^[1]Aslında burada önemli olan "toplam değişim" derken neyi kastettiğiniz önemli. Mesela eğer hız-zaman grafiği için bakarsak evet burada integral size toplam alınan yolu verir. Aslında integralin yapığı şey sadece Negatif ve pozitif alanları toplayıp çıkan Negatif veya pozitif değeri verir. Bir örnek verelim:

Bu rasgele bir fonksiyon olsun. Şimdi fonksiyona bakarsak aralığında pozitif, aralığında negatif değer veriyor. Şimdi integrali gerçekten anlamak için temel teoremini bilmeniz gerekiyor. Teoreme ve ispatına buradan bakabilirsiniz. Burada önemli olan kısım alan hesaplarken kullanılan yöntem:

Buradan görebileceğimiz bir şey var. Eğer negatif ise alan da negatif olur! Yani integral şu şekilde görünür:

İşte integral bu alanları pozitif ne negatif olarak toplar! Mesela bir hız zaman grafiğine bakalım:

Burada integral hesaplarsak bize alınan yolu verir. Şimdi eğer değerler negatif ise geriye gidiyoruz demektir. Eğer dan için bakarsak yani:

Şimdi bunu elle hesaplarsak üst taraftaki üçgenin bize alttaki ise oldu o zaman gittiğim yol kadar da geriye gitmişim değil mi? O zaman başladığım yerdeyim demek ki cevap 0!

Eğer bunu devam ettirirsek ve 'dan e integral hesaplarsak yani:

İşte bu şekilde toplam değişimi hesaplar!

Bir de için bakarsak: