Asal sayılar nasıl sonsuz olabiliyor?

Bunun için antik dönemlerden kalma bir ispat yapacağız. Bu ispat için çelişki yöntemi ile ispat yapacağız. Bunun için bir sayısı tanımlayalım ve varsayım olarak bir asal sayısı tanımlayalım. Kısaca için en büyük asal sayı diyelim ve için şu tanımı yapalım:

Şimdi bir bakalım. Hmm ile bölündüğünde kalanını veriyor. Aynı şekilde ile bölündüğünde kalanını veriyor. için de öyle içinde öyle! İşte bu sayı bu asallardan hiçbirine bölünemez yani böyle bir sayı var olamaz dolayısıyla asal sayılar sonsuzdur!

Burada olaya tersten yaklaşmak lazım. Yani şöyle ki asal sayıların sonlu olduğu varsayımını ele alarak hareket etmek gibi.

Sonlu asal sayılar kümesi (A1,A2,A3,...,An) olsun. Bu sonlu kümenin elemanlarının tamamını birbiriyle çarpıp 1 eklediğimizde elde edeceğimiz sayı A1.A2.A3.,...,.An+1=K olduğunu varsayalım.

K sayısı asal olmak zorundadır çünkü sonlu sayıda olarak belirttiğimiz asal sayıların çarpımı olarak ifade edilmesi gerekir, diğer bir deyişle kümede bulunan asal sayıların en az birine kalansız bölünmesi gerekir ki bu durum maalesef sağlanamaz. İşlem her halükarda 1 kalanı verecektir.

Buradan yapılacak çıkarım ile asal sayıların sonlu olamayacağı sonucuna varilabilir. ^[1]