Birinci Dereceden Denklem Nedir? Doğrusal Denklem ve Eşitsizlik Problemleri Nasıl Çözülür?

Birinci dereceden denklem, içinde aranan bilinmeyen niceliğin sadece birinci kuvvetiyle yer aldığı ve iki matematiksel ifadenin birbirine eşit olduğunu bildiren temel bir cebirsel önermedir. Bir elektrik devresindeki düğüm noktasında 36 amperlik ana akımın iki kola hangi miktarlarda ayrıldığını hesaplamaktan 9. yüzyılda miras ve ticaret hesaplarına, arazi ölçümüne ve kanal açılmasına kadar uzanan pek çok problem bu yapıyla çözülmektedir. Bilinmeyenin karesi, küpü veya farklı bilinmeyenlerin birbiriyle çarpımı bu eşitliklerde yer almamaktadır. Bu nedenle aranan değer, eşitliğin her iki tarafındaki dengeyi koruyan dört işlem adımıyla doğrudan yalnız bırakılabilmektedir.

Günlük hayatta karşılaşılan nicelikler nadiren tek başına durmaktadır. Üretim maliyetleri, hareket halindeki bir aracın hızı, kimyasal bir çözeltinin derişimi veya bir projenin bütçesi belirli bir değişim hızına bağlı olarak artmakta ya da azalmaktadır. Aranan nicelik tam bir hedef değere eşitlendiğinde doğrusal bir denklem ortaya çıkmaktadır. Ancak bütçe tavanı, stok sınırı veya yakıt uyarısı gibi "en az" ve "en çok" koşullarının bulunduğu durumlarda eşitlik yerini eşitsizliklere ve sayı aralıklarına bırakmaktadır. Üstelik matematiksel olarak tüm sayılarda çalışan bir formül, gerçek dünyadaki fiziksel kısıtlamalar sebebiyle sadece belirli sınırlar içinde anlam taşımaktadır.

Birinci Dereceden Denklem Nedir?

Matematiksel dilde bir niceliği sayılar ve harf sembolleri yardımıyla tek başına gösteren yapıya cebirsel ifade (İng: "algebraic expression") adı verilmektedir. Örneğin yazılımı, içinde eşitlik işareti barındırmayan bir cebirsel ifadedir. İki cebirsel ifadenin birbirine eşit olduğunu bildiren önermeye ise denklem denmektedir. Bu eşitlik önermesinin, bilinmeyenin alabileceği bütün değerler için doğru olması şart değildir. Aksine çoğu durumda eşitlik sadece belirli bir değer için sağlanmaktadır.

İçinde tek bir bilinmeyen barındıran ve bu bilinmeyenin karesini, küpünü veya daha yüksek kuvvetlerini içermeyen eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem (İng: "linear equation in one variable") denmektedir. Ayrıca doğrusal bir denklemde farklı değişkenlerin birbiriyle çarpımı veya değişkenlerin birden büyük kuvvetleri bulunmamaktadır. Bu tür denklemlerin en genel standart yazılışı şu biçimdedir:⁠^[1]

Burada bulunması gereken bilinmeyen niceliği temsil etmektedir. Bilinmeyenle çarpım durumunda bulunan sayısına 'in katsayısı (İng: "coefficient") denmektedir. Buna karşılık yanında bilinmeyen çarpanı bulunmayan sayısına sabit terim (İng: "constant term") denmektedir. Özellikle tanımdaki kısıtlaması kritik bir rol oynamaktadır. Çünkü katsayısı sıfır olduğunda bilinmeyen terim ortadan kalkmakta ve ifade birinci dereceden olma özelliğini yitirmektedir.

Bir denklemde bilinmeyenin değerini bulma sürecine denklemi çözmek adı verilmektedir. Denklemi sağlayan bu özel sayısal değere ise denklemin çözümü veya kökü (İng: "root") denmektedir. Bu bağlamda katsayının sıfırdan farklı olduğu genel durumda denkleminin kökü, sabit terimin işaret değiştirerek katsayıya bölünmesiyle elde edilmektedir:

Bu genel formül, katsayı ve sabit terim bilindiğinde aranan kökün tek bir bölme işlemiyle belirlenebileceğini göstermektedir. Nitekim sayısal katsayılı doğrusal bir denklem, sadeleştirme adımlarının sonunda ise bu temel biçime indirgenmektedir.

Denklem, Özdeşlik ve Çelişki Ayrımı

Cebirsel işlemler sırasında karşılaşılan her eşitlik aynı çözüm davranışını sergilememektedir. Standart bir doğrusal denklem, sayı doğrusundaki tüm noktaları kapsayan gerçek sayı (İng: "real number") değerleri arasından sadece tek bir değer için doğru olmaktadır. Denklemi doğru kılan değerlerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi (İng: "solution set") adı verilmektedir. Ancak biçimindeki bir eşitlikte katsayısı sıfıra eşitse, sabit teriminin değerine göre iki istisnai tablo ortaya çıkmaktadır.⁠^[2]

Evrim Ağacı

Bilinmeyen içeren terimler her iki taraftan sadeleştiğinde geriye imkansız bir sayısal ifade kalabilmektedir. Hiçbir gerçek sayı için doğrulanamayan bu duruma çelişki (İng: "contradiction") denmektedir. Şu eşitlik bunun tipik bir örneğidir:⁠^[3]

Öncelikle eşitliğin sağ tarafındaki parantez açıldığında sağ taraf biçimine dönüşmektedir. Ardından her iki taraftan çıkarıldığında bilinmeyen tamamen yok olmakta ve geriye eşitliği kalmaktadır. Sıfır ikiye eşit olamayacağı için bu sonuç açıkça imkansızdır. Dolayısıyla başlangıçtaki denklemi sağlayan hiçbir gerçek sayısı bulunmamaktadır. Bu durumda çözüm kümesi boştur ve veya sembolüyle gösterilmektedir.

Bunun tam tersine, iki cebirsel ifade arasındaki eşitlik değişkenin bütün gerçek sayı değerleri için doğru kalabilmektedir. Bu tür eşitliklere özdeşlik (İng: "identity") adı verilmektedir. Şu örnek bu durumu göstermektedir:

Sol taraftaki parantez açıldığında ifadesi, sağ taraftaki parantezler açılıp düzenlendiğinde yine ifadesi ortaya çıkmaktadır. Sol ifadeden sağ ifade çıkarıldığında sonucu elde edilmektedir. Bu doğru eşitlik, başlangıçtaki ifadenin her gerçek değeri için geçerli bir özdeşlik olduğunu kanıtlamaktadır. Böylece çözüm kümesi tüm gerçek sayılar kümesi () olmaktadır.

Burada sonucu ile sonucu arasındaki farka özellikle dikkat edilmelidir. İlk durumda bilinmeyen tamamen sadeleşmiş ve her gerçek sayı çözüm kümesine girmiştir. Oysa eşitliğinde bilinmeyen yalnız kalmıştır ve denklemin tek çözümü sıfır sayısıdır.

Babillilerden Harizmi'ye Denklem Tarihi

Bilinmeyen bir niceliği eşitlikler yardımıyla bulma çabası, Harizmi'den de öncesine uzanmaktadır. Nitekim Babilliler, biçimindeki denklemleri başvuru tablolarıyla çözmüştür.

Daha sonraki yüzyıllarda denklem çözme yöntemleri 9. yüzyıl bilgini Muhammed bin Musa el-Harizmi (yaklaşık 780-850) ile sistematik bir sınıflandırmaya kavuşmuştur.⁠^[12] Bununla beraber eserin 1831 tarihli İngilizce çevirisini hazırlayan F. Rosen, tarihsel önsözünde Harizmi'nin cebir sanatının tek mucidi olduğu yönündeki iddianın yerleşik bir gerçek olmadığını açıkça vurgulamıştır. Denklem çözme geleneği Harizmi'den önce de vardır.

Bununla birlikte Harizmi'nin cebiri, günümüzde kullanılan , , veya gibi sembolik işaretlerin hiçbirini içermemiştir. Bunun yerine bütün denklemler ve çözüm adımları tamamen sözcüklerle ifade edilmiştir.⁠^[12] Harizmi, eserinin giriş bölümünde bu hesaplama yöntemlerinin günlük yaşamdaki kullanım alanlarını somut olarak sıralamıştır. Miras paylaşımları, vasiyet işlemleri, mal bölüşümü, hukuki davalar ve ticaret hesapları bu alanların başında gelmiştir. Ayrıca arazi ölçümü, su kanallarının kazılması ve geometrik hesaplamalar da bu sözel cebirin uygulama sahaları arasında yer almıştır.⁠^[13]

Harizmi'nin sınıflandırdığı altı standart denklem biçiminden biri, "sayıya eşit kökler" (modern gösterimle ) türüdür. Rosen'in çeviri dipnotunda açıkladığı üzere, bu metinlerde geçen "kök" sözcüğüyle bilinmeyenin birinci kuvveti () kastedilmiştir. Dolayısıyla bu tarihsel terim, bir sayının karekökünü alma işlemiyle karıştırılmamalıdır. Örneğin Harizmi, "dört kök yirmiye eşittir" () önermesinden bir kökün beşe eşit olduğu () sonucuna sözel olarak ulaşmıştır. Benzer şekilde "kökün yarısı ona eşittir" () örneğinde tam kökün yirmiye eşit olduğunu () belirlemiştir.

Evrim Ağacı

Eşitliği Koruyarak Bilinmeyeni Yalnız Bırakma

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözerken uygulanan dönüşümlerin amacı, çözüm kümesini değiştirmeden ifadeyi adım adım daha yalın bir biçime getirmektir. Bu süreci yöneten temel kurala eşitliğin korunumu ilkesi denmektedir.

Bir eşitliğin sol tarafına hangi sayı eklenirse veya sol tarafından hangi sayı çıkarılırsa, sağ tarafına da aynı işlem uygulandığında iki taraf arasındaki denge bozulmamaktadır. Benzer şekilde eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde denklemin çözümleri değişmemektedir. Burada sıfırdan farklı olma koşulu çözüm kümesini korumak için zorunludur. Çünkü iki tarafı sıfırla çarpmak bütün terimleri yok ederek durumunu yaratmakta, sıfıra bölmek ise tanımsız kalmaktadır.

Eşitliğin her iki yanında da bilinmeyenli terimler ve sabit sayılar bulunduğunda benzer terimleri toplama yöntemi devreye girmektedir. Öncelikle bilinmeyen içeren bütün terimler eşitliğin bir tarafında, sabit terimler ise diğer tarafında toplanmaktadır. Son adımda bilinmeyenin katsayısına bölme yapılarak kök yalnız bırakılmaktadır. Ardından bulunan kök başlangıçtaki denklemde yerine yazılarak çözüm denetlenmektedir.

Çözümlü örnek 1 denkleminin kökü kaçtır ve bulunan kök denklemi doğrulamakta mıdır?**

Verilenler: İki tarafında da bilinmeyen ve sabit terim bulunan birinci dereceden denklemi.⁠^[4]

İstenen: Denklemi sağlayan kökünün bulunması ve başlangıç eşitliğinde yerine konularak doğrulanması.

1. adım: Sağdaki terimi çıkarılmaktadır:

2. adım: Soldaki sabit çıkarılmaktadır:

3. adım: Taraflar katsayıya, 'ye bölünmektedir:

4. adım: Kök denklemde sınanmaktadır:

Sonuç: Denklemin her iki tarafı da değerini verdiği için kökünün doğru çözüm olduğu kanıtlanmaktadır.

Parantezli İfadelerin Sadeleştirilmesi

Birçok denklemde bilinmeyen terimler parantezlerin içinde yer almaktadır. Bu durumda bilinmeyeni yalnız bırakmadan önce parantezlerin dağılma özelliğiyle açılması ve ifadenin sadeleştirilmesi gerekmektedir. Parantez açılırken önündeki çarpan, içerideki her bir terimle ayrı ayrı çarpılmaktadır.

Parantezin önünde eksi işareti bulunduğunda ise özel bir dikkat gerekmektedir. Çünkü bu eksi işareti sadece ilk terimi değil, parantezin içindeki bütün terimlerin işaretini tersine çevirmektedir.

Çözümlü örnek 2 denkleminin kökü kaçtır?**

Verilenler: Önünde eksi işareti bulunan bir parantez içeren denklemi.

İstenen: Denklemi sağlayan değeri.

1. adım: Parantez önündeki eksi içerideki iki terimin de işaretini değiştirdiği için parantez kaldırılıp sabit sayılar toplanmaktadır:

2. adım: İki tarafa eklenmektedir:

3. adım: Sabit sağa geçmektedir:

4. adım: Bölme ve sadeleştirme yapılmaktadır:

Sonuç: Denklemin kökü olarak bulunmaktadır.

Öte yandan bazı eşitlikler ilk bakışta parantez çarpımları nedeniyle ikinci dereceden terimler içeriyormuş gibi görünmektedir. Ancak bu terimler eşitliğin iki tarafında aynı katsayıyla yer alıyorsa birbirini götürmekte ve geriye birinci dereceden bir denklem kalmaktadır.

Çözümlü örnek 3 eşitliği hangi değeri için doğrudur?**

Verilenler: İki tarafında da parantez çarpımı bulunan eşitliği.

İstenen: Eşitliği sağlayan değeri.

1. adım: İkinci derece terimlerin birbirini götürüp götürmediğini görmek için parantez çarpımları açılmaktadır:

2. adım: İki tarafta da bulunan terimi çıkarılıp sabitler toplandığında ikinci derece terimler silinmektedir:

3. adım: eklenip çıkarılmaktadır:

4. adım: Taraflar 'ya bölünmektedir:

Sonuç: Görünüşte ikinci dereceden olan eşitlik doğrusal bir denkleme dönüşmüş ve kökünü vermiştir.

Kesirli Katsayılarda Ortak Payda Yöntemi

Katsayıların kesirli olduğu denklemlerde kesirlerle doğrudan işlem yapmak hataya yol açabilmektedir. Bunun yerine eşitliğin her iki tarafını paydaların en küçük ortak katıyla çarpmak, bütün kesirleri tek adımda ortadan kaldırmaktadır. Böylece paydalar sadeleştikten sonra geriye sadece tam sayılı ifadeler kalmaktadır.

Eşitliğin iki tarafında tek birer kesir bulunduğunda bu çarpım, içler dışlar çarpımı biçiminde görünmektedir. Buna karşılık kesirli terimlerle tam sayı terimlerin bir arada bulunduğu durumlarda ortak katla çarpım tam sayı terime de eksiksiz uygulanmalıdır.

Evrim Ağacı

Çözümlü örnek 4 denkleminin kökü kaçtır?**

Verilenler: Her iki tarafında birer kesir bulunan denklemi.

İstenen: Denklemi sağlayan değeri.

1. adım: İki taraf ile çarpılmaktadır:

2. adım: Parantezler açılmaktadır:

3. adım: ve çıkarılmaktadır:

4. adım: 'ye bölme kökü vermektedir:

Sonuç: Denklemin kökü olarak bulunmaktadır.

Çözümlü örnek 5 kesirli denkleminin çözümü nedir?**

Verilenler: Paydalarında ve asal sayıları bulunan doğrusal denklemi.⁠^[4]

İstenen: Kesirleri tek adımda kaldırarak denklemi sağlayan değerinin hesaplanması.

1. adım: Her terim ile çarpılmaktadır:

2. adım: Parantez dağıtılmaktadır:

3. adım: ile çıkarılmaktadır:

4. adım: Taraflar 'ye bölünmektedir:

Sonuç: Kesirli denklemi sağlayan kök değeri olarak bulunmaktadır.

Birinci Dereceden Eşitsizliklerin Çözüm Yöntemleri

Biçim bakımından birinci dereceden bir denkleme benzeyen, ancak eşittir işaretinin yerinde bir eşitsizlik sembolü bulunan ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik (İng: "linear inequality in one variable") denmektedir. Bu ifadelerde dört temel karşılaştırma sembolü kullanılmaktadır. Bunlardan işareti "büyüktür", işareti "büyük veya eşittir", işareti "küçüktür", işareti ise "küçük veya eşittir" anlamına gelmektedir.⁠^[5] Bu açıdan bir eşitsizliği çözmek, tek bir sayı yerine bilinmeyenin eşitsizliği doğru kılan değer aralığını belirlemek demektir.

Eşitsizliklerde bilinmeyeni yalnız bırakırken gerçek sayıların sıralama özelliği (İng: "ordering property") kullanılmaktadır. Buna göre bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklendiğinde veya iki tarafından aynı sayı çıkarıldığında eşitsizliğin yönü korunmaktadır. Örneğin karşılaştırmasının iki tarafına eklendiğinde , iki tarafından çıkarıldığında ise eşitsizliği doğru kalmaktadır. Aynı kurala göre eşitsizliğinin iki tarafından çıkarıldığında sonucu elde edilmektedir.

Benzer şekilde bir eşitsizliğin iki tarafını aynı pozitif sayıyla çarpmak veya bölmek de yönü değiştirmemektedir. Mesela eşitsizliğinin iki tarafı ile çarpıldığında sıralaması bozulmamaktadır.

Negatif bir sayıyla çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizlik yönü neden tersine dönmektedir? Bunun nedeni sayı doğrusundaki sıralama düzenidir. Örneğin pozitif sayılarda geçerli olan karşılaştırmasının iki tarafı ile çarpıldığında yön korunursa ifadesi ortaya çıkmaktadır. Oysa sayı doğrusunda sayısı 'den küçüktür ve doğru karşılaştırma biçimindedir. Dolayısıyla iki taraf negatif bir sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizlik işareti ters çevrilmelidir.

Buna göre eşitsizliğinin iki tarafı 'ye bölündüğünde işareti işaretine dönüşmekte ve bulunmaktadır. Üstelik aynı eşitsizlik negatif sayıya hiç bölünmeden de çözülebilmektedir. İki tarafa eklenip iki taraftan çıkarıldığında elde edilmekte, iki taraf 'ye bölündüğünde ise sonucuna yön değiştirmeden ulaşılmaktadır.

Çözümlü örnek 6 eşitsizliğini sağlayan değerleri nelerdir?**

Verilenler: Kesirli ve negatif katsayılı birinci dereceden eşitsizliği.⁠^[6]

İstenen: Eşitsizliği sağlayan gerçek sayılarının aralığının bulunması.

1. adım: Paydadaki sayısını kaldırmak için eşitsizliğin her iki tarafı pozitif sayısıyla çarpılmakta ve çarpan pozitif olduğu için eşitsizlik yönü korunmaktadır:

2. adım: İki taraftan çıkarılmaktadır:

3. adım: Bilinmeyen 'i yalnız bırakmak için her iki taraf negatif sayısına bölünmekte ve negatif sayıya bölme yapıldığı için işareti yönüne çevrilmektedir:

Sonuç: Verilen eşitsizliği sağlayan tüm gerçek sayılar koşulunu karşılayan değerlerdir.

Sayı Doğrusu, Aralık ve Küme Gösterimi

Birinci dereceden bir eşitsizlik gerçek sayılar kümesinde çözüldüğünde çözüm kümesi genellikle sonsuz sayıda elemandan oluşmaktadır. Bu elemanların sayı doğrusu üzerinde kesintisiz olarak kapladığı bölgeye çözüm aralığı (İng: "solution interval") denmektedir. Aralığın başladığı veya bittiği uç noktaya ise sınır değeri (İng: "boundary value") adı verilmektedir. Sözgelimi eşitsizliğinde iki tarafa eklenip iki taraf 'ye bölündüğünde elde edilmektedir. Buradaki sayısı sınır değeridir ve kesin küçüktür sembolü bulunduğu için değişkeni değerini alamamaktadır.

Sonsuz elemanlı bir çözümü ifade etmek için üç temel gösterim kullanılmaktadır. Bunların ilki sayı doğrusu (İng: "number line") üzerinde işaretleme yapmaktır. İkincisi uç değerleri parantezlerle belirten aralık gösterimi (İng: "interval notation"), üçüncüsü ise ortak özelliği küme parantezi içinde tanımlayan küme gösterimi (İng: "set-builder notation") biçimidir.⁠^[10] Mesela eşitsizliğinin iki tarafından çıkarıldığında bulunmaktadır. Bu çözüm küme gösterimiyle , aralık gösterimiyle ise biçiminde yazılmaktadır.

Evrim Ağacı

Sayı doğrusunda sınır değerinin çözüme dahil olmadığı durumlar açık daireyle, dahil olduğu durumlar ise içi dolu daireyle gösterilmektedir. Aynı şekilde aralık gösteriminde açık dairenin yerini yuvarlak parantez, dolu dairenin yerini köşeli parantez almaktadır. Ayrıca sonsuzluk sembolü bir gerçek sayı olmadığı için örneğinde olduğu gibi sonsuzluk tarafında her zaman yuvarlak parantez kullanılmaktadır. Başlıca aralık türleri aşağıda sıralanmıştır.

• Açık sonsuz aralık, örneğinde olduğu gibi sınır değerini dışarıda bırakan ve uç noktada yuvarlak parantez kullanan biçimindeki aralıktır.
• Kapalı sonsuz aralık, köşeli parantezle belirtilen sınır değerini ve 'dan büyük sayıları içeren ya da 'yı ve 'dan küçük sayıları içeren aralığıdır.
• Yarı açık sınırlı aralık, bileşik eşitsizliğinde olduğu gibi alt sınır 'i dahil edip üst sınır 'ü dışarıda bırakan aralığıdır.

Eşitsizliklerde Denetleme ve Özel Çözüm Kümeleri

Bir eşitsizliğin çözüm aralığında sonsuz sayıda gerçek sayı bulunduğundan bu değerlerin tamamını tek tek denetlemek imkansızdır. Yine de seçilen birkaç örnek değerle sınama yapmak, işaret veya yön hatalarını yakalamaya yardımcı olmaktadır. Bu yöntemde aralığın içinden bir sayı, tam sınır değeri ve aralığın dışından bir sayı denenmektedir.

Çözümü olarak bulunan eşitsizliği buna bir örnektir. Aralığın içindeki değeri yerine konulduğunda doğru önermesi elde edilmektedir. Buna karşılık sınır değeri olan denendiğinde yanlış önermesi çıkmakta ve sınırın çözüme dahil olmadığı doğrulanmaktadır. Aralığın dışından seçilen değeri ise yanlış önermesini vermektedir. Böylece çözüm bölgesinin doğru belirlendiği teyit edilmektedir.

Denklemlerde olduğu gibi eşitsizliklerde de bilinmeyen terimler sadeleştirme sırasında tamamen silinebilmektedir. Bu durumda geriye kalan sayısal karşılaştırmanın doğruluğuna göre iki özel çözüm kümesi ortaya çıkmaktadır. İlk durumu şu eşitsizlik göstermektedir:

Sol ve sağdaki terimleri sadeleştiğinde elde karşılaştırması kalmaktadır. Bu karşılaştırma her zaman doğru olduğu için eşitsizlik 'nin bütün gerçek sayı değerleri için sağlanmaktadır. Dolayısıyla eşitsizliğin çözümü bütün sayı doğrusunu kaplayan aralığıdır.

İkinci durumda ise geriye yanlış bir sayısal karşılaştırma kalmaktadır. Şu örnek bu durumu sergilemektedir:

Her iki tarafa eklendiğinde bilinmeyen terimler birbirini götürmekte ve geriye ifadesi kalmaktadır. Bu eşitsizliği sağlayan hiçbir gerçek sayı yoktur. Bu nedenle çözüm kümesi boştur ve veya biçiminde yazılmaktadır.

Evrim Ağacı

Doğrusal Fonksiyonlarla Denklem ve Eşitsizlik İlişkisi

Birinci dereceden denklemler ve eşitsizlikler, koordinat düzlemindeki doğrularla doğrudan bağlantılıdır. Nitekim düzlemde düşey olmayan her doğrunun denklemi eğim ve eksen kesim değeri yardımıyla şu biçimde yazılabilmektedir:

Burada doğrunun eğimini, ise düşey ekseni kestiği değeri göstermektedir. Bu ilişki bir fonksiyon olarak ele alındığında doğrusal fonksiyon (İng: "linear function") adını almaktadır. Bir doğrusal fonksiyonun cebirsel temsil (İng: "algebraic representation") biçimi olarak yazılmaktadır. Bu yazılışta girdi olarak seçilen bağımsız değişken (İng: "independent variable"), buna karşılık hesaplanan çıktısı ise bağımlı değişken (İng: "dependent variable") olarak adlandırılmaktadır.

Koordinat düzleminde bir doğrusal fonksiyonun grafiği her zaman düz bir doğrudur. Bu doğrunun düşey eksenle buluştuğu kesim noktası (İng: "point of intersection") koordinatlarındadır.⁠^[9] Bunun yanı sıra eğim olduğunda fonksiyon artan, olduğunda ise azalan bir fonksiyondur. Eğimin sıfır olduğu özel durumda denklem biçimini almakta ve yatay bir doğru vermektedir.

Cebirsel bir denklemi çözmek ile doğrusal fonksiyonun grafiğini okumak aynı sorunun iki farklı yüzüdür. Başka bir deyişle bir fonksiyonunda çıktıyı sıfıra eşitleyip denkleminin kökünü bulmak, fonksiyonun sıfırı (İng: "zero of a function") olarak adlandırılan değeri bulmak demektir. Geometrik açıdan bu kök, doğrunun yatay ekseni kestiği noktanın apsis değeridir. Daha genel olarak denkleminin kökü, iki doğrunun kesim noktasının yatay eksen koordinatına karşılık gelmektedir.

Aynı grafiksel ilişki birinci dereceden eşitsizliklerin çözümünde de görsel bir yöntem sunmaktadır. Aşağıdaki örnek bu yöntemi adım adım göstermektedir.

Çözümlü örnek 7 eşitsizliği grafik yardımıyla nasıl çözülmektedir?**

Verilenler: eşitsizliği ve sol tarafındaki ifadenin grafiği olan doğrusu.⁠^[5]

İstenen: Doğrunun yatay eksenin altında kaldığı değerleri, yani eşitsizliğin çözüm aralığı.

1. adım: Eşitsizlik ifadesinin sıfırdan küçük olmasını istediği için doğrunun değerlerinin negatif olduğu bölge aranmaktadır:

2. adım: Bu bölgenin sınırını bulmak için doğrunun yatay ekseni kestiği nokta hesaplanmaktadır:

3. adım: Doğrunun eğimi pozitif olduğu için doğru bu noktanın solunda eksenin altında kalmaktadır:

Sonuç: Grafikten okunan çözüm aralığı biçimindedir.

Sözel Problemlerde Doğrusal Denklem Uygulamaları

Matematik dışındaki pek çok alanda problemler hazır formüller olarak değil, günlük dille anlatılan senaryolar halinde ortaya çıkmaktadır. Özellikle niceliklerin sabit bir oranda değiştiği doğrusal ilişki (İng: "linear relationship") içeren problemlerde çözüm iki aşamadan oluşmaktadır. İlk aşamada aranan nicelik tespit edilmekte ve gibi bir harfle bilinmeyen olarak seçilmektedir. İkinci aşamada ise sözel koşullar cebirsel ifadelere dönüştürülerek bir denklem kurulmakta ve bu denklem çözülmektedir.⁠^[3]

Birden fazla nicelik sorulsa bile bilinmeyen sayısını en aza indirmek ve bütün arananları tek bilinmeyen cinsinden yazmak büyük kolaylık sağlamaktadır. Böylece ikinci bir denkleme duyulan ihtiyaç ortadan kalkmaktadır. Örneğin metrelik bir ip iki parçaya kesildiğinde parçalardan biri metre seçilirse, kalan parça ikinci bir bilinmeyen kullanılmadan metre olarak yazılmaktadır.

Maliyet Paylaşımı, Hız ve Karışım Problemleri

Tek bilinmeyenle denklem kurma stratejisi, alışveriş maliyetlerinin bölüşümünden iki aşamalı hareket hesaplarına ve çözeltilerin seyreltilmesine kadar geniş bir alanda çalışmaktadır. İlk örnek, oranlı maliyet paylaşımını gösteren bir alışveriş problemidir.

Çözümlü örnek 8: Topla dolara alınan bilgisayar ve yazıcıda bilgisayar, yazıcının katı fiyatındaysa ürünlerin her biri kaç dolardır?**

Verilenler: Josephine'in bir masaüstü bilgisayar ile bir yazıcı için ödediği dolarlık toplam tutar ve bilgisayar fiyatının yazıcı fiyatının , yani katı olması.

İstenen: Yazıcının ve bilgisayarın ayrı ayrı fiyatları.

1. adım: Daha küçük olan yazıcı fiyatı dolar seçildiğinde bilgisayar dolar olacağı için toplam fiyat üzerinden denklem kurulmaktadır:

2. adım: Kesri kaldırmak için iki taraf ile çarpılıp benzer terimler toplanmaktadır:

3. adım: Taraflar 'e bölünmektedir:

4. adım: Bilgisayar fiyatını bulmak için toplam tutardan yazıcı fiyatı çıkarılmaktadır:

Sonuç: Yazıcının fiyatı dolar, bilgisayarın fiyatı ise dolardır.

İkinci örnek, iki farklı hızla alınan bir yol problemidir. Burada birimlerin tutarlı olması da ayrıca önem taşımaktadır.

Çözümlü örnek 9: Yolun ilk yarısın, ikinci yarısını hızla 50 dakikada koşan bir kişi toplam kaç metre koşmuştur?**

Verilenler: Grant'in parkurun ilk yarısındaki hızı, ikinci yarısındaki hızı ve dakikalık toplam koşu süresi.

İstenen: Parkurun toplam uzunluğu.

1. adım: Hızlar saniye cinsinden verildiği için birimleri tutarlı kılmak amacıyla süre saniyeye çevrilmektedir:

2. adım: Yolun yarısı metre seçildiğinde iki yarıda geçen sürelerin toplamı saniyeye eşitlenmektedir:

3. adım: İki taraf ile çarpılmaktadır:

4. adım: Taraflar 'e bölünmektedir:

Sonuç: Yolun yarısı metre olduğundan parkurun toplam uzunluğu metredir.

Evrim Ağacı

Üçüncü önemli uygulama alanı ise kimyasal karışım ve seyreltme problemleridir. Bir çözeltiye saf su eklendiğinde çözeltinin toplam hacmi artarken içindeki saf asit miktarı sabit kalmaktadır.

Çözümlü örnek 10: Yüzde 15'lik 75 litre asit çözeltisi elde etmek için yüzde 40'lık asit çözeltisine kaç litre saf su eklenmelidir?

Verilenler: Başlangıçtaki %40 derişimli asit çözeltisi, eklenecek %0 asit derişimli saf su ve hedeflenen 75 litre hacmindeki %15 derişimli son çözelti.⁠^[8]

İstenen: Karışıma eklenmesi gereken saf su miktarı ( litre) ve kullanılması gereken %40'lık çözelti hacmi.

1. adım: Eklenecek saf su miktarı litre olarak seçildiğinde, toplam hacim litre olacağından %40'lık asit çözeltisinin hacmi litre olmakta ve bileşenlerin içindeki saf asit miktarları birbirine eşitlenmektedir:⁠^[8]

2. adım: Saf suyun asit katkısı sıfır olduğundan parantezler açılarak çarpım işlemleri yapılmaktadır:

3. adım: Terimler yer değiştirmektedir:

4. adım: 'e bölme su hacmini vermektedir:

Sonuç: Yüzde 15'lik 75 litre çözelti hazırlamak için litre saf su ve litre %40'lık asit çözeltisi karıştırılmaktadır.

Fizik ve Mühendislik Formüllerinde Birim Tutarlılığı

Farklı nicelikler arasındaki ilişkileri cebir diliyle ifade eden eşitliklere formül adı verilmektedir. Formüller doğa bilimlerinde, mühendislikte, tıpta ve ekonomide temel hesaplama aracı olarak kullanılmaktadır. Aranan değişken formülde yalnız bırakılmış değilse önce bilinen değerler yerine konulmakta, ardından ortaya çıkan birinci dereceden denklem çözülmektedir.

Elektrik mühendisliğindeki temel uygulamalardan biri Kirchhoff'un akım yasasıdır. Bu yasaya göre bir devredeki düğüm noktasına giren toplam akım, düğümden çıkan toplam akıma eşittir. Ana koldan gelen akımının ve olmak üzere iki kola ayrıldığı bir devrede bu ilişki şu formülle yazılmaktadır:

İlk devre durumunda ana akım (amper) ve ikinci kol akımı verildiğinde denklemi elde edilmekte ve bilinmeyen kol akımı bulunmaktadır. İkinci bir durumda ise ana akım ve ikinci koldaki akım birinci koldakinin beş katıdır (). Bu oran formülde yerine yazıldığında tek bilinmeyenli şu denklem kurulmaktadır:⁠^[1]

Sonuç olarak sağdaki benzer terimler toplandığında olmakta ve birinci kolun akımı , ikinci kolun akımı ise olarak belirlenmektedir.

Bunun yanında fizikteki bir diğer doğrusal formül sabit ivmeli doğrusal hareketin hız denklemidir. Başlangıç hızı olan ve sabit ivmesiyle hızlanan bir cismin saniye sonraki hızı olmak üzere bu formül şu şekildedir:

Çözümlü örnek 11: Sabi ivmeyle saniyede hıza ulaşan bir cismin başlangıç hızı nedir?**

Verilenler: İvme , son hız , geçen süre ve formülü.

İstenen: Cismin başlangıç hızı .

1. adım: Birimler birbiriyle tutarlı olduğu için bilinen değerler formülde doğrudan yerine konulmaktadır:

2. adım: İki taraftan çıkarılmaktadır:

Sonuç: Cismin başlangıç hızı olarak bulunmaktadır.

Fiziksel niceliklerle işlem yapılırken seçilen ölçüm birimlerinin birbiriyle tutarlı olması mutlak bir zorunluluktur. Örneğin hareket formülünde hızı kilometre/saat, zamanı ise saniye cinsinden dönüştürmeden yazmak birim tutarsızlığı yaratmakta ve sonucu fiziksel olarak anlamsız kılmaktadır.

Evrim Ağacı

Çözümlü örnek 12: Başlangıç hız olan ve sabit ivmeyle hızlanan bir cisim kaç saniyede hıza ulaşmaktadır?**

Verilenler: Sabit ivmeli doğrusal harekette başlangıç hızı , sabit ivme , son hız ve bağıntısı.⁠^[7]

İstenen: Hızın değerine ulaşması için geçen süre ( saniye).

1. adım: Verilen hız ve ivme birimleri ( ve ) birbiriyle tutarlı olduğundan, bilinen değerler formülünde doğrudan yerine konulmaktadır:

2. adım: Sabit çıkarılmaktadır:

3. adım: 'e bölme süreyi vermektedir:

Sonuç: Cismin hızı saniye sonunda değerine ulaşmaktadır.

Doğrusal Modellemede Eşitsizlikler ve Model Sınırları

Ekonomi ve üretim planlamasında doğrusal fonksiyonlar, toplam maliyetin üretim miktarına göre değişimini modellemek için yaygın biçimde kullanılmaktadır. Örneğin adet PortaBoy oyun konsolu üretmenin dolar cinsinden toplam maliyeti ( koşuluyla) şu doğrusal fonksiyonla verilmektedir:⁠^[9]

Bu modelde hiç üretim yapılmadığında bile ortaya çıkan dolarlık tutara sabit maliyet veya başlangıç maliyeti adı verilmektedir. Formüldeki katsayısı ise her ek ürünün toplam maliyeti dolar artırdığını göstermekte ve değişken maliyet olarak adlandırılmaktadır. Buna göre konsolun toplam maliyeti dolardır.

Üretim için dolarlık bir bütçe ayrıldığında kaç ürün üretilebileceğini bulmak için denklemi kurulmaktadır. İki taraftan çıkarılıp 'e bölündüğünde cebirsel çözüm şu değeri vermektedir:

Ancak konsol sayısı kesirli olamayacağı ve sadece tam sayı miktarda ürün üretilebileceği için cebirsel sonuç bağlama göre yorumlanmaktadır. Bu yüzden bütçenin aşılmaması için sonuç aşağı yuvarlanmakta ve dolarla en fazla adet PortaBoy üretilebileceği belirlenmektedir. Gerçek dünya problemlerinde karşılaşılan "en az" veya "en çok" gibi sınır bildiren ifadeler, bu tür kısıtlamalar nedeniyle doğal olarak birinci dereceden eşitsizlik kurmaya götürmektedir.⁠^[6]

Bütçe, Yakıt ve Fiyat Talep Kısıtlamaları

Bütçe tavanı, yakıt rezervi ve piyasa talebi gibi uygulamalar, eşitsizlik modellerinin günlük hayatta nasıl kurulduğunu somut olarak göstermektedir. İlk uygulama, saatlik araç kiralama biçiminde işleyen bir araç paylaşımı hizmetidir. Bu hizmette bir defaya mahsus dolar kayıt ücreti ve saat başına dolar ücret alınmaktadır. Kullanıcının ayırdığı en yüksek bütçe dolardır. Bütçenin tamamını harcamak zorunlu olmadığından daha az harcama da koşulu sağlamaktadır. Dolayısıyla kullanım saatini göstermek üzere bütçe kısıtlaması şu eşitsizlikle modellenmektedir:

İkinci uygulama bir otomobilin yakıt sınırıdır. Depoda başlangıçta galon benzin bulunmakta ve araç ideal sürüş koşullarında mil başına galon yakıt tüketmektedir. Depodaki benzin galona düştüğünde düşük yakıt uyarı ışığı yanmaktadır. Uyarı ışığı yanmadan önce gidilebilecek mil mesafe için depoda en az galon kalması koşulu yazılmaktadır:

Başlangıçtaki galon sağ tarafa geçirildiğinde eşitsizliğine ulaşılmaktadır. Ardından iki taraf negatif bir sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirmekte ve yuvarlatılmış mil üst sınırı bulunmaktadır.

Üçüncü uygulama ise ekonomideki doğrusal fiyat ve talep ilişkisidir. Bir oyun sisteminin birim fiyatı dolar olduğunda haftada adet, fiyat dolara indirildiğinde ise haftada adet satılmaktadır. Satış arttıkça fiyat sabit bir hızla düştüğü için bu iki veri noktasından şu azalan fiyat-talep fonksiyonu elde edilmektedir:

Fiyatın negatif olması ekonomik açıdan anlamsız olduğu için modelin geçerli olduğu satış sınırı ayrıca hesaplanmaktadır. Bu hesap da bir eşitsizlik çözümüne dayanmaktadır.

Çözümlü örnek 13 modelinde fiyat negatif olmadan en fazla kaç ürün satılabilir?**

Verilenler: Fiyat-talep fonksiyonu ve fiyatın negatif olamayacağını söyleyen koşulu.

İstenen: Modelin geçerli olduğu en büyük tam sayı satış miktarı.

1. adım: Fiyatın negatif olmaması istendiği için fonksiyon sıfırdan büyük veya sıfıra eşit tutulmaktadır:

2. adım: çıkarılmaktadır:

3. adım: ile bölünce yön dönmektedir:

Sonuç: Ürün sayısı tam sayı olmak zorunda olduğu için değer aşağı yuvarlanmakta ve üst satış sınırı adet olarak alınmaktadır.

Evrim Ağacı

Fiziksel Tanım Aralığı ve Model Sınırları

Bir fonksiyonun formülü bütün gerçek sayılar için hesaplanabilir olsa bile, temsil ettiği gerçek dünya olgusu girdileri sınırlandırmaktadır. Eşitsizlikler, özellikle fonksiyonların geçerli girdi kümesini ifade eden tanım aralığı (İng: "domain") belirlenirken ortaya çıkmaktadır. Sözgelimi pound başına dolardan satılan üzümlerin poundunun dolar cinsinden maliyeti şu fonksiyonla verilmektedir:

Bu formülde değişkeni pound, hesaplanan değeri ise dolar birimiyle ölçülmelidir. Matematiksel olarak yerine negatif sayılar yazmak mümkündür. Ancak negatif miktarda üzüm satın alınamayacağı için bu değerler fiziksel bir anlam taşımamaktadır.

Ayrıca satıcının elindeki ürün miktarı da sonsuz değildir. Marketin stokunda en fazla pound üzüm bulunuyorsa, maliyet modeli gerçekte sadece şu aralıkta geçerli olmaktadır:

Buradaki kısıtlaması, fiziksel anlamlılık ve stok sınırı tarafından belirlenen uygulamalı tanım aralığıdır.

Gerçekliği matematik yardımıyla yaklaşık olarak temsil eden her modelin kaçınılmaz sınırları bulunmaktadır. Örneğin yakıt modelindeki tüketim hızı sadece ideal sürüş koşullarında geçerlidir. Dahası bazı gerçek dünya olayları doğrusal fonksiyonlarla modellenememektedir.

Denklem ve Eşitsizlik Çözümünde Yaygın Hatalar

Denklem ve eşitsizlik çözümü belirli kurallara dayansa da, işlem adımları sırasında bazı cebirsel hatalar sıklıkla tekrarlanmaktadır. Julie Booth ve üç meslektaşı tarafından 2014 yılında yayımlanan araştırmada, cebirsel problem çözümünde kalıcı biçimde ortaya çıkan hatalar incelenmiş ve sınıflandırılmıştır.⁠^[11] Araştırma bu hataları değişken, negatif işaret ve eşitlik ile eşitsizlik başlıkları altında sınıflandırmıştır. Araştırmanın adlandırdığı dört hata şöyle özetlenebilmektedir.

• Benzer olmayan terimleri birleştirmek, ile 'i toplayıp yazmak gibi farklı yapıdaki terimleri tek bir terimde toplama hatasıdır.
• Terim taşırken işaret değiştirmemek, bir terimi eşitliğin diğer tarafına geçirirken işaretini olduğu gibi bırakma hatasıdır.
• İki tarafın dengesini bozmak, sol tarafa uygulanan bir işlemi sağ tarafa uygulamadan devam etme hatasıdır.
• Eşitsizlik yönünü hatalı değiştirmek, negatif sayıyla çarpma veya bölmede yönü çevirmeyi unutmak ya da pozitif sayıyla işlemde yönü gereksiz yere değiştirmektir.

Bu işlem hatalarının yanı sıra eşitsizliklerde daha incelikli bir matematiksel tuzak da bulunmaktadır. Bir eşitsizliğin iki tarafını bilinmeyen içeren bir ifadeyle çarpmak veya bölmek güçlük yaratmaktadır, çünkü bir değişken hem pozitif hem de negatif değerler alabilmektedir. İfadenin işareti önceden bilinmediği için eşitsizlik yönünün korunup korunmayacağı tek adımda belirlenememektedir. Bu nedenle böyle bir işlemde ifadenin işaretinin ayrıca dikkate alınması gerekmektedir.

Evrim Ağacı

Sonuç

Birinci dereceden denklem ve eşitsizlikler, sabit bir değişim hızına sahip nicelikler arasındaki ilişkileri eşitliği veya sıralama sembolleriyle çözerek aranan bilinmeyen değeri ya da çözüm aralığını belirleyen temel matematiksel araçlardır. Cebirsel ifadelerin her iki tarafında dengeyi koruyarak yapılan sadeleştirmeler, tek bir kök değerine (), tüm gerçek sayıları kapsayan bir özdeşliğe veya hiçbir çözümü bulunmayan bir çelişkiye ulaşmayı sağlamaktadır.⁠^{[2], [10]}

Bununla birlikte matematiksel olarak bütün gerçek sayılarda tanımlı görünen bir doğrusal fonksiyon, gerçek dünyadaki bir problemi modellerken fiziksel ve ekonomik sınırlarla kuşatılmaktadır. Hız ve zaman hesaplarında birimlerin birbiriyle tutarlı seçilmesi zorunlu olduğu gibi, negatif olamayan ürün fiyatları, tam sayıya yuvarlanması gereken üretim adetleri ve sadece ideal koşullarda geçerli kalan yakıt tüketim hızları her modelin tanım aralığını daraltmaktadır.⁠^[7] Ayrıca işlem adımlarında benzer olmayan terimleri birleştirmekten veya negatif sayıyla bölmede eşitsizlik yönünü unutmaktan kaçınmak, modelin doğru sonuç üretmesi için vazgeçilmezdir.⁠^[11]

Dokuzuncu yüzyılda Harizmi'nin sözcüklerle çözdüğü denklemlerden günümüzdeki Kirchhoff devre analizlerine ve maliyet-talep fonksiyonlarına kadar doğrusal denklemler kullanılmaktadır.⁠^[13] Bazı olaylar doğrusal fonksiyonlarla temsil edilemese de, sınır değerleri ve tanım aralıkları doğru belirlenen doğrusal modeller gerçek problemlerin çözümünde kullanılmaktadır.