Açısal Momentum Nedir? Açısal Momentumun Korunumu Nasıl Çalışır?

Açısal momentum (İng: "angular momentum"), bir parçacığın veya sistemin seçilen bir referans noktasına göre dönme hareketinin miktarını tanımlayan temel fiziksel büyüklüktür. Dönme hareketinde bu nicelik, öteleme hareketindeki çizgisel momentum (İng: "linear momentum") ile benzer bir rol üstlenmektedir. Bir parçacık için seçilen başlangıç noktasına göre hesaplandığında, parçacığın konum vektörü (İng: "position vector") ile çizgisel momentum vektörünün vektörel çarpımına (İng: "vector product") eşittir. Uluslararası Birimler Sistemi (SI) içindeki birimi olarak ifade edilmektedir.

Kollarını gövdesine doğru çeken bir buz patencisinin dönüş hızını saniyede radyandan radyana çıkarması, yön değiştiren küçük uydular ve saniyede yüzlerce kez dönen nötron yıldızları aynı fiziksel temele dayanmaktadır, çünkü bütün bu sistemlerin davranışını açısal momentumun korunumu (İng: "conservation of angular momentum") belirlemektedir. Ancak açısal momentum sadece eğrisel yolda dolanan cisimlere özgü değildir. Düz bir doğru boyunca sabit hızla ilerleyen tek bir parçacık bile seçilen bir referans noktasına göre sıfırdan farklı bir değere sahip olabilmektedir.

Açısal Momentum Nedir?

Klasik parçacık modelinde hareket eden bir parçacığın çizgisel momentumu, kütlesi ile hızı çarpılarak bağıntısıyla verilmektedir. Ancak uzaydaki bir noktaya veya eksene göre dönme etkisi ölçülmek istendiğinde bu çarpım tek başına yeterli olmamaktadır, çünkü hareketin referans alınan noktadan ne kadar uzakta ve hangi doğrultuda gerçekleştiği de dönme etkisini doğrudan değiştirmektedir. Bu nedenle dönme dinamiğinde çizgisel momentumun görevini açısal momentum devralmaktadır.

Bu büyüklüğü matematiksel olarak kurmak için önce uzayda sabit bir referans noktası seçilmektedir. Ardından noktasından parçacığa doğru çizilen yönlü doğru parçası konum vektörü olarak adlandırılmaktadır. Buna göre parçacığın açısal momentumu, ile vektörlerinin vektörel çarpımı alınarak şu denklemle tanımlanmaktadır:⁠^[1]

Denklemde parçacığın açısal momentumunu, konum vektörünü, ise çizgisel momentumu göstermektedir. Vektörel çarpım, konum ve hız bilgilerini tek bir büyüklükte birleştirmektedir. Böylece parçacığın konumu ile hareket doğrultusu arasındaki geometrik ilişki doğrudan hesaba katılmaktadır.

Boyut analizi yapıldığında bu çarpımın birimi de netleşmektedir. Konum vektörünün metre (), çizgisel momentumun ise kilogram metre bölü saniye () birimine sahip olması nedeniyle açısal momentumun SI birimi olmaktadır.⁠^[12] Mekanikte eylem (aksiyon) adı verilen fiziksel nicelik için de aynı birim kullanılmaktadır.

Moment Kolu Üzerinden Büyüklük Hesabı

Vektörel çarpım tanımı, yönün yanı sıra sayısal büyüklüğün nasıl hesaplanacağını da belirlemektedir. İki vektörün başlangıç noktaları çakışacak biçimde yerleştirildiğinde aralarında oluşan açı () olarak gösterilmektedir. Bu durumda büyüklük şu bağıntıyla hesaplanmaktadır:

Bu bağıntıda ifadesi vektörün sayısal büyüklüğünü, konum vektörünün uzunluğunu, ise çizgisel momentumun büyüklüğünü temsil etmektedir. Aradaki açının sinüsü bağıntıda çarpan olarak yer almaktadır. Bu yüzden iki doğrultu birbirine dik olduğunda () büyüklük en yüksek değerine ulaşmaktadır. Buna karşılık parçacık doğrudan referans noktasına yaklaşıyor veya bu noktadan tam dışarı doğru uzaklaşıyorsa ( ya da ) sinüs terimi sıfırdır. Bu durumda noktasına göre büyüklük de sıfır çıkmaktadır.

Evrim Ağacı

Aynı bağıntıyı geometrik olarak iki farklı dik bileşen üzerinden okumak da mümkündür. İlk yaklaşımda, noktasından çizgisel momentumun doğrultusunu belirleyen doğruya bir dikme indirilmektedir. Bu dik uzaklık moment kolu () adını almaktadır. Moment kolu kullanıldığında büyüklük çarpımına dönüşmektedir. İkinci yaklaşımda ise vektörünün doğrultusuna dik bileşeni () seçilmektedir. Aynı büyüklük böylece biçiminde yazılmaktadır.

Bu iki yöntem, özel yörünge geometrilerinde işlemi büyük ölçüde sadeleştirmektedir. Örneğin bir parçacık sabit yarıçaplı bir yolda çembersel hareket (İng: "circular motion") yaptığında, hız vektörü her an çemberin teğeti doğrultusunda kalmaktadır. Referans noktası çemberin merkezi seçildiğinde ise konum vektörü ile teğet doğrultudaki birbirine sürekli diktir. Dolayısıyla moment kolu doğrudan yörünge yarıçapına eşittir. Böylece çembersel yörüngede merkeze göre büyüklük halini almaktadır.⁠^[1]

Sağ El Kuralıyla Yön Tayini

Fiziksel bir sistemi tam olarak çözebilmek için sayısal değerin yanında yönün de belirlenmesi şarttır, çünkü açısal momentum bir vektörel nicelik (İng: "vector quantity") olarak tanımlanmaktadır. Yani büyüklüğü ile yönü her zaman birlikte ele alınmaktadır. Peki iki boyutlu bir düzlemde gerçekleşen dönmenin yönü neden üçüncü boyuttaki bir doğru boyunca gösterilmektedir?

Bu sorunun yanıtı vektörel çarpımın geometrisindedir, çünkü ve vektörleri uzayda tek bir düzlem tanımlamaktadır. Tanım gereği açısal momentumun yönü bu düzleme her zaman diktir. Örneğin yatay bir masa üzerinde dönen bir parçacıkta bu iki vektör masa yüzeyinde kalmaktadır. Bunların vektörel çarpımından doğan vektör ise masa yüzeyine dik doğrultuda yukarıya ya da aşağıya uzanmaktadır.

Bu dik doğrultunun yukarıyı mı yoksa aşağıyı mı gösterdiğini bulmak için sağ el kuralı (İng: "right-hand rule") uygulanmaktadır. Önce iki vektörün başlangıç noktaları aynı noktada birleştirilmektedir. Ardından sağ elin dört parmağı doğrultusunda uzatılmakta ve iki vektör arasındaki küçük dönüş yayı boyunca yönüne doğru kıvrılmaktadır. Bu sırada açık tutulan başparmak açısal momentumun yönünü göstermektedir. Sıralama tersine çevrilirse yön de tersine dönmektedir. Bu nedenle işlem her zaman ilk vektör olan yönünden ikinci vektör olan yönüne doğru yapılmalıdır.

Referans Noktası Seçiminin Sonuca Etkisi

Büyüklük ve yön kuralları bir araya getirildiğinde, sık karşılaşılan bir kavram yanılgısı da ortadan kalkmaktadır. Günlük sezgi, bir nesnenin açısal momentuma sahip olması için mutlaka bir merkez etrafında dönmesi gerektiğini düşündürmektedir. Fakat tanım denkleminde hareketin eğrisel olmasını zorunlu kılan hiçbir koşul yoktur. Nitekim doğrusal bir yolda sabit süratle giden bir cismin bile, bu yolun dışındaki bir noktaya göre açısal momentumu hesaplanabilmektedir.

Parçacık düz bir çizgide ilerlerken referans noktasına olan uzaklığı ve açısı değişmektedir. Yine de referans noktasından hareket doğrusuna indirilen dik uzaklık, yani moment kolu , sabit kalmaktadır. Hızı ve kütlesi sabit olan parçacığın çizgisel momentumu da değişmemektedir. Bu yüzden iki sabit büyüklüğün çarpımı, parçacık ilerledikçe sıfırdan farklı ve sabit bir vektör üretmektedir. Aşağıdaki örnek, bu durumu koordinat düzlemindeki somut veriler üzerinde göstermektedir.

Çözümlü örnek 1: Sabit hızlı bir parçacığın koordinat başlangıcına göre açısal momentumu nedir?

Verilenler: Kütlesi olan bir parçacık, hızı ve parçacığın anlık konumu koordinatları.⁠^[2]

İstenen: Koordinat başlangıcı referans alındığında vektörü.

1. adım: Konum vektörü, koordinatlar birim vektörlerle yazılarak elde edilmektedir:

2. adım: Kütle ile hız vektörü çarpılarak çizgisel momentum vektörü bileşenlerine ayrılmaktadır:

3. adım: İki vektörün vektörel çarpımı alınmakta ve birim vektörlerin çarpım kuralları ( ile ) uygulanmaktadır:

Sonuç: Parçacığın koordinat başlangıcına göre açısal momentumu olmaktadır.

Referans noktası seçiminin ne kadar belirleyici olduğu, tek bir parçacığın çembersel hareketinde daha da çarpıcı biçimde ortaya çıkmaktadır. Parçacık yatay bir düzlemde sabit süratle dönerken referans noktası çemberin merkezi seçilirse, vektörün büyüklüğü de yönü de sabittir. Oysa yörünge merkezinden farklı bir eksen noktası (örneğin çember düzleminin altındaki bir noktası) seçildiğinde tablo değişmektedir. Bu durumda konum vektörü yatay düzlemle eğik bir açı yapmakta ve buna dik olan vektörü de düşey eksenden sapmaktadır. Sonuçta parçacık dolandıkça vektörün büyüklüğü sabit kalmakta, yönü ise sürekli değişerek bir koni yüzeyi taramaktadır.

Evrim Ağacı

Katı Cisimlerin Dönme Hareketi

Tek bir parçacıktan çok parçacıklı gerçek sistemlere geçildiğinde, her parçacığın katkısını ayrı ayrı hesaba katmak gerekmektedir. Bu durumda sistemin noktasına göre toplam açısal momentumu, parçacıklara ait vektörlerin toplamıdır. Genel durumda bu toplam, seçilen referans noktasına bağlıdır. Ancak sistemin toplam çizgisel momentumu sıfırsa, bu toplam bütün referans noktaları için aynı değeri vermektedir.

Bu özellik, mekaniğin en kullanışlı referans sistemlerinden biri olan kütle merkezi (İng: "center of mass") kavramını öne çıkarmaktadır. Kütle merkezi referans çerçevesinde bir sistemin toplam çizgisel momentumu tanım gereği sıfırdır. Bu yüzden bu çerçevede hesaplanan açısal momentum, hangi nokta referans alınırsa alınsın değişmemektedir. Böylece karmaşık bir sistemde kütle merkezinin öteleme hareketi ile sistemin kendi etrafındaki dönmesi birbirinden temiz biçimde ayrılabilmektedir.

Tekerlek, çubuk, disk veya gezegen gibi nesneler incelenirken parçacıkların birbirine göre dağılımını sabitleyen katı cisim (İng: "rigid body") modeli kullanılmaktadır. Bu modelde cisim içindeki herhangi iki nokta arasındaki uzaklık zamanla değişmemektedir. Gerçek nesneler ise kuvvet altında esneyebilmektedir. Gerçek cisimleri katı cisim saymak bu nedenle bir idealizasyondur, ancak çoğu mekanik problemde son derece başarılı bir yaklaşımdır.

Bir katı cisim sabit bir dönme ekseni (İng: "axis of rotation") etrafında döndüğünde, cismin katı yapısı bütün noktaların eşzamanlı hareket etmesini sağlamaktadır. Dolayısıyla ekseni etrafında dönen cismin bütün kütle elemanları aynı sürede aynı açıyı taramakta ve aynı açısal hız (İng: "angular velocity") değerine sahip olmaktadır. Bu açısal hız, dönme açısı değerinin türevi alınarak şu bağıntıyla tanımlanmaktadır:⁠^[3]

Bu ifadede açısal hızın dönme ekseni yönündeki bileşenini, zamanı, ise dönme açısını göstermektedir. Seçilen pozitif yönünden bakıldığında saat yönünün tersine dönme için pozitif işaret almaktadır. Açısal hızın SI birimi radyan/saniyedir (). Bir radyan ise bir çemberin merkezinde gördüğü yayın uzunluğu yarıçapa eşit olan açıdır. Uygulamalarda saniyedeki devir sayısını veren frekans () ile açısal frekans () sıklıkla bir arada kullanılmaktadır. İkisinin sayısal değerleri çarpanı kadar farklıdır. Bu nedenle iki niceliği karıştırmak aynı oranda bir hataya yol açabilmektedir.

Eylemsizlik Momenti Hesaplamaları

Bütün kütle elemanları aynı açısal hızıyla dönse de, her birinin katettiği yolun uzunluğu aynı değildir. Dönme eksenine yakın elemanlar küçük çemberler çizerken, eksenden uzaktakiler aynı sürede çok daha geniş çemberler çizmektedir. Örneğin eksenden uzaklığındaki bir elemanın çizgisel hızı bağıntısıyla bulunmaktadır. Çizgisel hızın uzaklıkla birlikte artması, cismin enerjisini ve dönmeye karşı gösterdiği direnci doğrudan şekillendirmektedir.

Bu etkiyi görmek için cismin dönme kinetik enerjisi (İng: "rotational kinetic energy") incelenmektedir. Bu enerji, bütün kütle elemanlarının kinetik enerjileri toplanarak elde edilmektedir. Her elemanın hızı yerine yazıldığında ise bütün elemanlar için ortak bir çarpana dönüşmektedir. Bu çarpan toplamın dışına alınabilmektedir. Geriye kalan ve kütlenin dönme eksenine göre nasıl dağıldığını ölçen büyüklük eylemsizlik momenti (İng: "moment of inertia") olarak tanımlanmaktadır. Sürekli bir cisimde kütle merkezinden geçen eksene göre bu büyüklük, dik uzaklığın () karesiyle ağırlıklandırılan şu kütle integralidir:⁠^[3]

Bu integralde cismin sonsuz küçük kütle elemanını, ise bu elemanın dönme eksenine olan dik uzaklığını göstermektedir. Kütle ile uzaklığın karesinin çarpımından oluştuğu için eylemsizlik momentinin SI birimi olmaktadır. Bu tanımla dönme enerjisi şu biçimi almaktadır:

Denklemde dönme enerjisini, kütle merkezi eksenine göre eylemsizlik momentini, ise açısal hızı ifade etmektedir. İntegral farklı geometrilere uygulandığında cismin şeklinin önemi açıkça görülmektedir. Örneğin kütlesi ve yarıçapı olan ince ve düzgün bir diskte simetri eksenine göre değer, çarpımının yarısıdır. Kütlesi ve uzunluğu olan ince ve düzgün bir çubukta ise merkezden geçen dik eksene göre değer çarpımının on ikide biridir.

Evrim Ağacı

Aynı katı cisim kütle merkezinden değil de ona paralel başka bir ekseni etrafında döndürülürse ne değişmektedir? Bu durumda integrali baştan almak yerine paralel eksen teoremi kullanılmaktadır. Teoreme göre iki eksen arasındaki dik uzaklık olmak üzere yeni değer şu bağıntıyla bulunmaktadır:

Burada cismin toplam kütlesini göstermektedir. Aynı cismin farklı eksenlere göre farklı eylemsizlik momentine sahip olması, ince çubuğun merkez ve uç eksenleri karşılaştırıldığında hemen anlaşılmaktadır.

Çözümlü örnek 2: İnce ve düzgün bir çubuğun ucundan geçen dik eksene göre eylemsizlik momenti nedir?

Verilenler: Kütlesi ve uzunluğu olan ince ve düzgün bir çubuk, merkez eksenine göre değeri ve merkez ile uç arasındaki uzaklığı.

İstenen: Merkez eksenine paralel olan uç eksenine göre değeri.

1. adım: Uç ekseni merkez eksenine paralel olduğu için değerler paralel eksen teoremine yerleştirilmektedir:

2. adım: İkinci terim olduğundan iki kesir ortak paydada toplanmaktadır:

Sonuç: Uç eksenine göre değer olmaktadır. Yani ucundan döndürülen bir çubuk, ortasından döndürülene kıyasla dört kat büyük bir dirençle karşılaşmaktadır.

Sabit Eksen Etrafında Açısal Momentum

Eylemsizlik momenti kavramı, katı bir cismin açısal momentumunu parçacık parçacık toplama zahmetini ortadan kaldırmaktadır. Nitekim ekseni etrafında dönen bir cismin her kütle elemanı için katkısı toplandığında, kütle dağılımı doğrudan çarpanını vermektedir. Böylece sistemin açısal momentumunun bileşeni şu bağıntıyla ifade edilmektedir:

Bu eşitlikte eksen boyunca uzanan bileşeni, ise bu eksene göre eylemsizlik momentini göstermektedir. Cisim dönme eksenine göre simetrikse vektörün diğer bileşenleri birbirini sıfırlamaktadır. Örneğin simetrik bir halkada merkez etrafındaki vektörü, açısal hız vektörüyle aynı yöndedir.

Ne var ki bu basit çarpım ilişkisini bütün üç boyutlu hareketlere genellemek ciddi bir hatadır. Genel üç boyutlu harekette ile birbirine paralel olmak zorunda değildir. Örneğin cisim simetri ekseni dışındaki eğik bir eksen etrafında döndürüldüğünde vektör eşitliği koşulsuz kullanılamamaktadır. Küre gibi tam simetrik bir cisim merkezinden geçen sabit bir eksen etrafında döndüğünde ise iki vektör paralel kalmakta ve büyüklük doğrudan çarpımıyla bulunmaktadır.

Çözümlü örnek 3: Merkezinden geçen eksen etrafında dönen düzgün bir kürenin açısal momentumu kaçtır?

Verilenler: Kütlesi ve yarıçapı olan düzgün bir küre ile bu kürenin merkezinden geçen eksen etrafındaki değerindeki dönme periyodu.

İstenen: Kürenin açısal momentum büyüklüğü .

1. adım: Kürenin bir tam turunu tamamlama süresi olan periyodu kullanılarak açısal hız büyüklüğü bağıntısıyla radyan/saniye cinsinden hesaplanmaktadır:

2. adım: Kürenin eylemsizlik momenti için ifadesinde kütle ve yarıçap değerleri yerine konulmaktadır:

3. adım: Bulunan iki değer çarpılarak sonuca ulaşılmaktadır:⁠^[7]

Sonuç: periyotla dönen kürenin açısal momentumu üç anlamlı basamakla olmaktadır.

Tork Etkisi Altında Açısal Momentum

Bir sistemin açısal momentumunu değiştirmek için sisteme dışarıdan döndürücü bir etki uygulanması gerekmektedir. Kuvvetin bir referans noktasına veya eksene göre oluşturduğu bu döndürme etkisi tork (İng: "torque") olarak adlandırılmaktadır. Seçilen bir noktasına göre, noktasına uygulanan bir kuvvetinin torku şu vektörel çarpımla tanımlanmaktadır:⁠^[4]

Burada , noktasından kuvvetin uygulandığı noktasına uzanan konum vektörüdür. Tork da açısal momentum gibi vektörel bir niceliktir. Üstelik torkun hem yönü hem de büyüklüğü, hesabın hangi noktasına göre yapıldığına bağlıdır.

İki vektör arasındaki açı olduğunda torkun büyüklüğü bağıntısıyla hesaplanmaktadır. Kuvvetin doğrultusunu belirten çizgiye kuvvetin etki doğrusu denilmektedir. Referans noktasından bu doğruya çizilen dikmenin uzunluğu () torkun moment kolunu vermektedir. Kuvvet konum vektörüne paralel () veya zıt paralel () ise etki doğrusu doğrudan noktasının üzerinden geçmektedir. Bu durumda moment kolu sıfır olduğu için tork da sıfırdır. Menteşeye doğru itilen bir kapının dönmemesinin nedeni bu sıfır tork koşuludur.

Evrim Ağacı

Konum vektörünün birimi metre (), kuvvetin birimi newton () olduğundan torkun SI birimi newton metredir (). Burada birim sistemi açısından önemli bir ayrım vardır. İş ve enerji de kuvvet ile yolun çarpımından türetildiği için tork, enerjiyle (SI birimi joule) aynı fiziksel boyuta sahiptir. Buna rağmen tork ifade edilirken hiçbir zaman joule birimi kullanılmamaktadır.⁠^[12]

Net Tork Üzerinden Değişim Hızı

Tork ile açısal momentum arasındaki bağ, doğrusal hareketteki kuvvet ve çizgisel momentum ilişkisinin dönme hareketine taşınmasıyla kurulmaktadır. Örneğin tek bir parçacığın ifadesinin türevi alındığında çarpım kuralı gereği iki terim ortaya çıkmaktadır. İlk terim olan ifadesinde konumun türevi parçacığın hızına eşittir. Hız ile çizgisel momentum birbirine paralel olduğundan terimi özdeş olarak sıfırdır.

Geriye kalan ikinci terim çarpımıdır. Newton'ın İkinci Hareket Kanunu (İng: "Newton's second law"), bir parçacığa etkiyen net kuvveti momentumun türeviyle () ilişkilendirmektedir. Dolayısıyla türev yerine net kuvvet yazıldığında ifade doğrudan torka dönüşmektedir. Böylece bir parçacık için noktasına göre tork, aynı noktaya göre açısal momentumun değişim hızına eşit olmaktadır:⁠^[2]

Bu denklem çok parçacıklı bir sisteme genişletildiğinde iç kuvvetler ile dış kuvvetler birbirinden ayrılmaktadır. İç kuvvetlerin etkileşen iki parçacığı birleştiren doğru boyunca eşit büyüklükte ve zıt yönde etki ettiği modelde, kuvvet çiftlerinin etki doğruları çakışmaktadır. Dolayısıyla herhangi bir noktasına göre iç torklar birbirini götürmekte ve toplamları sıfır olmaktadır. Bu nedenle sistemin toplam açısal momentumunu değiştiren tek etken toplam dış torktur.

Dış tork belirli bir zaman aralığı boyunca etkidiğinde, torkun bu aralık boyunca alınan integrali dış açısal itme olarak tanımlanmaktadır. Kalkülüsün temel teoremi uyarınca bu itme, toplam açısal momentumdaki değişime () eşittir. Öte yandan sabit eksenli bir katı cisimde bağıntısının türevi alındığında, açısal hızın türevi açısal ivme (İng: "angular acceleration") büyüklüğünü () vermektedir. Bu yüzden net dış torkun eksen bileşeni, eylemsizlik momenti ile açısal ivmenin çarpımına dönüşmektedir:

Bu bağıntıda açısal ivmenin birimi radyan bölü saniye karedir (). Böylece net dış tork sıfırdan farklıysa, cismin açısal hızının ne kadar hızlı değişeceği doğrudan hesaplanabilmektedir.

Dönme İşi Üzerinden Sürtünme Analizi

Kuvvetin bir yer değiştirme boyunca iş yapması gibi, bir katı cisme etki eden tork da cisim belirli bir açı kadar döndüğünde iş yapmaktadır. Bu etkiye dönme işi denmektedir. Sabit tork durumunda dönme işi, tork ile açısal yer değiştirmenin () çarpımına eşittir. Ayrıca yapılan net iş, cismin dönme enerjisindeki değişime () eşit olmaktadır.

Motoru kapatılan bir vantilatör pervanesinin ya da pikap plağının bir süre sonra durmasının ardında bu süreç vardır, çünkü gerçek yataklarda ve temas yüzeylerinde her zaman sürtünme (İng: "friction") bulunmaktadır. Sürtünme kuvvetleri dönme yönüne ters bir sürtünme torku oluşturmaktadır. Bu tork negatif iş yaparak dönme enerjisini ısıya dönüştürmekte ve açısal momentumu sıfıra indirmektedir.

Evrim Ağacı

Çözümlü örnek 4: Motoru kapatılan bir pikap plağını durduran sürtünme torkunun büyüklüğü nedir?

Verilenler: Eylemsizlik momenti olan bir pikap plağı, plağın değerindeki ilk dönme frekansı ve motor kapatıldıktan sonra sabit açısal ivmeyle yavaşlayarak tam durma süresini veren zaman aralığı.

İstenen: Pikap plağını yavaşlatarak durduran sürtünme torkunun büyüklüğü .

1. adım: İlk dönme frekansı dakika başına devir biriminden radyan/saniye birimine dönüştürülmekte ve plağın sonunda durmasını sağlayan sabit açısal ivme hesaplanmaktadır:

2. adım: eşitliğinde iki büyüklük çarpılarak sürtünme torku bulunmaktadır:⁠^[4]

Sonuç: Plağı durduran torkun büyüklüğü iki anlamlı basamakla olmaktadır.

Açısal Momentumun Korunumu Nasıl Çalışır?

Dış torkun açısal momentumu değiştiren etken olduğu anlaşıldığında, korunum ilkesinin mekanik açıklaması da ortaya çıkmaktadır. Buna göre seçilen bir noktasına göre toplam dış tork sıfırsa, vektörünün türevi de sıfır olmak zorundadır:

Türevin sıfır olması, vektörün ne büyüklüğünün ne de yönünün değiştiği anlamına gelmektedir. Böylece sistemin son açısal momentumu başlangıçtakine eşit kalmaktadır (). Sistem kendi içinde biçim değiştirse bile, dışarıdan net bir tork etki etmediği sürece toplam vektör sabit kalmaktadır.

Klasik mekanikte tork dengesiyle açıklanan bu korunum yasası, modern teorik fizikte çok daha derin bir ilkeye bağlanmaktadır. Matematikçi Emmy Noether, 1918 yılında Göttingen'de yayımlanan "Invariante Variationsprobleme" (235-257. sayfalar) başlıklı çalışmasında fizik yasalarının simetrileri ile korunan büyüklükler arasındaki matematiksel bağı kanıtlamıştır.⁠^[14] Noether teoremi, bir fiziksel sistemde bulunan her sürekli simetri için korunan bir nicelik bulunduğunu ortaya koymaktadır.

Bu genel çerçevede açısal momentumun korunumu, dönme simetrisiyle doğrudan ilişkilidir.⁠^[13] Bir sistem uzayda herhangi bir açı kadar döndürüldüğünde onu yöneten yasalar değişmiyorsa, sistem dönme simetrisine sahiptir. Yani uzay her yönde eşözellikli (izotropik) davranmaktadır. Dolayısıyla uzayın yönlere göre ayrıcalık tanımayan bu simetrisi, dış torktan yalıtılmış her sistemde açısal momentumun değişmez kalmasını zorunlu kılmaktadır.

Buz Patencisi Örneğinde Hız Artışı

Korunum ilkesinin en bilinen uygulaması, buz üzerinde dönen bir artistik buz patencisinin hareketidir. Dönmekte olan patenci, sadece vücut duruşunu değiştirerek kendi eylemsizlik momentini değiştirebilmektedir. Buz ile paten bıçağı arasındaki sürtünme ihmal edildiğinde, patenciye düşey eksen etrafında etkiyen net dış tork sıfırdır. Bu durumda patencinin bu eksen boyunca sahip olduğu açısal momentum hareket süresince sabit kalmaktadır ().

Sabit eksenli dönmede ve olduğundan, korunum koşulu doğrudan eşitliğini vermektedir. Patenci kollarını gövdesine çektiğinde, kollarındaki kütlenin dönme eksenine olan dik uzaklığı azalmaktadır. Sonuçta toplam eylemsizlik momenti küçülmektedir. Dolayısıyla çarpımın sabit kalabilmesi için açısal hızın aynı oranda artması gerekmektedir.

Evrim Ağacı

Çözümlü örnek 5: Kollarını kapatan bir buz patencisinin son açısal hızı kaçtır?

Verilenler: Buz üzerinde kolları açıkken ilk açısal hızla dönen bir patenci ve kollarını indirdiğinde ilk eylemsizlik momentinin son eylemsizlik momentine oranını veren değeri (sürtünme ihmal edilmektedir).

İstenen: Patencinin kollarını indirdikten sonraki son açısal hızı .

1. adım: Sürtünme ihmal edildiğinde olduğundan, ilk ve son durumlar eşitlenerek yalnız bırakılmaktadır:

2. adım: Oran ile ilk açısal hız çarpılarak hesaplanmaktadır:⁠^[7]

Sonuç: Eylemsizlik momentini sekizde birine indiren patencinin son açısal hızı olmaktadır.

Bu örnekte sıkça gözden kaçan önemli bir enerji sorusu vardır. Açısal momentum sabit kalırken enerji de sabit midir?

Çözümlü örnek 6: Kollarını indiren patencinin dönme enerjisi kaç katına çıkmaktadır?

Verilenler: Patencinin korunan açısal momentumu (), önceki örnekte bulunan oranı ve bağıntısı.

İstenen: Son enerjinin ilk enerjiye oranı .

1. adım: Kinetik enerji, eşitliği kullanılarak cinsinden yazılmaktadır:

2. adım: İlk ve son durumlarda aynı kaldığından iki enerji oranlanarak açısal hızların oranı elde edilmektedir:

Sonuç: Patencinin dönme enerjisi, kollarını indirdiğinde sekiz katına çıkmaktadır.

Dışarıdan tork uygulanmadığı halde bu ek enerji nereden gelmektedir? Patenci dönmekte olan kollarını içeri çekerken kaslarıyla içeri doğru bir kuvvet uygulamakta ve bu kuvvet kolların radyal yolu boyunca pozitif iş yapmaktadır.⁠^[8] Dolayısıyla patencinin kollarını çekerken yaptığı iç iş, dönme enerjisini artırmaktadır. Ancak gerçek bir pistte hiçbir patenci sonsuza kadar dönememektedir, çünkü hava direnci ve buzla sürtünme dış tork oluşturarak dönüşü zamanla yavaşlatmaktadır.⁠^[10]

Çarpışma Problemlerinde Korunum Koşulları

Bir parçacığın sabit bir eksene tutturulmuş çubuğa çarpması gibi problemlerde hangi korunum yasasının geçerli olduğu dikkatle seçilmelidir. Üst ucundaki sabit bir pivot (menteşe) noktası etrafında serbestçe dönebilen düşey bir çubuk ve ona yatay gelerek çarpan bir parçacık, bu seçimin önemini açıkça göstermektedir. Çarpışma anında parçacık çubuğu itmektedir. Bu sırada pivot mili de çubuğun yerinden kopup savrulmasını engellemek için sisteme bir dış pivot kuvveti uygulamaktadır.

Sistem olarak çubuk ve parçacık ikilisi seçildiğinde, pivot noktasındaki bu dış kuvvet sistemin toplam çizgisel momentumunu değiştirmektedir. Net dış kuvvet sıfır olmadığı için sistemin çizgisel momentumu korunmamaktadır. Benzer şekilde, çarpışmanın esnek olup olmadığı bilinmeden mekanik enerjinin korunduğu da varsayılamamaktadır.

Bu durumda çarpışma nasıl çözülmektedir? Çözümün anahtarı, referans noktası olarak sabit pivot noktasının seçilmesindedir. Dış pivot kuvveti tam olarak pivot noktasına uygulandığı için moment kolu sıfırdır. Dolayısıyla bu kuvvet pivot etrafında hiçbir tork oluşturmamaktadır. Ani çarpışma süresince pivot etrafındaki toplam dış tork sıfır olduğundan, sadece pivot noktasına göre açısal momentum korunmaktadır. Bu analiz, çizgisel momentum korunmasa bile doğru seçilmiş bir noktaya göre açısal momentumun korunabileceğini göstermektedir.

Evrim Ağacı

Günlük Yaşamdan Uzay Teknolojisine Uygulamalar

Sabit bir mil etrafında dönen sistemlerden üç boyutlu uzayda hem öteleme hem dönme yapan cisimlere geçildiğinde hareket iki bileşene ayrılmaktadır. Bu durumda cismin herhangi bir noktasına göre toplam açısal momentumu, kütle merkezinin etrafındaki dolanımından gelen yörüngesel katkı ile cismin kendi kütle merkezi etrafındaki dönmesinden (spin) gelen katkının toplamına ayrılabilmektedir.⁠^[5] Bu ayrım sayesinde karmaşık sistemlerin dinamiği kolayca çözümlenebilmektedir.

Doğada ve günlük yaşamda dönme ekseninin yön değiştirdiği pek çok hareket bulunmaktadır. Bu hareketlerin başlıca örnekleri aşağıda sıralanmaktadır.

• Dönen bir bisiklet tekerleğinin dönme ekseninin yönü değişebilmektedir.
• Hızla dönen bir topacın dönme ekseni de presesyon yapabilmektedir.
• Masa üzerinde dönen bir madeni paranın dönme ekseni de presesyon yapabilmektedir.
• Hızlı dönen bir jiroskop (İng: "gyroscope"), dış tork altında eksenini yatay düzlemde döndürmektedir.
• Dünya'nın dönme ekseni, presesyon nedeniyle uzayda bir koni yüzeyi çizmektedir.

Jiroskop Dengesinde Presesyon Mekanizması

Dönme ekseninin yön değiştirdiği sistemlerin en öğretici örneği jiroskop düzeneğidir. Bir jiroskop, simetrik bir diskin bir mil üzerine yerleştirilmesiyle oluşturulmaktadır. Disk dönmüyorken milin bir ucu destek kulesinin (pilonun) üzerine bırakılırsa, kütle çekim kuvveti (İng: "gravitational force") cismi anında devirmektedir. Oysa disk kendi ekseni etrafında büyük bir açısal hızıyla döndürülüp bırakıldığında yere düşmemektedir. Bunun yerine kütle merkezi, destek noktasından geçen düşey eksen etrafında yatay bir çember çizmeye başlamaktadır. Dönme ekseninin başka bir eksen etrafında bu şekilde dolanmasına presesyon hareketi adı verilmektedir.

Jiroskobun neden düşmediğini anlamak için kuvvetleri ve bunların noktasına göre torklarını incelemek gerekmektedir. Kararlı presesyon yapan jiroskopta düşey ivme bulunmadığından, temas kuvvetinin düşey bileşeni ağırlığı tam olarak dengelemektedir. Üstelik temas kuvveti doğrudan noktasında etkidiği için bu kuvvetin noktasına göre torku sıfırdır. Destek noktası etrafında tork oluşturan tek etken bu yüzden kütle merkezinden aşağı doğru etkiyen ağırlıktır.

Peki aşağı çeken ağırlığın torku neden tekerleği devirmek yerine yatay düzlemde döndürmektedir? Sağ el kuralı uygulandığında, noktasından kütle merkezine uzanan yatay vektörü ile aşağı yönlü ağırlığının çarpımı olan tork vektörü yatay düzlemde ve mil eksenine dik bir yönde çıkmaktadır. Temel dinamik yasası uyarınca, açısal momentumdaki değişim her zaman torkla aynı yönde olmak zorundadır.⁠^[5]

Jiroskop yaklaşımı, presesyon açısal hızının () diskin kendi ekseni etrafındaki dönme hızından () çok küçük olduğu durumu ele almaktadır (). Bu yaklaşımda iki hız da yaklaşık sabit kalmaktadır. Yatay tork, zaten çok büyük olan vektörüne her an dik etkiyerek vektörün büyüklüğünü değiştirmeden sadece yönünü yatay düzlemde çevirmektedir. Böylece jiroskop mili düşmek yerine düşey eksen etrafında kesintisiz presesyon yapmaktadır.

Uzay Araçlarında Reaksiyon Tekerlekleri

Korunum ilkesi, sadece laboratuvardaki jiroskoplarda değil, uyduların ve uzay teleskoplarının yönlendirilmesinde de kritik bir mühendislik aracıdır. Modern uzay teknolojisinde minyatürleştirilmiş reaksiyon tekerlekleri, küçük uzay araçlarının üç eksende hassas biçimde yönlendirilmesini sağlamaktadır.⁠^[9]

Reaksiyon tekerleği sistemi, uzay aracının gövdesine üç eksende kontrol sağlayan tekerleklerden oluşmaktadır. Araca dışarıdan etkiyen net tork sıfır olduğunda, gövde ve tekerleklerden oluşan toplam sistemin açısal momentumu sabit kalmaktadır. Araç burnunu belirli bir yöne çevirmek istediğinde ilgili eksendeki tekerleği hızlandırmaktadır. Tekerleğin bir yönde döndürülmesi, korunum gereği gövdenin kütle merkezi etrafında ters yönde dönmesine yol açmaktadır. Benzer şekilde, aracın fırlatma roketinden ayrılırken kazandığı istenmeyen açısal momentum tekerleklerde depolanabilmektedir. Böylece gövdenin açısal hızı sıfıra yaklaştırılmaktadır.

Bir görev için tekerlek seçilirken üç temel parametre dikkate alınmaktadır. Bunlar aracın eylemsizlik momenti, gereken momentum depolama kapasitesi ve aracın yön değiştirme hızı (İng: "slew rate") gereksinimleridir. Ayrıca üç ekseni kontrol etmek için üç tekerlek yeterli olsa da, bir tekerleğin arızalanma ihtimaline karşı yedeklilik sağlamak amacıyla sıklıkla dört tekerlekli düzen kullanılmaktadır.

Yine de reaksiyon tekerleklerinin tek başına aşamayacağı bir sınır vardır. Araca küçük ama sürekli dış torklar etkidiğinde, aracı sabit tutmak isteyen tekerlek sürekli aynı yönde hızlanmaktadır. En yüksek dönme hızına erişen tekerlek doygunluğa (satürasyona) girmekte ve artık ilgili eksende ek tork üretememekte ya da momentum depolayamamaktadır.⁠^[9] Bu nedenle doygunluğun periyodik olarak giderilmesi gerekmektedir. Bu işlem, araca gerçek bir dış tork uygulayan iticiler veya manyetik torklayıcılar çalıştırılarak gerçekleştirilmektedir.

Evrim Ağacı

Gök Mekaniğinde Açısal Momentumun Rolü

Gezegen sistemleri ölçeğine çıkıldığında hareketi yöneten baskın etken kütle çekimidir. Gök mekaniğinde birbirini çeken iki gökcisminin hareketi (iki cisim problemi), matematiksel olarak sabit bir merkeze yönelmiş kütle çekim kuvvetinin etkisindeki indirgenmiş kütleli () tek bir cismin hareketine dönüştürülebilmektedir.⁠^[6] Böylece Güneş ve bir gezegenin karşılıklı dolanımı, merkez etrafında dolanan tek bir parçacık problemi gibi çözülebilmektedir.

Bu modelde gezegene etkiyen kütle çekim kuvveti, her an çekim merkezine doğru yönelmiş bir merkezcil kuvvet (İng: "centripetal force") niteliğindedir. Referans noktası olarak çekim merkezi seçildiğinde, konum vektörü ile kuvvet vektörü birbirine zıt paraleldir (). Dolayısıyla merkezi kuvvetin oluşturduğu tork her an sıfırdır.

Torkun sıfır olması, gezegenin açısal momentum vektörünün hem büyüklük hem yön bakımından sabit kalmasını sağlamaktadır. Bu vektör her zaman konum ve hız vektörlerinin düzlemine dik olduğu için, yönünün değişmemesi yörünge (İng: "orbit") düzleminin de sabit kalmasını zorunlu kılmaktadır. Yörüngenin şekli ise hareketin korunan iki sabiti olan mekanik enerji ve açısal momentum değerlerine bağlı olarak daire, elips, parabol veya hiperbol olabilmektedir. Öte yandan yörüngeyi tek bir merkezi kuvvetle açıklayan bu model, diğer bütün gökcisimlerinin kütle çekim etkileşimlerini ihmal eden analitik bir yaklaşımdır.

Kepler Kanunlarında Eşit Alanlar İlkesi

Gökbilimci Johannes Kepler, gezegen hareketini betimleyen yasaları formüle etmiştir. Bugün Kepler kanunları (İng: "Kepler's laws") olarak adlandırılan ilk iki yasasını açıklayan "Astronomia Nova" adlı eserini ise 1609 yılında yayımlamıştır.⁠^[16] Bu yasaların ikincisine göre, Güneş'ten gezegene uzanan yarıçap vektörü (İng: "radius vector") eşit zaman aralıklarında eşit alanlar taramaktadır.

Kepler'in formüle ettiği bu yasanın neden geçerli olduğunu mekanik ilkelerle kanıtlayan isim ise Isaac Newton olmuştur. Newton, "Principia" adlı eserinin Birinci Kitap, İkinci Bölümünde merkezi kuvvetlerin belirlenmesini ele almıştır. Buradaki Birinci Önermede, merkezcil kuvvet altındaki bir cismin yarıçap vektörünün tek bir sabit düzlemde eşit zamanlarda eşit alanlar taradığını geometrik olarak kanıtlamıştır.⁠^[15]

Yarıçap vektörünün birim zamanda taradığı alan, yani alan tarama hızı, kutupsal koordinatlarda şu bağıntıyla verilmektedir:

İndirgenmiş kütle için açısal momentumun büyüklüğü, çarpımı ile açısal hızın çarpımına eşittir. Bu nedenle alan tarama hızı doğrudan şu denkleme dönüşmektedir:⁠^[6]

Hem hem de hareket boyunca sabit olduğundan alan tarama hızı da sabittir. Kütlesi olan bir uydunun eliptik yörüngesinde merkeze en yakın noktada (uzaklık , sürat ) ve en uzak noktada (uzaklık , sürat ) hız vektörü yarıçap vektörüne diktir. Bu iki noktada korunum ilkesi eşitliğini vermektedir. Gezegenler de bu yüzden yörünge boyunca sabit süratle hareket etmemekte, Güneş'e yakınken daha hızlı, uzakken daha yavaş ilerlemektedir.

Evrim Ağacı

Gelgit Etkileşimlerinden Pulsarlara Korunum

Gökcisimleri noktasal kütleler yerine şekil değiştirebilen okyanus ve kabuk katmanlarına sahip gerçek cisimler olarak ele alındığında, kendi eksenindeki dönme ile yörünge hareketi arasında açısal momentum alışverişi başlayabilmektedir. Bunun en yakın örneği Dünya ile Ay arasındaki gelgit etkileşimidir. Ay'ın kütle çekimi Dünya üzerinde gelgit kabarıklıkları oluşturmaktadır. Ancak Dünya kendi ekseni etrafında, Ay'ın Dünya etrafındaki dolanımından daha hızlı dönmektedir. Bu hızlı dönüş, Ay'a bakan gelgit kabarıklığını Ay'ın tam tepede olduğu konumun önüne taşımaktadır.⁠^[10]

Ay ile bu öndeki kabarıklık arasındaki çekim kuvveti tam merkezden geçmediği için Dünya üzerinde yavaşlatıcı, Ay üzerinde ise hızlandırıcı bir tork doğurmaktadır. Dünya-Ay sisteminin toplamında korunan açısal momentum, bu yolla Dünya'nın kendi eksenindeki dönmesinden Ay'ın yörünge hareketine aktarılmaktadır. Aktarımın yönünü belirleyen, Dünya'nın dönüşünün Ay'ın dolanımından hızlı olmasıdır. Bu sürekli aktarım, Dünya'da günün uzamasına ve Ay'ın giderek daha uzakta dolanmasına yol açmaktadır.

Korunumun bir başka örneği ise ölen yıldızlarda ortaya çıkmaktadır. Ömrünü tamamlayan büyük kütleli bir yıldızın çekirdeği kendi kütle çekimi altında çöktüğünde, geride pulsar (İng: "pulsar") adı verilen, güçlü manyetik alana sahip, çok yoğun bir nötron yıldızı kalıntısı bırakmaktadır.⁠^[11] Çekirdek, başlangıçtaki boyutundan çok daha küçük ve yoğun bir küreye sıkışmaktadır. Yarıçap (ve dolayısıyla eylemsizlik momenti) son derece küçülürken açısal momentum korunduğu için nötron yıldızı olağanüstü bir açısal hız kazanmaktadır.

Sıkışan yıldızın hızlanması ile bir buz patencisinin uzuvlarını eksene yaklaştırınca hızlanması, aynı fizik ilkesinin iki farklı ölçekteki uygulamasıdır. Hızla dönen bu nötron yıldızları uzaya güçlü ışınım demetleri yaymaktadır. Demet her dönüşte Dünya'yı taradığında, bir deniz fenerinin ışığı gibi gözlemciye düzenli bir ışınım atımı olarak görünmektedir. Hatta milisaniye pulsarları olarak adlandırılan en hızlı örnekler saniyede yüzlerce kez dönebilmektedir.

Sonuç

Açısal momentum, bir parçacığın ya da katı cismin seçilen bir referans noktasına göre dönme durumunu konum, çizgisel momentum ve kütle dağılımı üzerinden belirleyen, dış tork bulunmadığında uzayın dönme simetrisi gereği korunan temel vektörel niceliktir.⁠^[13] Kollarını kapatan bir buz patencisinin kendi kaslarıyla yaptığı iç iş sayesinde hızlanmasından, küçük uydulardaki reaksiyon tekerleklerinin yönelim kontrolü sağlamasına ve çöken yıldız kalıntılarının saniyede yüzlerce kez dönen milisaniye pulsarlarına dönüşmesine kadar bütün dönme süreçleri aynı korunum yasasıyla işlemektedir.⁠^{[8], [11]}

Bununla birlikte incelenen mekanizmalar, korunum yasalarının hangi sınırlar ve varsayımlar altında geçerli olduğunu da netleştirmektedir. Sabit bir pivot etrafındaki çarpışmalarda dış destek kuvveti yüzünden çizgisel momentum korunmazken sadece pivot noktasına göre açısal momentum korunmakta, gezegenlerin kapalı bir elips üzerinde eşit zamanlarda eşit alanlar taraması ise evrendeki diğer gökcisimlerinin çekim etkilerini ihmal eden iki cisimli merkezi kuvvet yaklaşımına dayanmaktadır. Günümüzün yüksek hassasiyet gerektiren uzay aracı yörünge hesaplarında ve gökcisimlerinin kütle ölçümlerinde ise bilim insanları bu klasik mekanik çerçeveyi tek başına yeterli saymamakta, hesaplara Albert Einstein'ın görelilik teorisiyle ilişkili düzeltmeleri de dahil etmektedir.⁠^[16]