Jeans Kriterleri Nedir? Nasıl Hesaplanırlar?

Bir gaz kütlesinin çökmesi için yeterli koşul sınırını veren kriterlere Jeans kriterleri denir. Hidrostatik dengenin yokluğu, iki temel durumla açıklanabilir: Ya madde, kendi kütleçekimi üzerine çökmektedir ya da dağılmaktadır. Yıldız oluşumu sırasında gaz kütlesi, kendi kütleçekimi altında çökmeye başlar. Bu çökmeye içeride ısınan gazın oluşturduğu basınç karşı koyar. Kütle çöktükçe basınç da artacağından bir noktada dengeye gelinir. Bu dengeye, hidrostatik denge denildiğini biliyoruz.

Tüm bu sınırlamaları bildiğimize göre, başlangıç koşulları belirlenen bir gaz kütlesinin, çöküp çökmeyeceğini de belirleyebiliriz. Üç adet Jeans kriteri mevcuttur: Jeans kütlesi, Jeans yarıçapı ve Jeans yoğunluğu.

Virial teoreminden bildiğimiz üzere, hidrostatik dengedeki bir ortam için $-\Omega =2U$'dur. Fakat dengenin olmadığı, çökmenin gerçekleştiği durumları arıyorsak 2U">$-\Omega >2U$ durumunu araştırmalıyız. $\Omega$ yani kütleçekimsel potansiyel enerji, termal enerji $U$'dan yeterince büyük olmalı ki sistem çökmeye başlayabilsin (ya da çökmeye devam edebilsin).

Jeans Kriterleri Denklemleri

Kütle çekimsel potansiyel enerji $\Omega$ aşağıdaki şekilde verilir:

$\Omega =-\frac{3}{5}\frac{\text{G}{M}^2}{R}$

Termal enerji $U$ ise şöyle hesaplanır:

$U=\frac{3}{2}\text{NkT}$

Böylelikle bu iki ifadeyi, kütle çekimsel potansiyel enerjinin termal enerjiden fazla olduğu koşulunda yerine yazacak olursak, aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz:

\frac{3M \text{kT}}{\mu m_H}">$\frac{3}{5}\frac{\text{G}{M}^2}{R}>\frac{3M\text{kT}}{\mu m_H}$

Jeans Kütlesi

Yukarıdaki eşitsizlikteki $R$ parametresini $M$ cinsinden yazabiliriz. Küresel bir yapı için şu denklem elde edilir:

$M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho$

Böylece $R$ şu şekilde yazılabilir:

$R=(\frac{3}{4}\frac{M}{\pi \rho }{)}^{1/3}$

Eğer bu ifadeyi yerine koyacak olursak şu denkleme ulaşırız:

\frac{3\text{kT}}{\mu m_H}">$\frac{3}{5}\text{G}{M}^2(\frac{3}{4}\frac{M}{\pi \rho }{)}^{-1/3}>\frac{3\text{kT}}{\mu m_H}$

İfadeyi düzenlemek için $M$ ifadesini kökün içerisinden çıkarıp, kalanları karşı tarafa attığımızda şu denklemi buluruz:

\frac{3\text{kT}}{\mu m_H} (\frac 3 {4\pi \rho})^{1/3}">$\frac{3}{5}\text{G}{M}^{2/3}>\frac{3\text{kT}}{\mu m_H}(\frac{3}{4\pi \rho }{)}^{1/3}$

Eşitliğin bir tarafında kütle $M$ifadesini yalnız bırakalım:

\frac{5\text{kT}}{ \text G \mu m_H} (\frac 3 {4\pi \rho})^{1/3}">$M^{2/3}>\frac{5\text{kT}}{\text{G}\mu m_H}(\frac{3}{4\pi \rho }{)}^{1/3}$

İfadenin üslerini düzenleyerek, kütle için sade bir hale getirelim:

(\frac{5\text{kT}}{ \text G \mu m_H})^{3/2} (\frac 3 {4\pi \rho})^{1/2} = M_j">$M>(\frac{5\text{kT}}{\text{G}\mu m_H}{)}^{3/2}(\frac{3}{4\pi \rho }{)}^{1/2}=M_j$

Böylelikle bulutsunun çökmesi için gerekli minimum kütle değeri olan $M_j$ elde edilmiş olur.

Jeans Yarıçapı

Yukarıdaki üçüncü denkleme geri dönelim ve bu kez ifadeyi $R$ cinsinden düzenleyelim:

$M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho$

Bu ifadeyi yerine yazacak olursak şu denklemi elde ederiz:

3(\frac 43 \pi R^3 \rho ) \text{kT} \frac 1{\mu m_H}">$\frac{3}{5}\text{G}(\frac{4}{3}\pi R^3\rho {)}^2\frac{1}{R}>3(\frac{4}{3}\pi R^3\rho )\text{kT}\frac{1}{\mu m_H}$

Bu ifadede üsleri açıp, $R$ ifadelerini sadeleştirdiğimizde denklem şu hale gelir:

4\pi \rho \text{kT} \frac 1{\mu m_H}">$R^2\text{G}\frac{16}{15}{\pi }^2{\rho }^2>4\pi \rho \text{kT}\frac{1}{\mu m_H}$

Eğer burada $R^2$'yi yalnız bırakır ve her iki tarafın karekökünü alırsak, aradığımız $R$ ifadesine ulaşırız:

(\frac{15}4 \frac{\text{kT}}{\text G \pi \rho \mu m_H})^{1/2} = R_j">$R>(\frac{15}{4}\frac{\text{kT}}{\text{G}\pi \rho \mu m_H}{)}^{1/2}=R_j$

Böylelikle bulutsunun çökmesi için gerekli minimum yarıçap olan $R_j$ bulunmuş olur.

Jeans Yoğunluğu

Jeans yoğunluğunu $M$'ye bağlı olarak yazmak için, (5) numaralı denkleme geri dönelim:

\frac{3M \text{kT}}{\mu m_H}">$\frac{3}{5}\frac{\text{G}{M}^2}{R}>\frac{3M\text{kT}}{\mu m_H}$

Her iki tarafın karesini alarak $M^2$ ile $\rho$'nun yerini değiştirelim:

(\frac{5 \text{kT}}{\mu m_H})^3 (\frac 3{4 \pi M^2}) = \rho _j">$\rho >(\frac{5\text{kT}}{\mu m_H}{)}^3(\frac{3}{4\pi M^2})={\rho }_j$

Böylelikle bulutsunun çökmesi için gerekli minimum yoğunluk değeri olan ${\rho }_j$ elde edilir.