile birer tane 3 ortaktır. Bu ortak çarpanlar çarpıldığında 12 elde edilmekte, bulunan değer EBOB olarak alınmaktadır.⁠^[3] Üslü yazılışta eşleştirme dört adımlık bir kurala dönüşmektedir. Önce üslü ayrılışlar bulunmakta, ardından sadece bütün ayrılışlarda yer alan ortak asal çarpanlar (İng: "common prime factors") seçilmektedir. Üçüncü adımda her ortak asalın en küçük üssü belirlenmekte, dördüncü adımda bu kuvvetler çarpılmaktadır. Çünkü ortak bölen tüm sayıları bölmek zorundadır. Bu yüzden içindeki hiçbir asalın kuvveti, aynı asalın herhangi bir sayıdaki kuvvetini aşamamaktadır.

Kuralı tek formülle göstermek için sadece bir sayıda bulunan asal, diğerine 0 üssüyle eklenmektedir. Böylece ve aynı taban listesiyle yazıldığında EBOB, her asalın en küçük üssünü seçmektedir:

Buradaki min ifadesi iki üsten küçüğünü seçmektedir.⁠^[6] EKOK'ta ise ölçüt tersine dönmektedir. Ortak kat her sayıyı içermek zorunda olduğundan sadece ortak asallar değil, herhangi bir ayrılışta bulunan bütün asallar hesaba katılmaktadır. Her birinin en büyük üssü alınmakta ve kuvvetler çarpılmaktadır:

EKOK formülünde her asalın en büyük üssü seçilmektedir.⁠^[7] Bu yolla 24 ile 90 sayılarında 2, 3 ve 5 asallarının en büyük kuvvetleri alındığında EKOK 360 bulunmaktadır. Yöntem ikiden fazla sayıya da değişiklik gerektirmeden uygulanmaktadır. Nitekim 15, 18 ve 20 sayılarının ayrılışlarındaki tüm asalların en yüksek kuvvetleri çarpıldığında EKOK 180 olmaktadır.

Çözümlü örnek 2: 12 ile 30 sayılarının EBOB ve EKOK değerleri kaçtır?

Verilenler: Sayılar 12 ve 30'dur.

İstenen: Üs karşılaştırmasıyla iki değerin bulunması.

1. adım: İki sayı 2, 3 ve 5 tabanlarıyla yazılmakta ve 12'de olmayan 5 için üs 0 alınmaktadır:

2. adım: EBOB için her tabanın küçük üssü seçilmektedir:

3. adım: EKOK için ise büyük üsler seçilmektedir:

Sonuç: 12 ile 30 sayılarının en büyük ortak böleni 6, en küçük ortak katı ise 60'tır.

Çözümlü örnek 3: 1.400 ile 250 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?

Verilenler: Sayılar 1.400 ve 250'dir.

İstenen: En küçük kuvvetler yöntemiyle .

1. adım: 1.400 ile 250 sayılarının üslü ayrılışları yan yana yazılmaktadır:

2. adım: Ayrılışlarda ortak olan 2 ve 5 tabanları için en küçük üs seçilmektedir:

3. adım: Seçilen kuvvetler çarpılınca sonuç ortaya çıkmaktadır:

Sonuç: 1.400 ile 250 sayılarının en büyük ortak böleni 50'dir.

Ortak Bölme Tablosu Tekniği

İki sayının hem EBOB hem EKOK değerini ayrı asal listeleri kurmadan tek şemadan veren düzenek, ortak bölme tablosudur (İng: "slide method"). Sayılar yan yana yazılmakta, ikisini de bölen 1'den büyük bir çarpan sola yazılmakta ve bölümler sayıların altına geçirilmektedir. Alt satırın yine ortak çarpanı varsa işlem bir basamak daha sürmekte, 1 dışında ortak çarpan kalmayınca durmaktadır. Böylece ortak çarpanlar sol sütunda, paylaşılmayan çarpanlar ise en alt satırda toplanmış olmaktadır. Başka bir deyişle tablo, asal ayrılışların karşılaştırılmasıyla yapılan ortak çarpan seçimini tek bir şemada birleştirmektedir.

Sonuçlar tablonun kenarlarından okunmaktadır. Soldaki çarpanların çarpımı EBOB'u vermektedir.⁠^[4] Bu değer alttaki son bölümlerle çarpıldığında EKOK çıkmaktadır, çünkü alttaki bölümler ortak kısım dışındaki fazlalık çarpanları eksiksiz temsil etmektedir.

Çözümlü örnek 4: Ortak bölme tablosuyla 126 ve 60 sayılarının EBOB ve EKOK değerleri nasıl bulunur?

Verilenler: Tabloya yazılacak sayılar 126 ve 60'tır.

İstenen: Soldaki çarpanlardan EBOB, alttaki bölümlerden EKOK.

1. adım: İki sayı da 2'ye kalansız bölündüğünden 2 sola yazılmakta ve bölümler alt satıra geçmektedir:

2. adım: 63 ile 30 da 3'e kalansız bölündüğünden 3 sola eklenmektedir:

3. adım: 21 ile 10'un 1'den büyük ortak çarpanı kalmadığından soldaki çarpanların çarpımı EBOB olmaktadır:

4. adım: Bu değer alttaki bölümlerle çarpılınca EKOK bulunmaktadır:

Sonuç: 126 ile 60 sayılarının en büyük ortak böleni 6, en küçük ortak katı ise 1.260'tır.

Aynı yöntem 140 ve 150'ye uygulandığında soldaki çarpanlar 2 ve 5, alttaki bölümler ise 14 ve 15 olmakta, EBOB 10 ve EKOK 2.100 çıkmaktadır.

Öklid Algoritmasıyla Kalanlı Bölme

Çok basamaklı sayılarda asal çarpanları bulmak zahmetli olabilmektedir. Öklid algoritması (İng: "Euclidean algorithm"), asal çarpanlara ayırmadan sadece ardışık kalanlı bölmelerle EBOB'u hesaplayan bir yöntemdir.⁠^[8] Dayanağı, iki sayının ortak bölenlerinin bu sayıların birbirine bölümünden kalanı da bölmek zorunda olmasıdır. Önce büyük sayı küçüğe bölünüp kalan kaydedilmektedir. Kalan sıfır değilse önceki bölen yeni bölünen (İng: "dividend"), önceki kalan ise yeni bölen yerine geçmektedir.⁠^[12] Kalanlar her adımda bölenden küçük kaldığından dizi küçülmekte ve sonlu adımda sıfıra ulaşmaktadır. Üstelik her adımda ortak bölenler kümesi değişmediğinden ilk çiftin EBOB değeri, son çiftin EBOB değerine eşit kalmaktadır. Dolayısıyla kalan sıfır olduğunda bölen konumundaki sayı hem önceki sayıyı hem de ilk iki sayıyı bölmektedir.

Sıfırdan hemen önceki, yani sıfır olmayan son kalan (İng: "last non-zero remainder") EBOB'dur. Örneğin 42 ve 30'a uygulanan bölmeler 42, 30, 12, 6, 0 dizisini üretmekte, sıfırdan önceki kalan 6 olduğundan bulunmaktadır.

Andre Thevet, 1584, Kamu malı

Çözümlü örnek 5: Öklid algoritmasıyla 60 ve 42 sayılarının en büyük ortak böleni nasıl bulunur?

Verilenler: Pozitif tam sayılar 60 ve 42'dir.

İstenen: Son sıfırdan farklı kalan üzerinden .

1. adım: Büyük sayı küçüğe bölünüp bölüm ile kalan yazılmaktadır:

2. adım: Kalan sıfır olmadığından 42 yeni bölünen, 18 yeni bölen olmakta ve işlem yinelenmektedir:

3. adım: Kalan yine sıfır olmadığından 18 bölünen, 6 bölen yerine geçmektedir:

Sonuç: Kalan sıfıra ulaştığında son sıfırdan farklı kalan 6 olduğu için bulunmaktadır.

Çarpım Özdeşliği ve Cebirsel Bağıntılar

İki sayının kendileri ile EBOB ve EKOK değerleri arasında, dört büyüklüğü tek denklemde bağlayan bir özdeşlik bulunmaktadır. Asal çarpan hesabında her asalın küçük üssü EBOB'a, büyük üssü EKOK'a gitmektedir. Dolayısıyla EBOB ve EKOK çarpıldığında her asalın iki üssü de çarpıma eksiksiz katılmaktadır. Böylece ve sayılarının çarpımı, EBOB ve EKOK çarpımına eşit olmaktadır.⁠^[5] Bu bağıntı şu biçimde yazılmaktadır:

Çözümlü örnek 6: 15 ve 18 sayıları çarpım bağıntısını sağlamakta mıdır?

Verilenler: Sayılar 15 ve 18'dir, EBOB değeri 3 ve EKOK değeri 90'dır.

İstenen: İki çarpımın karşılaştırılması.

1. adım: İlk olarak sayıların kendi çarpımı bulunmaktadır:

2. adım: Sonra EBOB ile EKOK değerleri çarpılmaktadır:

Sonuç: İki çarpım da 270 olduğundan bağıntı sağlanmaktadır.

Çarpım sabit tutulduğunda EBOB büyüdükçe EKOK küçülmektedir. Öte yandan özdeşlik, EBOB bilindiğinde asal çarpanlara ayırmadan EKOK'u bulmayı sağlamaktadır. Çünkü çarpım EBOB'a bölündüğünde ortak asalların fazladan kopyaları sadeleşmekte, geriye EKOK kalmaktadır. Örneğin EBOB'u 6 olan 24 ve 30'un çarpımı 6'ya bölündüğünde EKOK olan 120 tek adımda bulunmaktadır. Böylece bağıntı, hesapta bir kontrol aracı olarak da işlev görmektedir. Hesaplanan EBOB ile EKOK'un çarpımı sayıların çarpımına eşit çıkmıyorsa bir yerde hata yapılmış demektir. Özdeşlik, iki sayıdan biri gizlendiğinde bilinmeyeni bulmak için de kullanılmaktadır. EBOB ile EKOK'un çarpımı bilinen sayıya bölünerek diğeri elde edilmektedir. Nitekim 165 ile bilinmeyen bir için ve verildiğinde, şu kesirle bulunmaktadır:

Bağıntı ayrıca iki sayının bütün pozitif ortak katlarının genel biçimini de tanımlamaktadır. EKOK, kesrine eşit olduğundan herhangi bir pozitif ortak kat , bir pozitif tam sayısı için biçiminde yazılmaktadır.⁠^[7]

Aralarında Asal Sayıların Özellikleri

olduğunda, yani iki sayının 1 dışında pozitif ortak böleni bulunmadığında sayılara aralarında asal (İng: "relatively prime" veya "coprime") denmektedir. Örneğin olduğundan 144 ve 55 aralarında asaldır.⁠^[8] Aritmetiğin temel teoremi açısından bu eşitlik, ayrılışlarda hiçbir ortak asal çarpan bulunmadığı anlamına gelmektedir.⁠^[12] Ortak asal çarpan bulunmaması, EKOK'u doğrudan çarpıma bağlamaktadır. Aralarında asal ve için çarpım bağıntısı gereğince olmaktadır. Üstelik bu ilişki çift yönlüdür. EKOK çarpıma eşitse EBOB zorunlu olarak 1'e eşittir.

Aralarında asal olmayan iki sayı da kendi EBOB değerlerine bölünerek aralarında asal bir çifte indirgenebilmektedir. Örneğin 24 ile 36'nın EBOB'u 12 olduğundan 24, 12 ile 2'nin, 36 ise 12 ile 3'ün çarpımı olarak yazılabilmektedir.⁠^[3] Ortak çarpan 12 ayrıldığında kalan 2 ve 3 hiçbir ortak asal paylaşmamaktadır. Genel olarak ve yazıldığında ve aralarında asaldır ve olmaktadır.⁠^[6]

Aralarında asallık, bölünebilmede iki çarpandan çarpıma geçişi de yönetmektedir. ve sayıları bir sayısını ayrı ayrı böldüğünde çarpımının da sayısını bölmesi garanti değildir. Örneğin 4 ve 6, 12'yi ayrı ayrı böldüğü halde çarpımları olan 24, 12'yi bölmemektedir. Ancak koşulu da sağlanıyorsa ortak asal çakışması yaşanmadığından olmaktadır.

Evrim Ağacı

Ölçekleme Kuralları ve Tarihsel Teoremler

İki sayı aynı pozitif tam sayıyla çarpıldığında EBOB ve EKOK da bu sayıyla çarpılmaktadır. İki sayı pozitif bir tam sayısıyla çarpıldığında ikisinin ayrılışına da sayısının asal çarpanları eklenmektedir. Bu nedenle EBOB tam olarak katına çıkmaktadır. Benzer biçimde sayılar bir sabitiyle çarpıldığında EKOK da katına çıkmakta ve şu iki bağıntı geçerli olmaktadır:

Üç veya daha çok sayıda hesap, ardışık ikili hesaplara indirgenebilmektedir. Üç sayının EBOB'u için önce ilk ikisinin EBOB'u alınmakta, ardından bu ara sonuçla üçüncü sayının EBOB'u hesaplanmaktadır. Bu durumda eşitliği kullanılmaktadır. Aynı birleşme özelliği EKOK için de geçerlidir ve olmaktadır. Buna ek olarak iki işlem iç içe yerleştirildiğinde soğurma özdeşlikleri (İng: "absorption identities") ortaya çıkmaktadır. zaten sayısını böldüğünden olmaktadır. Tersine sayısı değerini tam böldüğünden özdeşliği elde edilmektedir.

Bu yapıların tarihsel temelleri, Öklid'in yaklaşık MÖ 300'de ortaya çıkan Elementler (İng: "Elements") adlı eserinin sayı teorisini işleyen VII. kitabına dayanmaktadır.⁠^[15] Elementler'in VII. kitabında bir sayının diğerini tam bölmesi, bu sayının diğerini "ölçmesi" olarak anlatılmaktadır. VII. kitabın 2. önermesi, aralarında asal olmayan iki sayının en büyük ortak ölçüsünü (EBOB) bulmayı konu edinmekte, sonucu (İng: "corollary") ise her ortak bölenin EBOB'u da böldüğünü belirtmektedir. 34. önerme verilen iki sayının ölçtüğü en küçük sayıyı, yani EKOK'u bulmayı, 35. önerme EKOK'un her ortak katı kalansız böldüğünü, 36. önerme ise üç sayının ölçtüğü en küçük sayıyı bulmayı ele almaktadır.⁠^[14]

Sınır Durumlar ve Yaygın Yanılgılar

Bir yanılgı, "aralarında asal" terimindeki "asal" sözcüğünü, her iki sayının asal olması diye okumaktır. İki sayının aralarında asal olması için her birinin asal olması gerektiği düşüncesi yanlıştır. Bu terim sayıların asal olup olmadığını değil, ortak bir asal çarpan paylaşıp paylaşmadığını ölçmektedir. Örneğin 14 ve 15 bileşiktir. Fakat 14 sayısı 2 ile 7'nin, 15 sayısı ise 3 ile 5'in çarpımı olduğundan ortak asal çarpan yoktur ve 14 ile 15 aralarında asaldır. İkinci yanılgı, sadece EBOB ve EKOK değerlerinin sayı çiftini tek biçimde belirleyeceği varsayımıdır. Çarpım bağıntısı çarpımı kesin vermektedir, ancak ortak olmayan asalların iki sayı arasında nasıl dağıldığı bu iki değerden okunamamaktadır. Örneğin EBOB değeri 2 ve EKOK değeri 20 olan bir çiftte çarpım, bağıntı gereği 40'a eşittir. Yine de hem hem de çifti bu değerleri sağlamaktadır. Bu yüzden iki değerden geriye doğru sayıları bulmak, birden çok çözümü olan bir problemdir.

Üçüncü hata, iki sayı için geçerli bağıntısının üç veya daha çok sayıya genellenebileceğini düşünmektir. Üç sayıda çarpımı ile çarpımının eşit olması gerekmemektedir. Bu hata 4, 6 ve 8 sayılarında açıkça görülmektedir. Üç sayının çarpımı 192'dir. Oysa en büyük ortak bölen 2, en küçük ortak kat ise 24 olup bu ikisinin çarpımı 48'de kalmakta ve 192'ye eşit olmamaktadır.

Sıfır İçeren Durumlarda Tanım Sınırları

Hesap sıfırı da kapsayan tam sayılara taşındığında bölünebilme özel sınır durumları yaratmaktadır. Sıfır, sıfırdan farklı her tam sayıya bölündüğünde bölüm 0 ve kalan 0 olduğundan her tam sayı 0'ı kalansız bölmektedir. Dolayısıyla 0 ile pozitif bir sayının ortak bölenleri doğrudan diğer sayının bölenleri tarafından belirlenmektedir. Örneğin 0 ile 6'nın ortak bölenleri 6'nın bölenleridir ve en büyüğü seçilerek bulunmaktadır.⁠^[10] İki sayının birden sıfır olduğu durumu ise tanımın lafzıyla gerilim üretmektedir. Her tam sayı 0'ı böldüğünden ortak bölenler kümesi bütün tam sayılardır ve bu kümede en büyük sonlu eleman yoktur. Bu nedenle kaynaklardan biri tanımı, iki sayının birden sıfır olmadığı durumlarla sınırlandırmaktadır.

Bir başka kaynak ise sınır durumu dışarıda bırakmak yerine ayrı bir uzlaşımla kapatmaktadır. Bu kaynak doğrudan eşitliğini tanımlamaktadır.⁠^[11] Ancak bu, sonlu bölenler arasından en büyüğünü seçmekten ayrı bir yapısal uzlaşımdır. Böylece her ortak bölen EBOB'u böler kuralı, sıfırda da bozulmadan korunmaktadır. Buna karşın EKOK tarafında sıfır içeren durumlar tanımın dışında bırakılmaktadır. Çünkü sıfırın her tam sayıyla çarpımı 0 olduğundan sıfırın sıfır dışında katı yoktur. EKOK en küçük pozitif ortak katı aradığından ve sıfırın pozitif katı bulunmadığından, işlem sadece sıfır olmayan tam sayılar için tanımlanmaktadır.

Evrim Ağacı

Gerçek Yaşam Problemlerinde Modelleme Uygulamaları

Soyut kurallar, bir bütünü artan parça bırakmadan en geniş eş birimlere ayırma problemlerinde doğrudan birer planlama modeline dönüşmektedir. Zeminin eş karolarla kaplanması, malzemelerin eşit boyda kesilmesi veya nesnelerin eşit gruplara ayrılması istendiğinde alt birimin ölçüsü tüm başlangıç büyüklüklerini kalansız bölmek zorundadır. Parça boyutunu en yükseğe çıkarmak gerektiğinde ise bu ortak bölenlerin en büyüğü olan EBOB devreye girmektedir. Bu modelin tipik uygulaması, dikdörtgen bir zeminin kare karolarla kaplanmasıdır. Eni 570, boyu 450 santimetre olan zemin hiç karo kesilmeden döşenecekse karonun kenarı hem 570'i hem 450'yi kalansız bölmelidir. Aranan kenar bu iki uzunluğun EBOB değeridir. Daha küçük bir ortak bölen seçilirse de kesim gerekmemektedir. Ancak karo sayısı artmakta ve en büyük karo hedefinden uzaklaşılmaktadır.

Çözümlü örnek 7: Eni 570 cm ve boyu 450 cm olan dikdörtgen bir zemin, kesim yapılmadan en büyük hangi boyuttaki kare karolarla kaplanabilir?

Verilenler: Zeminin eni 570 cm, boyu 450 cm'dir.

İstenen: Her iki kenarı da bölen en büyük karo kenarı, yani .

1. adım: Zeminin iki kenarını gösteren 570 ve 450 ayrıştırılıp kuvvetli çarpımlarla gösterilmektedir:

2. adım: Üç ortak asalın küçük kuvvetleri birleştirilerek karonun kenarı belirlenmektedir:

Sonuç: Zemini kesim yapılmadan kaplayabilecek en büyük kare karonun ölçüleri 30 cm'ye 30 cm'dir.

Aynı model ikiden fazla niceliğin gruplanmasında da geçerlidir. Örneğin bir kitaplıkta 24 bilimkurgu, 42 fantastik ve 30 korku kitabı bulunmaktadır. Her rafta tek tür bulunacak ve bütün raflar eşit sayıda kitap taşıyacaktır.⁠^[1] Raftaki kitap sayısı 24'ü, 42'yi ve 30'u tam bölmeli, kapasiteyi verimli kullanmak için de olabildiğince büyük olmalıdır. olduğundan her rafta en fazla 6 kitap bulunabilmektedir.

Periyodik Olaylarda Eşzamanlılık Hesabı

Bütünü eş parçalara ayırma EBOB ile çözülürken, sabit adımların daha büyük bir ortak noktada buluştuğu süreçler EKOK ile modellenmektedir. Sabit aralıklarla yinelenen periyodik olayların (İng: "periodic events") ortak bir gerçekleşmeden sonra ilk kez ne zaman yeniden çakışacağı, periyotların EKOK'unu bulma problemidir. Çünkü her olay kendi periyodunun tam katlarında tekrarlanmaktadır. João bir bakımevinde her 6 günde bir, Amelia ise aynı yerde her 10 günde bir gönüllü olarak çalışmaktadır. Ortak bir günün ardından João 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 ve 48 gün sonra, Amelia ise 10, 20, 30, 40, 50 ve 60 gün sonra bakımevinde bulunmaktadır. Periyotların ortak katı olan en küçük gün sayısı çıktığından ikisi 30 gün sonra yeniden birlikte çalışmaktadır.

Çakışma uzunluk ve yükseklik birikimlerinde de aynı yasayı izlemektedir. Örneğin bir kart kulesi yarışmasında birinci takım , ikinci takım ise boyutlarında kartlar kullanmaktadır. Kalınlık ihmal edildiğinde kuleler 10 ve 8 santimetrenin katlarıyla yükselmekte, boyları ilk kez santimetrede eşitlenmektedir. Paydaları farklı kesirlerin toplanması ve çıkarılması da aynı eşitlemeyi gerektirmektedir.⁠^[2] Bu kesirler farklı alt birimleri temsil ettiğinden doğrudan toplanamamaktadır. Paydaların EKOK'u alındığında ise kesirler gereksiz büyütülmeden en küçük ortak paydada eşitlenmektedir.

Su Kapları Problemi Değişmezi

EBOB'un sadece durağan bölmelerde değil, adım adım değişen sistemlerde de sınır çizdiğini su kapları (İng: "water jugs") problemi göstermektedir. Başlangıçta boş iki kap vardır. Üstelik izin verilen işlemler üçle sınırlıdır. Bir kap ağzına kadar doldurulabilir, tamamen boşaltılabilir ya da biri boşalana veya diğeri dolana dek öbürüne aktarılabilmektedir. İşlemler hangi sırayla uygulanırsa uygulansın bir özellik hiç değişmemektedir. Matematikte böyle bir özelliğe değişmez (İng: "invariant") denmektedir. Kapasiteleri ve olan kaplarda her adımda her kaptaki su, değerinin bir tam katı kalmaktadır.⁠^[13] Çünkü başlangıçtaki 0 ile ve kapasiteleri değerinin katıdır ve bu değerin katı olan iki miktarın toplamı veya farkı yine bir katıdır.

Bu değişmez, hedef miktarın ölçülüp ölçülemeyeceğini hiç aktarma denemeden kanıtlamaktadır. Nitekim ilk bakışta deneme yanılmaya benzeyen bu bulmaca, tek bir bölünebilme kontrolüne indirgenmektedir. Örneğin 3 ve 6 galonluk kaplarla 4 galon elde etmek imkansızdır. Çünkü olup 4 sayısı 3'ün tam katı değildir. Dolayısıyla sorunun yanıtı uzun bir deneme dizisine değil, bölünebilme denetimine bağlıdır. Tersine, hedef büyük kabın kapasitesini aşmıyor ve değerinin katıysa çözüm her zaman vardır. Doldurma, aktarma ve boşaltmayı sistematik biçimde tekrarlayan algoritma, büyük kabın kapasitesine kadar EBOB'un her pozitif katını üretmektedir. Böylece bir kapta elde edilebilecek miktarlar, büyük kabın kapasitesine kadar EBOB'un katlarıyla sınırlı kalmaktadır.

Sonuç

EBOB ve EKOK, doğal sayıların asal çarpan iskeleti üzerinden ortak ölçeği ve ortak katı hesaplayan iki işlemdir. Asal çarpanlardaki üsler bir sayının kaç bölen taşıdığını belirlemektedir.⁠^[9] Bu üslerin en küçük ve en büyük değerleri ise ortak bölen ile ortak kat sınırlarını çizmektedir.

İkili yapı sadece sayıların nasıl parçalanacağını veya hangi katta buluşacağını göstermekle kalmamakta, ayrık niceliklerle kurulan bir sistemde hangi sonuçların imkansız olduğunu da önceden kanıtlamaktadır. Çarpım özdeşliğinin üç sayıya geçmemesi ve sadece EBOB ile EKOK'tan sayı çiftinin tek biçimde bulunamaması, işlemlerin hangi sınırlar içinde bilgi verdiğini göstermektedir.

Zemin döşemeden nöbet çakışmasına uzanan modellerde sonucu EBOB ve EKOK belirlemektedir. Kapasiteleri 3 ve 6 galon olan iki kapla 4 galonun ölçülememesi ise tek bir bölünebilme kontrolüyle görülebilmektedir.⁠^[13]