Neden bir sayının kosinüs , tanjant , kotanjant veya sinüsünü sadece bilgisayar , hesap makinesi vb. aletlerden hesaplayabiliyoruz ?

Sin 78 in bulunuşu için aşağıda, 36-72-72 üçgenini kullandım. Elbette farklı açılar için farklı yöntemler gerekir ve kolay değildir. Temel trigonometrik özdeşlikleri bildiğinizi varsaydım.

Daha genel bir yöntem sinx in seri açılımını kullanarak yaklaşmak olabilir,

sinx = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +.......

Trigonometrik fonksiyonları hesaplamak için Taylor serisi açılımlarını kullanabilirsiniz.

sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7!+ ...

sonsuz serisi sinus fonksiyonunu tanımlar. Payda kısmındaki faktöriyel elemenlarının giderek ne kadar büyüdüğünü görebilirsiniz. Seriyi ne kadar uzatırsanız, gerçek sonuca o kadar yaklaşırsınız ancak değişim virgülden sonrasında ihmal edilebilir düzeyde küçük olacaktır. Yukarıdaki gibi 7!e kadar hesaplamanız, hesap Makinesinin vereceği cevaba çok yakın bir şey bulmanıza yeterli olur. Sorun şu ki, x⁷/7! İşlemi için de hesap makinesi gerekebilir. :)

şöyle bir durum var ki derece cinsinden tamsayı bir açının köklü ifadelerle açılımını yapabiliyor olman için o sayının 3'ün katı olması lazım. Çünkü 18 derecenin trigonometrik değerleri 36-36-108 veya 72-72-36 gibi altın orana sahip üçgenler yardımıyla hesaplanabiliyor ve 15 derece de 30-60-90 üçgeni üzerinden hesaplanabiliyor. Dolayısıyla 18-15=3 derece de hesaplanabilir, 3 derece yazılabildiği için 3'ün katı tüm açılar yazılabilir.

Eğer 3'ün katı olmayan bir açının trigonometrik değerleri yazılabiliyor ise 1 dereceyi de yazabiliriz. Bunun sebebi 3 ile aralarında asal olan bir A sayısı için Ax+3y=1 denkleminin tamsayılarda sonsuz çözümü olmasıdır. A derecenin değeri bilindiğinden Ax derece de bulunur, 3y de bulunur, dolayısıyla Ax+3y=1 derece de bulunur. Eğer 1 derecenin trigonometrik değerleri yazılabiliyorsa tüm tamsayılar için de trigonometrik değerler yazılabilir.

Yani asıl olay 3'ün katı olmayan bir tamsayıyı köklü ifadelerle yazabilmek. Bunun için sin3x=3sinx-4sin^3x denklemi kullanılabilir. x=10 için sin10=t dersek 8t^3-6t+1=0 denklemi elde edilebilir. 3. dereceden bir denklemin de çözüm yöntemi vardır fakat bu denkleme uyguladığımızda kök içerisinde sanal sayılar ortaya çıkmaktadır (Bunlardan r*cis(x) olarak yazıp kurtulabilirsin ama bunu yapınca bulacağın değer sin10 olacaktır :) ). Dolayısıyla 3'ün katı olamayan bir derece için şimdilik bir köklü sonuç bilmiyoruz. (Belki de sadece ben bilmiyorum, bir yerlerde bulunmuş olabilir.)

O yüzden teorikte 78'in trigonometrik değerini köklü ifadelerle gösterebilirsin -ki göstermişler- fakat tüm tamsayılar için iş biraz zor.