Sorunun yanıtı "ne kadarlık bir hataya razıyım?" sorusunun yanıtı ile ilişkili. Yere göre hızı ile hareket eden bir araca zıt yönde hızı ile giden araçtan bakan bir kişi, ilk aracı hızı ile gidiyormuş gibi görür.
(1)
Aynı yönde aynı hız ile hareket söz konusu ise (v1=-v2), olacaktır. Günlük yaşamda da deneyimlediğimiz, aynı yönde aynı hızla giden iki aracın birbirini duruyormuş gibi görmesi örneğinden başka bir şey değildir bu.
Einstein'in özel görecelik teorisi bu hız dönüşümünü (1) denklemi yerine şu denklemle verir:
(2)
Burada, c ışık hızıdır. İlk bağıntı Newton mekaniğindeki Galileo dönüşümleri kullanılarak elde edilen bağıntı iken ikinci bağıntı özel görecelikteki Lorentz dönüşümleri kullanılarak elde edilmiştir. İki bağıntı arasındaki farkın, (2) ifadesindeki payda kısmı olduğunu görebiliriz.
Şimdi gelelim soruya. Diyelim ki iki araç da karşılıklı olarak aynı hızla birbirine yaklaşıyor olsun ve her ikisinin de hızı v=ac olsun, yani ışık hızı olan c nin a katı. Burada a elbette 1 den küçük bir sayı, örneğin soru açıklamasında verildiği gibi a=0. 0000001 olabilir. Farklı a değerleri için (1) ve (2) denklemlerinin verdiği sonuçlar aşağıda. Bu basit sonuçları hesap makinası ile elde edebilirsiniz. İkinci kolon sonuçları günlük yaşamda kullandığımız hız dönüşümü iken ((1) denklemi) üçüncü kolon Einstein'in özel görecelik teorisinde ön gördüğü hız dönüşümüdür ((2) denklemi).
a
0.0000001 0.0000002c 0.0000002c
0.000001 0.000002c 0.0000002c
0.00001 0.00002c 0.00002c
0.0001 0.0002c 0.0002c
0.001 0.002c 0.002c
0.01 0.02c 0.0199c
0.1 0.2c 0.1980c
0.5 1.0c 0.8c
Tablodan görülen, düşük hızlar için her iki bağıntının da aynı sonucu vermesi (ilk beş satırdaki sonuçlar). Elbette tablodaki sonuçlar elde edilirken çeşitli yuvarlamalar yapıldı, ama tablodaki değerler fikir vermesi açısından iş görecektir. Başta dediğimiz gibi "ne kadar hataya razıyım" sorusunun yanıtı belirleyici ama, ışık hızının %1 i hız ile (v=0.01c) birbirine göre zıt yönde hareket edilen durumda bir miktar fark ortaya çıktığını söyleyebiliriz. v=0.5c ve sonrası için kesinlikle hızlar klasik bağıntı ile toplanamaz, çünkü sonuç ışık hızından büyük çıkmaktadır.
