Basit Harmonik Hareket Nedir? Basit Harmonik Harekette Periyot, Genlik ve Frekans Nasıl Hesaplanır?

Basit harmonik hareket (İng: "simple harmonic motion"), bir sistemin ivmesinin ve sisteme etki eden net kuvvetin denge konumuna göre yer değiştirmeyle doğru orantılı olduğu özel bir salınım hareketidir.⁠^[1] Dahası bu net kuvvet her an yer değiştirmenin ters yönünde etki etmektedir. Denge konumunda ise net kuvvet sıfırdır. Sürtünmesiz yatay bir yüzeyde ideal yaya bağlı bir kütle veya küçük açılarla salınan bir sarkaç, bu hareketin en temel örnekleridir. Cisim denge noktasından uzaklaştırıldığında ortaya çıkan kuvvet kütleyi yeniden denge konumuna doğru çekmekte, böylece sistem denge noktası çevresinde, zamana göre sinüzoidal biçimde salınmaktadır.

Su üzerinde düşey salınan bir tekneden otomobil süspansiyonlarına ve müzik aletlerinin titreşen tellerine kadar pek çok sistem, uygun koşullar altında bu modelle iyi bir yaklaşımla betimlenebilmektedir. Ancak sarkacın periyodunun asılı kütleye bağlı olduğu düşüncesi, bir öğretim kaynağında açıkça kavram yanılgısı olarak adlandırılmaktadır.⁠^[11] Oysa küçük açılarla salınan bir sarkacın ucundaki kütleyi değiştirmek bir tam salınımın süresini hiç etkilememekte, ideal bir yayı biraz daha fazla çekip bırakmak da bu süreyi değiştirmemektedir. Bu yazıda hareketin temel büyüklükleri, konum ve enerji denklemleri, yay ile sarkaç düzenekleri ve ideal modelin gerçek dünyadaki sınırları ele alınmaktadır.

Dengeye Dönen Hareket: Tanım, Genlik, Periyot ve Frekans

Periyodik hareket (İng: "periodic motion"), düzenli zaman aralıklarında kendini tekrarlayan her türlü harekettir. Salınan bir sistem, net kuvvetin sıfır olduğu bir denge konumu çevresinde hareket etmektedir. Bu noktanın iki yanındaki kuvvetler cismi yeniden dengeye doğru yönlendiriyorsa sistemde kararlı denge (İng: "stable equilibrium") bulunmakta, bu nedenle böyle bir noktada duran cisme küçük bir bozucu etki uygulandığında cisim bu nokta çevresinde salınıma başlamaktadır.⁠^[2] Sistemi her defasında dengeye geri döndürmeye çalışan bu net kuvvete geri çağırıcı kuvvet (İng: "restoring force") adı verilmektedir.

Ancak her periyodik hareket basit harmonik hareket sayılmamaktadır, çünkü bunun için ivme ve net kuvvetin yer değiştirmeyle doğru orantılı ve yer değiştirmeye zıt yönlü olması gerekmektedir. Sürtünmesiz yatay yüzeyde ideal bir yaya bağlı cismin geri çağırıcı kuvveti Hooke yasası (İng: "Hooke's law") ile açıklanmaktadır. Bu yasa şu bağıntıyla yazılmaktadır:

Denklemdeki denge konumuna göre yer değiştirmeyi gösterirken, eksi işareti kuvvetin her zaman yer değiştirmeye ters yönde etki ettiğini belirtmektedir. Bu durumda sağa çekilen cisim sola, sola sıkıştırılan cisim ise sağa doğru bir kuvvetle karşılaşmaktadır.

Orantı katsayısı yay sabitidir (). Bu sabit, geri çağırıcı kuvvet büyüklüğünün yer değiştirme büyüklüğüne oranını ifade etmektedir. Tek boyutlu harekette bu oran eşitliğiyle tanımlanmakta, dolayısıyla yay sabitinin Uluslararası Birim Sistemi'ndeki (SI) birimi newton/metre (N/m) olmaktadır. Doğrusal kuvvet yasasına uyan böyle ideal bir sistem, zaman içinde sinüzoidal bir değişim göstermekte ve tek bir doğal frekansla salınmaktadır.

Salınımın uzamsal genişliğini ölçen büyüklük genlik (İng: "amplitude") olarak adlandırılmakta, ile gösterilmekte ve cismin denge konumundan ulaşabildiği en büyük yer değiştirme büyüklüğünü ifade etmektedir. Yaylı bir cisimde hem yer değiştirme hem de genlik metre (m) veya santimetre (cm) birimiyle ölçülmektedir. Burada sık düşülen bir hata vardır. Cisim denge noktasının negatif seçilen tarafına geçtiğinde konumu eksi işaretli bir sayıyla gösterilebilmektedir. Fakat negatif konum, negatif genlik anlamına gelmemektedir, çünkü genlik bir büyüklüktür ve hiçbir koşulda negatif değildir.

Hareketin zamansal düzenini belirleyen ilk nicelik ise ile simgelenen periyottur (İng: "period"). Bir tam salınımın tamamlanma süresi olan periyot, genellikle saniyeyle (s) ölçülmektedir. Ne var ki bir tam çevrimin ne zaman bittiği çoğu kez yanlış yorumlanmaktadır. Cismin aynı denge noktasına yeniden ulaşması tek başına tam bir salınım demek değildir. Bir tam periyot sonunda hem yer değiştirme hem de hız başlangıç değerlerine dönmektedir.

Periyotla doğrudan bağlantılı diğer nicelik, ile gösterilen frekanstır (İng: "frequency"). Frekans, birim zamanda gerçekleşen tam salınım sayısıdır. Bu nedenle iki nicelik arasında şu bağıntı geçerlidir:

Frekansın SI birimi olan hertz (Hz), saniyede bir çevrime karşılık gelmektedir. Tıpta kullanılan bir aygıt, bu bağıntıyı somut bir örnekle göstermektedir.

Çözümlü örnek 1: Bir ultrason aygıtının frekansı kaçtır?

Verilenler: Ultrason üreten bir tıbbi görüntüleme aygıtı, periyotla salınmaktadır. Mikrosaniye (μs), saniyenin milyonda biridir.

İstenen: Aygıtın frekansı, yani .

1. adım: Frekans hertz cinsinden istendiği için periyot önce saniyeye çevrilmektedir:

2. adım: Frekans periyodun tersi olduğundan saniye cinsinden periyot kesrin paydasına yazılmaktadır:

Sonuç: Aygıtın frekansı , yani saniyede iki buçuk milyon salınım olarak bulunmaktadır.

Harrison Keely, CC BY 4.0

Konum, Hız ve İvme Denklemleri

Salınan bir kütlenin herhangi bir anındaki konumu zamana bağlı bir fonksiyonla belirlenmekte ve basit harmonik hareketin genel konum denklemi şu biçimde yazılmaktadır:

Burada saniyeyle, metre veya santimetreyle ölçülmektedir. Parantez içindeki ise başlangıç fazı (İng: "phase shift") adını taşımakta, radyanla ölçülmekte ve anında hareketin salınım döngüsünün hangi noktasından başladığını belirlemektedir. Sinüs ve kosinüs birbirinden sadece bir faz kaymasıyla ayrılmaktadır. Bu nedenle aynı hareket iki fonksiyonla da modellenebilir.

Denklemde zamanın katsayısı olan büyüklüğüne açısal frekans (İng: "angular frequency") denmekte ve bu büyüklük periyot ile frekansa bağıntısıyla bağlanmaktadır. Cismin anlık hızı ise konum-zaman grafiğinin herhangi bir andaki eğimine, yani konumun zamana göre türevine eşittir.⁠^[10] Böylece bu konum seçimi için hız denklemi şu biçimde elde edilmektedir:

Yani cismin ulaşabildiği en büyük sürat değeridir.

Hız-zaman grafiğinin eğimi de ivmeyi vermektedir. Aynı konum seçimi için ivme denklemi şudur:

En büyük ivme büyüklüğü ise olmaktadır. Dikkat edilirse bu denklemdeki kısmı doğrudan konum fonksiyonuna eşittir, dolayısıyla tek boyutlu harekette bağıntısı elde edilmektedir. Bu sonuç, ivmenin her an yer değiştirmeyle orantılı ve ters işaretli olduğunu doğrulamaktadır.

Üç grafiği aynı zaman ekseninde okumak bu uyumu görünür kılmaktadır. Konum eğrisi tepe noktasına ulaştığında eğim sıfır olmaktadır. Hız eğrisi de tam bu anda sıfır çizgisini kesmektedir. Oysa konum eğrisi çizgisini keserken eğim en dik halini almakta ve sürat değerine çıkmaktadır. Bu çeyrek periyotluk kayma, hızın yer değiştirmenin radyan önünde gittiğini göstermektedir. İvme ile yer değiştirme arasındaki faz farkı ise tam radyandır. Konum tepedeyken ivme çukurdadır.

Çembersel Hareketle Bağlantı

Denklemlerdeki kosinüs ve sinüsün fiziksel anlamı, düzgün çembersel hareketle karşılaştırıldığında geometrik olarak netleşmektedir.⁠^[3] Örneğin yarıçapı olan bir diskin kenarına bir çivi yerleştirildiği ve diskin sabit açısal hızıyla döndüğü bir düzenek düşünülebilir. Bu çivi düzgün çembersel hareket yapmaktadır. Disk yandan ışıkla aydınlatıldığında çivinin gölgesi arkadaki perdeye düşmektedir. Perdedeki bu nokta x ekseni boyunca ileri geri gidip gelmektedir. Sabit açısal hızla dönen çivinin x ekseni üzerindeki bu izdüşümü basit harmonik hareket yapmaktadır. Çemberin yarıçapı salınımın genliğine karşılık geldiği için gölge ile arasında salınmaktadır.

Bu modelde çember üzerindeki hareketi perdedeki izdüşümden ayırmak gerekmektedir. Çivi her an sabit süratiyle dönmektedir. Ancak gölgenin hızı sabit değildir. İzdüşümün hızı, yani eş zamanlı giden yaylı bloğun hızı, çembersel hızın sadece x bileşenine eşittir. Örneğin çivi uç hizalardan geçerken hız vektörü x eksenine dik olduğundan gölgenin yatay hızı sıfır olmaktadır. Buna karşılık çivi hizasından geçerken hız vektörü x eksenine paralel uzanmakta ve gölgenin sürati büyüklüğüne ulaşmaktadır.

Yay ve Kütle Sistemi: Periyodu Ne Belirler?

Açısal frekansın ve periyodun sistemin hangi fiziksel özelliklerinden kaynaklandığını görmek için ideal yay ve kütle düzeneği incelenmektedir. Bu modelde yatay yüzey sürtünmesiz kabul edilmektedir. Ayrıca yayın kendi kütlesi, bağlı cismin kütlesi yanında ihmal edilmektedir. Hooke yasasının geçerli kalması için yayın aşırı uzatılmaması da gerekmektedir. Bu şartlarda ilişkisi geçerlidir. Açısal frekans, periyot ve frekans buradan şu bağıntılarla elde edilmektedir:⁠^[10]

Bu formül, yaylı bir salınıcının periyodunu nelerin değiştirdiğini açıkça göstermektedir. Örneğin yay sabiti değişmezken kütle arttıkça periyot uzamaktadır. Kütle değişmezken daha sert bir yay kullanıldığında ise periyot kısalmaktadır. Fakat en çarpıcı sonuç, genliğin formülde hiç yer almamasıdır. Yani ideal sistemde açısal frekans, periyot ve frekans sadece kütleye ve yay sabitine bağlıdır. 

Bir sehpaya asılı yay ve ucundaki metal blok, yay-kütle sisteminin basit bir örneğidir. Görsel yapay zeka ile üretilmiştir.

Yay tavana düşey asıldığında ise kütleye yay kuvvetinin yanı sıra aşağı yönlü sabit yer çekimi kuvveti de etki etmektedir, ancak bu kuvvetin tek etkisi yayı bir miktar uzatarak denge konumunu aşağı kaydırmaktır. Kütle bu yeni denge etrafında salındığında hareketin çözümü yatay yaydaki blokla aynı biçimdedir. Bu nedenle düşey yaylı sistemin periyodu ve frekansı da aynı formüllerle hesaplanmaktadır.

Çözümlü Örnek: Yaya Bağlı Blok

Yukarıdaki bağıntıların sayısal bir düzenekte nasıl işlediğini adım adım izleyebiliriz.

Çözümlü örnek 2: Yaya bağlı bloğun en büyük sürati ve ivmesi kaçtır?

Verilenler: Sürtünmesiz yatay bir yüzeyde 2,00 kg kütleli bir blok, yay sabiti olan bir yaya bağlıdır. Blok konumuna çekilmekte ve anında durgun halden bırakılmaktadır.

İstenen: Açısal frekans, periyot, en büyük sürat, en büyük ivme ve hareketin üç denklemi.

1. adım: Blok ilk hızsız bırakıldığı için genlik çekilme mesafesine eşittir ve başlangıç fazı sıfırdır:

2. adım: Yay sabiti ve kütle, yaylı sistemin açısal frekans bağıntısına yerleştirilmektedir:

3. adım: Periyot, açısal frekanstan bulunmaktadır:

4. adım: En büyük sürat genlik ile açısal frekansın çarpımı olduğu için bu iki değer çarpılmaktadır:

5. adım: En büyük ivme genliğin açısal frekansın karesiyle çarpımı olduğu için aynı değerler bu kez kare ile kullanılmaktadır:

6. adım: Bulunan değerler genel denklemlere yerleştirildiğinde konum, hız ve ivme şu biçimi almaktadır:⁠^[1]

Sonuç: Blok 1,57 saniyelik periyotla ve saniyede 4,00 radyanlık açısal frekansla salınmakta, en büyük sürati 0,08 m/s, en büyük ivmesi ise 0,32 m/s² olmaktadır.

Bu denklemlerle hesap yaparken sık rastlanan bir işlem hatasından kaçınılmalıdır. Fonksiyonların içindeki açı radyan birimindedir ve hesap makinesi mutlaka radyan modunda kullanılmalıdır.

Kinetik ve Potansiyel Enerji Arasındaki Alışveriş

Sönümsüz sistemde mekanik enerji, kinetik ve potansiyel biçimleri arasında sürekli dönüşmektedir. İdeal yatay sistemde kütlenin kinetik enerjisi ile yayda depolanan esneklik potansiyel enerjisi şu biçimde yazılmaktadır:

Sönümsüz sistemde toplam mekanik enerji sabittir ve şu eşitliği sağlamaktadır:

Dolayısıyla basit harmonik bir salınıcının toplam enerjisi genliğin karesiyle orantılıdır.

Kütle uç konumundayken hızı sıfır olduğu için kinetik enerjisi de sıfır olmakta, bu nedenle bütün mekanik enerji bu anda yayda potansiyel enerji olarak depolanmaktadır. Ardından kütle dengeye doğru hızlandıkça bu enerji kademeli olarak kinetik enerjiye dönüşmektedir. Denge noktasında enerji bütünüyle kinetik olduğundan sürat de en büyük değerine ulaşmaktadır.

Öyleyse net kuvvetin sıfır olduğu denge noktasında blok neden durmamaktadır? Çünkü net kuvvetin sıfır olması sadece bu noktadaki ivmenin sıfır olduğunu göstermektedir. Hız ise tam tersine en büyük değerindedir. Blok, momentumu sayesinde bu noktadan durmaksızın geçmekte ve negatif yönde hareketini sürdürmektedir. Pozitif uçtan anında durgun bırakılan blok ilk kez anında dengeye, anında ise karşı uç olan noktasına varmaktadır.⁠^[2]

Enerjinin korunumu zamana bağlı denklemlere gerek kalmadan doğrudan konumdan sürati hesaplama olanağı da sunmaktadır, çünkü enerji eşitliğinde yalnız bırakılıp karekök alındığında şu bağıntı elde edilmektedir:

Örneğin uç konumlarda kök içi sıfırlandığı için sürat sıfır çıkmaktadır. Denge noktasında ise sürat değerine, yani en büyük sürate eşit olmaktadır.

Evrim Ağacı

Sarkaç: Yer Çekimiyle Gelen Salınım

Basit harmonik hareketin ikinci temel modeli basit sarkaçtır (İng: "simple pendulum"). Sarkaçta geri çağırıcı etkiyi yay yerine yer çekimi sağlamaktadır. Bu model, kütlesi ihmal edilebilir uzunluğundaki bir ipe asılmış noktasal bir kütleden oluşmakta, ayrıca ipin belirgin biçimde uzamayacak kadar sağlam olduğu kabul edilmektedir. Salınan kütleye etki eden kuvvetler sadece ağırlık () ve ip gerilmesidir ().

Sarkaç düşeyden açısı kadar ayrıldığında kütle yarıçaplı bir çember yayı üzerinde hareket etmekte ve ip gerilmesi her an bu yayın teğetine dik doğrultuda etki etmektedir, bu nedenle gerilmenin teğet doğrultuda hiçbir bileşeni yoktur. Teğet hareketi belirleyen tek kuvvet ağırlığın teğet üzerindeki bileşenidir ve dengeye yönelen bu kuvveti, sarkaçta geri çağırıcı kuvvet görevini üstlenmektedir.

Küçük Açı Yaklaşımı ve Sarkacın Periyodu

Sarkaçtaki geri çağırıcı kuvvet doğrudan açısıyla değil, açının sinüsüyle orantılıdır. Ancak açı radyanla ölçüldüğünde, yaklaşık 15 dereceden (yaklaşık 0,26 radyandan) küçük açılarda ile arasındaki fark yaklaşık %1 düzeyindedir. Bu dar bölgede yaklaşımı güvenle kullanılabilir. Yaklaşım uygulandığında açısal ivme şu biçimi almaktadır:

Bu denklemden açısal frekansın olduğu, salınım süresinin de şu bağıntıya uyduğu çıkmaktadır:

Kütlenin periyodu değiştirdiğini sanmak bir kavram yanılgısıdır. Oysa ideal küçük açılı sarkacın periyodu kütleden tamamen bağımsızdır. Açısal ivme denkleminde sadece oranı yer almaktadır. Genlikten bağımsızlık ise sarkaçta yaklaşık olarak geçerlidir, özellikle sapma yaklaşık 15°'nin altında kaldığında.

Bu formül, küçük açılı bir sarkacın salınım süresini sadece ip uzunluğunun ve yer çekimi ivmesinin belirlediğini göstermektedir. Ayrıca periyot uzunluğun kendisiyle değil, kareköküyle orantılıdır.⁠^[8] Bu durumda bir sarkacın periyodunu iki katına çıkarmak için ipi iki kat uzatmak yetmemektedir. Uzunluğun dört katına çıkarılması gerekmektedir.

Justus Sustermans, Kamu malı

Saatten Yer Çekimi Ölçümüne

Salınım süresi ile ip uzunluğu arasındaki bu karekök ilişkisi, 1638'de yayımlanan bir eserde yazılı olarak yer almaktadır. Bu eser, Galileo Galilei'nin Dialogues Concerning Two New Sciences adlı kitabıdır. Kitabın birinci gün tartışmasında farklı uzunluktaki iplere asılı cisimlerin salınım süreleri ele alınmaktadır. Galileo, salınım sürelerinin oranının ip uzunluklarının kareköklerinin oranına eşit olduğunu belirtmiş, hatta bir sarkacın süresini diğerinin iki katı yapmak isteyen birinin ipi dört kat uzun yapması gerektiğini de açıkça yazmıştır.⁠^[8]

Sarkacın bir saatin çalışmasını düzenlemek için kullanılması, 1673'te Paris'te yayımlanan bir eserde açıklanmıştır.⁠^[9] Söz konusu eser, Christiaan Huygens'in F. Muguet tarafından basılan Horologium oscillatorium adlı kitabıdır. Huygens bu eserde matematiği ve hareketli cisimlerin dinamiğini temel alarak, sarkacın bir saatin çalışmasını düzenlemek için nasıl kullanılabileceğini açıklamıştır. Büyük ayaklı saatler (İng: "grandfather clocks") da zamanı tutmak için sarkaçtan yararlanmaktadır.

Sarkaç zaman tutmanın yanı sıra yer çekimi ivmesini () ölçmek için de kullanılabilir.

Çözümlü örnek 3: Bir sarkaçla ölçülen yer çekimi ivmesi kaçtır?

Verilenler: Uzunluğu 75,000 cm olan bir sarkacın periyodu 1,7357 s olarak verilmektedir. Sapmanın 15°'nin altında kaldığı varsayılmaktadır.

İstenen: Yerel yer çekimi ivmesi, yani .

1. adım: Bilinmeyen yalnız bırakılmak istendiği için periyot formülünün iki yanının karesi alınmaktadır:

2. adım: Periyot saniyeyle verildiği için uzunluk da SI birimi olan metreye çevrilmektedir:

3. adım: Bu değerler formüle konduğunda yerel yer çekimi ivmesi elde edilmektedir:⁠^[4]

Sonuç: Bu sarkacın bulunduğu yerde yer çekimi ivmesi 9,8281 m/s² olarak bulunmaktadır.

Periyodu gerçekten hangi değişkenin etkilediğini deneyle sınamak için kontrollü ölçümler yapılmaktadır. Kütle, ip uzunluğu ve açısal yer değiştirme sırayla test edilmektedir.⁠^[11] Her seferinde tek bir değişken değiştirilmekte, diğerleri sabit tutulmaktadır. Toplanan veriler de grafiklerle karşılaştırılmaktadır. Ayrıca kronometreyle elle yapılan ölçümlerin sonuçları, fotokapı (İng: "photogate") ile toplanan elektronik verilerle kıyaslanabilir.

İdeal Modelin Sınırları: Sönüm, Zorlama ve Büyük Genlik

Kontrollü ölçümler ideal sarkaç modelinin öngörülerini sınasa da gerçek dünyada karşılaştığımız salınımlar nadiren tümüyle ideal basit harmonik hareket yasasını izlemektedir.⁠^[5] İdeal modelin ilk sınırı, genliğin yeterince küçük olmadığı durumlarda ortaya çıkmaktadır. Bir yay aşırı uzatıldığında veya sarkaçta küçük açı yaklaşımı aşıldığında geri çağırıcı kuvvet yer değiştirmeyle doğrusal orantısını kaybedebilir. Bu anharmonik salınım (İng: "anharmonic oscillation") durumlarında periyot genellikle genliğe bağlı hale gelmektedir.

İkinci sapma, mekanik enerjinin sabit kalmasını engelleyen sürtünmedir. Sürtünme, sönümlü salınım (İng: "damped oscillation") oluşturmakta ve hareketin zamanla zayıflayıp durmasına yol açmaktadır, çünkü korunumlu olmayan sönüm kuvveti enerjiyi genellikle ısı biçiminde sistemden uzaklaştırmaktadır. Fakat zayıf sönümde genlik yavaş yavaş azalırken periyot ve frekans ideal değerlerine yakın kalmaktadır. Öte yandan otomobil amortisörleri (İng: "shock absorbers") gibi uygulamalarda salınımların sönümlenmesi özellikle istenmektedir.

Enerji kaybeden bir salınımın sönmeden sürmesi için dışarıdan enerji sağlanması gerekmektedir. Periyodik bir sürücü kuvvetin sisteme enerji aktardığı bu harekete zorlanmış salınım (İng: "forced oscillation") adı verilmektedir.⁠^[6] Sürücünün frekansı, salınıcının doğal frekansıyla aynı olmak zorunda değildir. Ancak sürücü frekansı sistemin doğal frekansına eşit olduğunda salınımın genliği büyümektedir. Bir sistemin doğal frekansına eşit frekansta sürülmesi rezonans (İng: "resonance") olarak adlandırılmaktadır.⁠^[6]

PhysicsEtc, CC0

Sonuç

Basit harmonik hareket, kararlı denge konumundan yapılan yer değiştirmeyle doğru orantılı ve bu yer değiştirmeye ters yönlü bir geri çağırıcı kuvvetin ürettiği temel salınım hareketidir. Yaylı sistemdeki bağıntısı periyodun kütleye ve yay sabitine, sarkaçtaki bağıntısı ise ip uzunluğuna ve yer çekimi ivmesine bağlı olduğunu göstermektedir.⁠^[4] Bu ortak matematiksel yapı, ideal hareketin zamanla sinüzoidal biçimde değiştiğini ortaya koymaktadır.⁠^[7] Bu sayede su üzerinde salınan bir tekne, otomobil süspansiyonu ve müzik aleti teli gibi düzenekler, uygun koşullarda yaklaşık olarak aynı modelle betimlenebilmektedir.

Yine de ideal denklemlerin kendisi, doğrusal geri çağırıcı kuvvet varsayımının gerçek bir düzenekte hangi noktada bozulduğunu tek başına göstermemektedir. Sarkaçta yaklaşık 15° sınırının aşılması veya yayın aşırı uzatılması durumunda olduğu gibi, genlik büyüdüğünde doğrusal orantı bozulmakta ve periyodu genliğe bağlı olan anharmonik salınım ortaya çıkmaktadır. Ayrıca gerçek dünyada sürtünme kuvvetleri mekanik enerjiyi genellikle ısı biçiminde uzaklaştırarak genliği giderek azaltmaktadır.⁠^[5] Dolayısıyla hangi genlik değerine kadar salınımın yeterince küçük sayılacağının ve sönümün ne ölçüde ihmal edilebileceğinin incelenen her fiziksel sistemde ayrıca sınanması gerekmektedir.