Küresel Koordinat Sistemi - Eşitlikler ve Dönüşümler

Küresel koordinat sistemi; üç boyutlu uzaydaki bir noktayı orijine olan uzaklık r ile birbirine dik kutup açısı θ ve azimut açısı φ ile tanımlayan koordinat sistemidir. Fizikte özellikle küresel yapılar üzerinde çalışıldığında, kartezyen koordinat sistemi olan (x,y,z) yerine, küresel koordinatlar olan (r, θ , φ) tercih etmek, çözümleri birçok durumda oldukça basite indirger.

Örneğin bir parametrenin merkezden yüzeye olan değişimini, kartezyen koordinatlarda ifade etmek için değişen üç parametre (x,y,z) kullanmamız gerekirken, kutupsal koordinatlarda sadece r'nin değişimini incelemek yeterlidir.

Mesela Güneş'in merkezinden yüzeyine olan yoğunluk gradyenti kutupsal koordinatlarla kolayca hesaplanabilir. Çünkü sadece merkezden yüzeye olan uzaklık olan r'nin bir fonksiyonudur, θ ve φ açılarına göre değişmez. Böylelikle problem üç değişken yerine, tek değişkenle daha basit bir şekilde incelenebilir.

Bu nedenle yeri geldiğinde kartezyen koordinatlardan, kutupsal koordinatlara dönüşüm yapmak gerekir. Keza bazı durumlarda tersi de geçerli olabilir. Hatta bir problemin içerisinde iki yönde de dönüşüm yapmayı gerektiren zamanlar olabilir.

Küresel Koordinat Sistemi

Kullanılan kaynağa göre θ ile φ yer değiştirilmiş olarak gösterilebilir. Burada olası bir kafa karışıklığını önlemek için bu açıların neyi tanımladığını bilmekte fayda var. Biz burada kutup açısını (polar, zenit açısını) φ ile (z-ekseninden yapılan açı), azimut açısını da θ ile göstereceğiz (x-ekseninden yapılan açı).

Zenit açısı 0° ≤ φ ≤ 180° aralığında yer alır. Azimut açısı ise 0° ≤ θ ≤ 360° arasındadır. Böylelikle birbirine dik iki eksende ifade edilen kutup açılarıyla bir kürenin tüm noktaları tanımlanmış olur. Bunu şöyle düşünebiliriz: θ açısını 0'dan 360'a kadar döndürelim. Bu durumda yukarıdaki görsele bakacak olursak xy-düzlemindeki çemberi çizmiş olduğumuzu görürüz. Şimdi bu çember φ açısı boyunca 180 derece çevirerek kapladığı hacmi hayal edelim. Bu bir tam küredir!

Burada zenit açısıyla ilgili bir konuya dikkat çekmekte yarar var. Dünya üzerinde tanımladığımız enlemler de φ=90-δ ile tanımlanır. Burada δ enlemi belirtir. Eğer φ=0 olduğu durumu inceleyecek olursak, bunun görselde tam tepe noktasına denk geldiğini görürüz. Burası Dünya üzerinde kuzey kutup noktasıdır ve enlemi δ=90'dır. Benzer şekilde enlemi δ=0 olan ekvator için φ=90 derecedir.

Küresel Koordinatlarda Dönüşümler

Kartezyen Koordinatlardan Küresel Koordinatlara Dönüşüm

Kartezyen koordinatlardan küresel koordinatlara dönüşüm için aşağıdaki eşitlikleri kullanırız. Burada r sıfırdan sonsuza, θ 0'dan 360'a (ya da 0'dan 2π'ye) φ ise 0'dan 180'e (ya da 0'dan π'ye) tanımlıdır.

Küresel koordinatlar, kartezyen koordinatlar cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanır.

Küresel Koordinatlardan Kartezyen Koordinatlara Dönüşüm

Kartezyen koordinatlar, küresel koordinatlar cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanır.

Dolayısıyla kartezyen koordinat sisteminden, küresel koordinat sistemine dönüşüm (ya da tam tersi) bu iki ifade kullanılarak kolaylıkla yapılabilir. Eğer elinizde kartezyen koordinatlar var ve kutupsal koordinatlardaki karşılığını istiyorsanız birinci dönüşüm setini, kutupsal var ama kartezyene dönüşüm istiyorsanız da ikinci dönüşüm setini kullanmanız gerekir.

Küresel Koordinat Sistemi Özellikleri

Küresel koordinat sisteminde çizgi elemanı (line element)

Küresel koordinat sisteminde alan elemanı (area element)

Küresel koordinat sisteminde hacim elemanı (volume element)

Küresel koordinat sisteminde yarıçap vektörü (radius vector)

Birim vektörler

Birim vektörlerin türevleri

Küresel Koordinatlarda Gradyent

Sorularınız için: Rasyonalist forum.

Hazırlayan: Ögetay Kayalı

Referanslar

1. Mathworld Wolfram, "Spherical Coordinates", <http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html>

Kapak Görseli: Heisenberg1234 - http://heisenberg1234.deviantart.com/art/Abstract-sphere-wallpaper-374498682