Dörtgenler Nasıl Sınıflandırılır? Özel Dörtgenler Arasında Nasıl Bir İlişki Vardır?

Dörtgenlerin sınıflandırılması, dört doğru parçasından oluşan kapalı ve iki boyutlu düzlem şekillerinin açı ölçülerine, kenar paralelliklerine, kenar eşitliklerine ve köşegen davranışlarına göre gruplandırılmasıdır. Bu geometrik sistem, iç açıları toplamı 360° olan genel dörtgenlerden başlayarak yamuk, deltoid, paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve kareye uzanan kapsayıcı bir aile ağacı kurmaktadır. Bu ağaçta bir dörtgenin taşıdığı özellikler, hangi gruba girdiğini ve üst gruplarla akrabalığını belirlemektedir.

Günlük yaşamda kare ile dikdörtgen çoğunlukla birbirini dışlayan iki ayrı kalıp gibi algılanmaktadır. Oysa güncel tanımlar kareyi hem dikdörtgenin hem de eşkenar dörtgenin özel bir hali saymaktadır. Dolayısıyla bu tanımlara göre her kare aynı zamanda bir paralelkenar, bir eşkenar dörtgen ve bir dikdörtgendir. Bir şeklin hangi dörtgen grubuna girdiğini bilmek de sadece kuramsal adlandırma yapmaya yaramamaktadır, çünkü arazi parsellerinin ölçümünden mimari çerçevelerin güçlendirilmesine, zemin döşeme maliyetlerinden kuvvet bileşkelerinin hesabına kadar pek çok pratik uygulama dörtgenlerin özelliklerinden yararlanmaktadır. Çokgenlerin temel sınırlarından başlayan bu sınıflandırma, özel dörtgenlerin kenarları, açıları, köşegenleri ve simetrileri üzerinden adım adım kurulmaktadır.

Çokgenlerin Sınıflandırılması: Basit, Dışbükey, İçbükey ve Düzgün Çokgenler

Geometride çokgen (İng: "polygon"), doğru parçalarından oluşan kenarların uç uca eklenmesiyle meydana gelen kapalı ve iki boyutlu bir şekildir. Çokgenler kenar sayılarına göre adlandırılmaktadır. Buna göre dört kenarlı çokgenlere dörtgen (İng: "quadrilateral") adı verilmektedir. Kenar sayısı arttıkça şekiller sırasıyla beş kenarlı beşgen (İng: "pentagon"), altı kenarlı altıgen (İng: "hexagon"), yedi kenarlı yedigen (İng: "heptagon") ve sekiz kenarlı sekizgen (İng: "octagon") olarak sınıflandırılmaktadır.^[1]

Kapalı bir kenar zincirinin basit çokgen sayılıp sayılmayacağını kenarların kesişim biçimi belirlemektedir.^[6] Düzlem üzerindeki bir çokgende iki kenarın ortak noktaları sadece çokgenin köşeleriyse bu şekil basit çokgen (İng: "simple polygon") olarak tanımlanmaktadır. Buna karşılık kenarlardan biri köşe noktaları dışında başka bir kenarı keserse basit çokgen koşulu bozulmaktadır. Kendi kendini kesmeyen bir çokgenin içi ve dışı belirgindir.

Basit çokgenler dışbükey ya da içbükey olabilmektedir. Şeklin kapladığı bölgedeki herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasının tamamı yine bu bölgenin içinde kalıyorsa şekil dışbükey çokgen (İng: "convex polygon") adını almaktadır.^[5] Seçilen iki nokta hangi köşelere veya kenarlara yakın olursa olsun, aralarındaki doğru parçası şeklin dışına taşmamaktadır.

Bazı çokgenlerde ise köşelerden en az biri şeklin iç bölgesine doğru bükülmektedir. Bu çokgenlerde en az bir iç açının ölçüsü 180°'den büyüktür. Bu tür çokgenler içbükey çokgen (İng: "concave polygon") olarak sınıflandırılmaktadır. İçbükeylik, şeklin kenar sayısına bağlı adını değiştirmemektedir. Örneğin altı doğru parçasından oluşan kapalı bir şekil, iç açılarından biri 180° sınırını aştığında altı kenarlı yapısını korumakta ve içbükey bir altıgen olmaktadır.

Çokgenleri sınıflandıran bir diğer temel ölçüt ise kenarların ve açıların kendi aralarında eşit olup olmadığıdır.^[4] Kenar sayısı olan bir çokgenin düzgün çokgen (İng: "regular polygon") sayılabilmesi için hem bütün kenar uzunluklarının hem de bütün iç açı ölçülerinin kendi aralarında eşit olması gerekmektedir. Ancak kenar eşitliği tek başına yetmemektedir. Nitekim kenarları eşit olduğu halde açıları birbirinden farklı olan çokgenler bu tanımın dışında kalmaktadır.

Dört kenarlı basit çokgenlerde ise bütün aileyi birleştiren sabit bir açı kuralı ortaya çıkmaktadır. Basit bir dörtgenin iç açıları toplamı her zaman 360°'dir. Çünkü tamamen dörtgenin iç bölgesinde kalan bir köşegen çizildiğinde şekil iki üçgene bölünmektedir. İki üçgenin 180°'lik iç açı toplamları birleşince 360° elde edilmektedir.^[2] Ayrıca dışbükey bir dörtgende her iç açı 180°'den küçüktür. Her köşede bir kenarın uzatılmasıyla alınan dış açıların toplamı da 360° olmaktadır.

Evrim Ağacı

Özel Dörtgenlerin Özellikleri ve Ayırt Edici Ölçütleri

Dörtgenler ailesi, genel çokgen kurallarının ötesinde kendi içinde daha dar alt gruplara ayrılmaktadır. Bir dörtgeni bu özel gruplardan birine yerleştirirken iki temel geometrik kritere bakılmaktadır. İlk kriter, köşe açılarının özel ölçülere sahip olup olmadığıdır. İkinci kriter ise karşılıklı kenarlar arasında bir veya iki çift paralellik bulunup bulunmadığıdır. Eşkenar dörtgen ve deltoid gibi gruplar ise kenar uzunluklarının eşitliğiyle tanımlanmaktadır. Köşegenlerin kesişim özellikleri de bu koşullara eşlik etmektedir.

Özel dörtgenlerin kenarlarına, açılarına ve köşegenlerine ilişkin kurallar göz kararıyla değil, doğrudan geometrik kanıtlarla doğrulanmaktadır. Bu kanıtlarda kullanılan yöntemlerden biri, dörtgeni köşegenler yardımıyla üçgenlere ayırmaktır, çünkü köşegenlerin oluşturduğu üçgen çiftlerine eş üçgen (İng: "congruent triangles") yöntemleri uygulandığında hangi özelliklerin birbirini zorunlu kıldığı ortaya çıkmaktadır. Böylece bir dörtgenin tanımı ile bu dörtgeni tanımaya yarayan yeterli koşullar kesin olarak birbirine bağlanmaktadır.

Paralelkenar, Dikdörtgen, Eşkenar Dörtgen ve Kare

Karşılıklı kenar çiftleri paralel olan dörtgene paralelkenar (İng: "parallelogram") denmektedir. Bu açıdan köşeleri sırasıyla ABCD olarak adlandırılan bir dörtgenin paralelkenar olması için AB kenarının DC kenarına ve DA kenarının CB kenarına paralel olması ( ve ) gerekmektedir. Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit uzunluktadır. Nitekim Öklid'in Elementler adlı eserinin birinci kitabındaki 34. önermede de paralelkenar biçimli alanlarda karşılıklı kenar ve açıların birbirine eşit olduğu ve köşegenin alanı iki eşit parçaya böldüğü belirtilmiştir.^[10]

Karşılıklı köşe açıları da birbirine eşittir. Buna ek olarak paralel AD ve BC kenarları arasında kalan komşu iç açıların ( ve ) ölçüleri toplamı karşı durumlu iç açılar kuralı gereğince 180°'dir ().^[2] Köşegenler açısından bakıldığında ise paralelkenarın iki köşegeni birbirini ortalamaktadır. Başka bir deyişle köşegenlerin kesişim noktası, her iki köşegeni de iki eş parçaya bölmektedir.

Bir dörtgenin paralelkenar olduğunu kanıtlamak için tanımın yanı sıra birkaç yeterlilik ölçütü kullanılmaktadır. Bunlardan biri, kenar eşitliği özelliğinin tersidir. Dışbükey bir dörtgende karşılıklı kenar çiftlerinin her biri eşit uzunluktaysa, şekil bir paralelkenardır. Bir diğer ölçüte göre, tek bir karşılıklı kenar çiftinin hem eşit uzunlukta hem de paralel olması paralelkenarlık için yeterlidir. Sonuncusu ise köşegenlerle ilgilidir. Kesişim noktasında birbirini ikiye bölen köşegenlere sahip her dörtgen bir paralelkenardır.

Bütün iç açıları dik açı (90°) olan dörtgen ise dikdörtgen (İng: "rectangle") olarak tanımlanmaktadır. Ayrıca her dikdörtgen aynı zamanda bir paralelkenardır. Bu sebeple dikdörtgenin de karşılıklı kenarları eşit ve paraleldir, ayrıca köşegenleri birbirini ortalamaktadır. Ancak dikdörtgen, genel paralelkenardan farklı olarak eşit uzunlukta iki köşegene sahiptir.

Dikdörtgenin yeterlilik ölçütleri, paralelkenar özelliklerinin üzerine inşa edilmektedir. Bir paralelkenarın sadece tek bir açısının dik açı olması, şeklin dikdörtgen olduğunu kanıtlamak için yeterlidir, çünkü karşı durumlu iç açılar kuralı art arda uygulandığında diğer üç köşe açısının da 90° olduğu görülmektedir. Köşegenlere bakıldığında ise eşit uzunluktaki köşegenleri ortak orta noktalarında kesişen her dörtgenin dikdörtgen olduğu kesinleşmektedir.

Bütün kenarları eşit uzunlukta olan dörtgene eşkenar dörtgen (İng: "rhombus") adı verilmektedir. Benzer biçimde eşkenar dörtgen de bir paralelkenardır ve paralelkenarın bütün özelliklerini taşımaktadır. Dolayısıyla eşkenar dörtgende karşılıklı kenarlar paraleldir, karşılıklı açılar eşittir ve köşegenler birbirini ortalamaktadır. Eşkenar dörtgende köşegenlere iki özellik daha eklenmektedir. Her köşegen, içinden geçtiği iki köşe açısını iki eşit açıya bölmektedir. Ayrıca iki köşegen birbirini dik açıyla (90°) kesmektedir.^[3]

Bir şeklin eşkenar dörtgen olduğunu belirleyen iki temel ölçüt bulunmaktadır. Bunların ilkine göre iki komşu kenarı eşit olan bir paralelkenar zorunlu olarak eşkenar dörtgendir. İkinci ölçüt köşegenlere dayanmaktadır. Bu ölçüte göre köşegenleri birbirine dik olan ve birbirini ortalayan her dörtgen eşkenar dörtgen sayılmaktadır. Ne var ki köşegenlerin sadece birbirine dik olması yeterli değildir. Örneğin iki çubuk dik açıyla üst üste konulup uçları birleştirildiğinde, köşegenleri dik kesişen fakat eşkenar dörtgen olmayan sıradan dörtgenler kolayca elde edilmektedir.

Dikdörtgenin ve eşkenar dörtgenin koşullarını birlikte sağlayan dörtgene kare (İng: "square") adı verilmektedir. Karenin köşegenleri eşit uzunluktadır. Bu köşegenler ortak orta noktalarında dik açıyla kesişmekte ve her bir kenarla 45° açı yapmaktadır. Bütün kenarları ve bütün açıları eşit olduğu için dörtgenler ailesindeki tek düzgün dörtgen de karedir.^[4] Bu nedenle her eşkenar dörtgen düzgün çokgen sayılmamaktadır ve bu koşulu sağlayan eşkenar dörtgenler sadece karelerdir.

Evrim Ağacı

Deltoid ve Yamuk Türleri

Karşılıklı kenarların değil komşu kenarların eşitliğine dayanan özel dörtgen deltoid (İng: "kite") olarak adlandırılmaktadır. Deltoidin iki çift komşu kenarı eşit uzunluktadır. Ancak özel bir dörtgen grubuna dahil olmak şeklin her zaman dışbükey olacağı anlamına gelmemektedir, nitekim bir deltoid dışbükey olabileceği gibi içbükey de olabilir. Köşeleri ABCD olan bir deltoidde eşit kenarların birleştiği A ve C köşelerinden geçen AC köşegeni, hem A ve C köşe açılarını iki eşit parçaya bölmekte hem de diğer köşegenin dik orta doğrusu (İng: "perpendicular bisector") olmaktadır.

Bu yazıda yamuk, tam olarak bir çift paralel kenarı olan dörtgen anlamında kullanılmaktadır (İng: "trapezium" veya "trapezoid"). Kapsayıcı tanım ise aşağıda ayrıca ele alınmaktadır. Ayrıca bir yamukta paralel olan kenarlar arasında ve aynı yanda kalan komşu iç açılar bütünler açılardır (İng: "supplementary angles"). Paralel tabanları kesen iki yan kenarın her birinde, ölçüleri toplamı 180° olan bir çift komşu açı bulunmaktadır.

Yamuğun yan kenarları ve taban açıları arasında özel bir denklik durumu ortaya çıkabilmektedir. Örneğin paralel tabanları AD ve BC olan bir ABCD yamuğunda, AD uzunluğunun BC uzunluğundan küçük kabul edilmesi şeklin bir paralelkenar olmasını engellemektedir. Paralelkenar olmayan bu yamukta AB ve DC yan kenarlarının eşit olması ile aynı tabana komşu B ve C açılarının eşit olması birbirine denktir. Bu koşulu sağlayan özel yamuklara ikizkenar yamuk (İng: "isosceles trapezium") adı verilmektedir.

Dörtgenlerde Simetri ve Kapsayıcı Hiyerarşi

Kenarların, açıların ve köşegenlerin düzeni, özel dörtgenlerin düzlemdeki simetrilerini doğrudan belirlemektedir. Örneğin bir paralelkenar, köşegenlerinin kesişim noktası etrafında yarım tur (180°) döndürüldüğünde başlangıçtaki konumuyla tam olarak çakışmaktadır. Geometride bu özellik, köşegenlerin kesişimi etrafında ikinci mertebeden dönme simetrisi (İng: "rotation symmetry") olarak ifade edilmektedir. Dolayısıyla birer paralelkenar olan eşkenar dörtgen ile dikdörtgen de bu dönme simetrisini taşımaktadır.

Dönme simetrisi ortak olsa da katlama eksenlerini belirleyen yansıma simetrisi (İng: "reflection symmetry") dikdörtgen ile eşkenar dörtgeni birbirinden ayırmaktadır. Oysa dikdörtgende karşılıklı kenarların orta noktalarından geçen iki doğru simetri eksenidir ve bu iki eksen birbirine diktir. Eşkenar dörtgende ise eksenler kenar orta noktalarından değil köşelerden geçmektedir, çünkü bu şeklin iki köşegen doğrusu birbirine dik iki yansıma ekseni oluşturmaktadır.

Kare, eşkenar dörtgen ile dikdörtgenin eksenlerini tek bir yapıda birleştirmektedir. Bunun yanı sıra karenin iki köşegen doğrusu ile karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren iki doğru olmak üzere toplam dört simetri ekseni vardır. Dört eksenin tamamı, çevrel çember merkezi (İng: "circumcentre") denen noktada kesişmektedir. Ayrıca bir ABCD karesi 90°, 180° ve 270° döndürüldüğünde de kendisiyle çakıştığı için çevrel çember merkezi etrafında dördüncü mertebeden dönme simetrisine sahiptir. Buna karşılık deltoidde, eşit kenarların birleştiği A ve C köşelerinden geçen AC köşegen doğrusu bir simetri eksenidir. Paralelkenar olmayan ABCD ikizkenar yamuğunda ise AD ve BC tabanlarının F ve G orta noktalarından geçen doğru tek yansıma eksenidir.

Bütün bu özellikler, özel dörtgenler arasında üstten alta doğru daralan iç içe bir sıralama kurmaktadır. Bu bağlamda deltoid tanımı iki çift komşu kenarın eşitliğini şart koşup dört kenarın eşitliğini dışlamadığı için her eşkenar dörtgen aynı zamanda bir deltoiddir. Benzer biçimde dikdörtgen ve eşkenar dörtgen, paralelkenar ailesinin iki özel alt koludur. Kare ise bu iki kolun kesişimindedir. Hem dikdörtgenin hem de eşkenar dörtgenin bütün özelliklerini birlikte taşımakta ve üst grupların tüm teoremlerini doğrudan miras almaktadır.

Bu iç içe yapı sayesinde tek bir geometrik şekle birden fazla grup adı aynı anda verilebilmektedir. Dört düz kenardan oluşan ve iki karşılıklı kenar çifti paralel olarak verilen kapalı bir şekil, bu işleyişe somut bir örnektir. Önce şeklin kenarları sayılmaktadır. Dört doğru parçasıyla sınırlanan şekil, bu ara bulguyla bir dörtgen olarak saptanmaktadır. Ardından karşılıklı kenar çiftlerinin paralel olup olmadığı denetlenmekte, iki çift paralel kenar bulunduğu belirlenmekte ve böylece aynı şeklin hem dörtgen hem de paralelkenar olduğu sonucuna ulaşılmaktadır.

Aynı sınıflandırma adımları, birbirini kesen doğrularla çok sayıda alt bölgeye ayrılmış karmaşık bir dikdörtgen desenini okumak için de kullanılmaktadır. Bu durumda bölgelerin her birinde önce kenar sayısı, ardından dörtgen olanların paralel kenar çiftleri incelenmektedir. Örneğin altı doğru parçasıyla sınırlanan bölgeler altıgen olarak ayrılmaktadır. Dört kenarlı bölgelerin paralellik ilişkileri denetlendiğinde ise iki çift paralel kenarı olan bölgelerin paralelkenar, sadece bir çift paralel kenarı olan bölgelerin ise yamuk olduğu sonucuna varılmaktadır.^[1]

Evrim Ağacı

Çevre, Alan ve Köşegen Hesapları

Özel dörtgenlerin kenar ve açı eşitlikleri, çevre (İng: "perimeter") ve alan (İng: "area") hesaplarında doğrudan kullanılan cebirsel bağıntılar üretmektedir. Bir dikdörtgenin çevresi, uzunluk ve genişlik değerlerinin her birinin toplama ikişer kez katılmasıyla bulunmaktadır. Bu kural şu bağıntıyla yazılmaktadır:

Bağıntıda çevreyi, uzunluğu (İng: "length") ve genişliği (İng: "width") göstermektedir. Dikdörtgenin alanı ise uzunluk ile genişliğin çarpımıdır:

Karede bütün kenarlar eşit olduğu için, kenar uzunluğu olan bir karenin alan bağıntısı veya biçimini almaktadır. Dikdörtgen formülünün nasıl uygulandığı, kenarları santimetre (cm) cinsinden verilen basit bir örnekte görülebilmektedir.

Çözümlü örnek 1: Genişliği 5 cm, uzunluğu 12 cm olan dikdörtgenin alanı kaçtır?

Verilenler: Genişliği ve uzunluğu olan bir dikdörtgen.

İstenen: Dikdörtgenin alanı, yani .

1. adım: Dikdörtgenin alanı iki boyutun çarpımı olduğu için verilen değerler bağıntısında çarpılmaktadır:

Sonuç: Dikdörtgenin alanı, kare birim cinsinden 60 cm²'dir.

Öte yandan dik açılı olmayan dörtgenlerin alan hesaplarında kenar uzunluğuna, tabana dik olan yükseklik (İng: "height") eşlik etmektedir. Paralelkenarın alanı taban ile yüksekliğin çarpımına eşittir:

Bu bağıntıda tabanı (İng: "base"), ise yüksekliği simgelemektedir. Yamukta ise alan, paralel tabanların uzunlukları ve ile gösterildiğinde, yüksekliğin yarısı ile bu iki taban toplamının çarpımıdır:

Çözümlü örnek 2: Tabanı 10 cm, yüksekliği 5 cm olan paralelkenarın alanı kaçtır?

Verilenler: Bir paralelkenarın tabanı , yüksekliği ise olarak verilmektedir.

İstenen: Paralelkenarın alanı.

1. adım: Alan taban ile yüksekliğin çarpımı olduğu için iki değer bağıntısında çarpılmaktadır:

Sonuç: Paralelkenarın alanı 50 cm² çıkmaktadır.

Çözümlü örnek 3: Tabanları 8 cm ile 6 cm, yüksekliği 6 cm olan yamuğun alanı kaçtır?

Verilenler: Paralel tabanları ve , yüksekliği olan bir yamuk.

İstenen: Yamuğun alanı.

1. adım: Bağıntı iki paralel tabanın toplamını kullandığı için önce bu toplam alınmaktadır:

2. adım: Taban toplamı yüksekliğin yarısıyla çarpılarak alan bulunmaktadır:

Sonuç: Yamuğun alanı 42 cm² olarak hesaplanmaktadır.^[8]

Bunun yanı sıra eşkenar dörtgenin alanı, taban ve yüksekliğe başvurulmadan doğrudan köşegen uzunluklarının çarpımının yarısıyla da hesaplanabilmektedir. Bu ilişki şu formülle gösterilmektedir:

Formüldeki ile iki köşegenin uzunluklarını temsil etmektedir. Bağıntı ters yönde de çalışmaktadır, bu nedenle alan ile bir köşegen biliniyorsa diğer köşegen bu yolla bulunabilmektedir.

Çözümlü örnek 4: Alanı 240 cm², bir köşegeni 24 cm olan eşkenar dörtgenin diğer köşegeni kaçtır?

Verilenler: Alanı ve bir köşegeni olan bir eşkenar dörtgen.

İstenen: Diğer köşegenin uzunluğu, yani .

1. adım: Önce veriler alan bağıntısına yerleştirilmektedir:

2. adım: Paydadaki 2 ortadan kalksın diye eşitliğin iki yanı 2 ile çarpılmaktadır:

3. adım: Bilinmeyen köşegeni yalnız bırakmak için iki yan 24'e bölünmektedir:

Sonuç: Eşkenar dörtgenin diğer köşegeni 20 cm bulunmaktadır.

Buna karşılık bir eşkenar dörtgenin sadece kenar uzunluğu ve bir köşe açısı verildiğinde köşegen uzunlukları kosinüs teoremiyle adım adım bulunmaktadır. Bu yöntemde kısa köşegen dar açının, uzun köşegen ise geniş açının karşısında ele alınmaktadır.

Emw, CC BY-SA 3.0

Çözümlü örnek 5: Kenarları 5 cm, dar açısı 50° olan eşkenar dörtgenin köşegenleri kaçtır?

Verilenler: Bütün kenarları 5 cm ve dar köşe açısı 50° olarak çizilen bir OAPB eşkenar dörtgeni.

İstenen: Kısa AB köşegeni ile uzun PO köşegeninin uzunlukları.

1. adım: Kısa AB köşegeni 50°'lik dar açının karşısında yer aldığı için kosinüs teoremi bu açıyla yazılmaktadır:

2. adım: Kareler toplanıp kosinüslü terim çıkarıldıktan sonra karekök alınmaktadır:

3. adım: Uzun PO köşegeni geniş açının karşısında kaldığı için kosinüslü terim bu kez eklenmektedir:

4. adım: Aynı ara terimler toplanıp karekök alınmaktadır:

Sonuç: Kısa AB köşegeni yaklaşık 4,23 cm, uzun PO köşegeni ise yaklaşık 9,06 cm uzunluğundadır.^[3]

Bu bağlamda dörtgenlerde alan hesabı, gündelik yaşamda malzeme miktarı ve maliyet belirleme problemlerinin de temelini oluşturmaktadır. Örneğin bir zemini döşemek için kaç kutu karo gerektiği ve bunun ne kadar tutacağı, iki boyutlu alanın kutu sayısına çevrilmesiyle bulunmaktadır.

Çözümlü örnek 6: Boyutları 2,9 m ve 1,6 m olan bir banyo zeminini karoyla kaplamak kaça mal olur?

Verilenler: Boyutları 2,9 m ve 1,6 m olan dikdörtgen bir banyo zemini. Bir kutu döşeme karosu 2 m² alan kaplamaktadır ve kutu fiyatı 50 TL'dir.

İstenen: Zemini kaplamanın toplam maliyeti.

1. adım: Zemin bir dikdörtgen olduğu için alanı iki boyutun çarpımıyla bulunmaktadır:

2. adım: Gereken kutu sayısı için alan bir kutunun kapladığı alana bölünmektedir:

3. adım: Tam kutu satın alınması gerektiği için bu değer 3 kutuya tamamlanmakta ve kutu fiyatıyla çarpılmaktadır:

Sonuç: Zemini kaplamanın toplam maliyeti 150 TL'dir.

Sayısal hesaplamaların yanında dörtgenlerin köşegen ve kenar özellikleri fizikte ve yapı uygulamalarında da kullanılmaktadır. Örneğin fizikte iki kuvvet birleştirilirken çizilen bir paralelkenar, bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve yönünü bulmaya yardımcı olmaktadır. Yapı uygulamalarında köşegen doğrultusunda destek eklenmiş bir dikdörtgen çerçeve, sade bir dikdörtgen çerçeveden çok daha rijit (İng: "rigid") olmaktadır.

Büyük ölçekli mekan planlamalarında da dörtgenlerden yararlanılmaktadır. Örneğin arazi ölçümü yapan uzmanlar banliyö yapı adalarını veya tarım parsellerini analiz ederken en basit geometrik şekillerden yararlanmaya çalışmaktadır. Benzer şekilde mimari tasarımlarda sadece standart kare ve dikdörtgenlerle yetinilmemektedir, çünkü mimarlar diğer özel dörtgenleri de sıkça kullanmaktadır.

Tanım Tercihleri, Tarihsel Sınıflandırma ve Görsel Prototip Yanılgısı

Özel dörtgenler arasındaki kapsama ilişkileri matematiksel tanımlara dayanmaktadır. Ancak yamuğun hiyerarşideki yeri, seçilen tanım tercihine göre değişmektedir. Matematikte yamuk için dışlayıcı tanım (İng: "exclusive definition") ve kapsayıcı tanım (İng: "inclusive definition") olmak üzere iki farklı standart kullanılmaktadır. Dışlayıcı tanımda yamuk, tam olarak bir çift paralel kenarı olan dörtgendir. Buna karşılık kapsayıcı tanımda bir dörtgenin yamuk sayılması için en az bir çift karşılıklı kenarının paralel olması yeterli kabul edilmektedir.

Bu iki tanımdan hangisinin tercih edildiği, dörtgenler ağacının yapısını doğrudan etkilemektedir. Kapsayıcı yamuk tanımı benimsendiğinde iki çift paralel kenarı bulunan bütün paralelkenarlar aynı zamanda birer yamuk olmaktadır ve dolayısıyla paralelkenarın alt grupları olan eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve kare de yamuk grubunun birer üyesi sayılmaktadır. Öte yandan dışlayıcı tanımda durum tersine dönmektedir. Paralelkenarlar yamuk grubuna alınmamakta ve bu alt grupların yamukla olan kapsama bağı kopmaktadır.

Öklid, dörtgenleri ilk kitabının 22. tanımında birbirini dışlayan terimlerle tanımlamıştır.^{[9], [11]} Proklos'un Elementler'in birinci kitabı üzerine yazdığı yoruma dayanan tarihlemeye göre Öklid, MÖ 300 dolaylarında İskenderiye'de yaşamıştır. Elementler'in birinci kitabındaki 22. tanımda kare hem eşkenar hem dik açılı dörtgendir. Dik açılı olup eşkenar olmayan dörtgene ise "oblong", eşkenar olup dik açılı olmayan dörtgene "rhombus" adı verilmiştir. Kareyi dışlayan bu tarihsel "oblong" ve "rhombus" tanımları, bu nedenle günümüzün kapsayıcı eşkenar dörtgen ve dikdörtgen tanımlarıyla karıştırılmamalıdır.

Güncel matematik kapsayıcı sınıflandırmayı esas almaktadır. Geometri eğitimi araştırmalarında yaygın kavram yanılgılarından biri, karenin bir dikdörtgen olmadığını düşünmektir. Enu ve Larbi tarafından 2026 yılında Gana'da 112 altıncı sınıf çocuğuyla yapılan araştırma, çocukların dikdörtgenleri öncelikle alışılmış uzamış biçimlerle ilişkilendirdiğini göstermiştir.^[12] Araştırmacılar, tanımın izin verdiği tüm dikdörtgen biçimleri yerine tanıdık gündelik örneklere dayanılmasını prototip temelli akıl yürütme (İng: "prototype-based reasoning") olarak adlandırmaktadır.

Görsel prototiplere bağımlı kalmak, tanımın izin verdiği diğer dikdörtgenleri tanımayı güçleştirmektedir. Dörtgen sınıflarının kapsama ilişkilerini kavramak ise karenin dikdörtgen olmadığı yönündeki yaygın yanılgıdan kaçınmaya yardımcı olmaktadır. Bu nedenle araştırma bulguları, sadece alışılmış çizimlere dayanmayı azaltan ve özellik temelli akıl yürütmeyi (İng: "property-based reasoning") öne çıkaran yaklaşımları önermektedir. Dörtgenler arasındaki ilişkileri kapsayıcı hiyerarşik sınıflandırmayla (İng: "inclusive hierarchical classification") ele almak, görsel kalıpların ötesindeki matematiksel yapıyı netleştirmektedir.^[12]

Evrim Ağacı

Sonuç

Dörtgenlerin sınıflandırılması, dört kenarlı kapalı şekilleri birbirinden kopuk görsel kalıplara bölmek yerine kenar, açı, köşegen ve simetri koşullarıyla birbirine bağlayan kapsayıcı bir mantık sistemi kurmaktır. Bu hiyerarşik düzen kanıt yükünü de hafifletmektedir. Paralelkenar için kanıtlanan her teorem dikdörtgene, eşkenar dörtgene ve kareye, deltoid için kanıtlanan her teorem de eşkenar dörtgene ve kareye yeni bir kanıt gerektirmeden miras kalmaktadır.

Bu sınıflandırma ağacının sınırları, yamuk örneğinde ve Öklid'in tarihsel ayrımlarında görüldüğü üzere başlangıçta seçilen tanımın kapsayıcı veya dışlayıcı olmasına bağlıdır.^{[7], [9]} Dolayısıyla bir dörtgenin birden fazla gruba ait olması şeklin fiziksel olarak değişmesinden değil, üst grubun tanım koşullarını eksiksiz karşılamasından kaynaklanmaktadır.

Böylece girişte değinilen kare ile dikdörtgen arasındaki karışıklık da, görsel prototip yanılgısı yerine özelliklere dayalı bir akıl yürütme kullanıldığında kendiliğinden çözülmektedir. Şekilleri alışılmış uzun veya eğik çizimleriyle değil taşıdıkları geometrik özelliklerle değerlendirmek, dörtgenler hakkında tutarlı bir akıl yürütme yolu sunmaktadır.