Öncelikle terimlerde ufak bir düzeltme yapalım. Sonsuz derken irrasyonel sayıları kast ettiğinizi anlıyorum, ondalık gösterimlerinde virgülden sonra sonsuz basamak barındırdıkları için. Buna göre devam edeceğim.
Çevresi aynı uzunlukta olan kapalı bölgelerin alanları eşit olmak zorunda değildir. Bu sorunuzun asıl cevabı. Basit bir örnek olarak kenarları 4 cm olan bir kare ve uzun kenarı 5, kısa kenarı 3 cm olan bir dikdörtgen düşünün. Çevreleri aynıdır fakat birincinin alanı 16, ikincinin ise 15 dir.
Üstelik, her dairenin alanı herhangi bir birim türünden irrasyonel olmak zorunda da değildir, zira yarıçapın kendisi de irrasyonel olabilir. Örneğin, yarıçapı cm olan bir çember hayal edin, bu çemberin alanı 1 olacaktır.