Çokgen Nedir? Çokgenlerin Özellikleri Nelerdir?

Çokgen, sonlu sayıda doğru parçasıyla sınırlanan ve her parçanın iki uç noktasında başka bir parçayla birleştiği kapalı, iki boyutlu bir düzlem şeklidir.⁠^{[1], [2]} Şekli oluşturan doğrusal parçalara kenar, kenarların birleştiği uç noktalara ise köşe adı verilmektedir. Temel tanımda bu sınır hiçbir noktada kendini kesmemektedir. Böylece düzlem üzerinde kapalı bir bölge oluşmaktadır.

Günlük yaşamda karşılaşılan trafik işaretleri, mobilyalar, kitaplar, bilgisayarlar ve telefonlar çokgensel biçimlerin üzerine kurulmakta, kumaşlarda, perdelerde ve döşemelerde kullanılan geometrik desenler de bu düzlemsel şekillerin estetik uyumundan yararlanmaktadır. Ancak bir şeklin beşgen ya da altıgen diye adlandırılması, bütün kenarlarının eşit uzunlukta olduğu anlamına gelmemektedir.⁠^[7] Dahası, kenarları ve açıları eşit olan düzgün çokgenlerin bile sadece bir kısmı pergel ve cetvelle çizilebilmekte, yine sadece bir kısmı bir zemini boşluk bırakmadan tek başına döşeyebilmektedir. Bu makalede çokgenlerin yapı taşlarından içbükey ve dışbükey sınıflandırma ölçütlerine, açı ve alan bağıntılarından antik geometrideki çizim ve kaplama problemlerine uzanan matematiksel yapı adım adım incelenmektedir.

Çokgen Nedir?

Bir düzlem şeklinin çokgen (İng: "polygon") sayılabilmesi için her şeyden önce kapalı ve iki boyutlu olması gerekmektedir. Batı dillerindeki "polygon" sözcüğü, Yunancada "çok açı" anlamına gelen köklerden türemiştir.⁠^[6] Başka bir deyişle ad, şeklin birden fazla köşe ve açı barındırmasından gelmektedir. Kalem kağıttan hiç kaldırılmadan çizilen bir çizgi başladığı yere geri dönüyorsa, ortaya çıkan şekil kapalı eğri (İng: "closed curve") olarak tanımlanmaktadır. Ancak her kapalı eğri bir çokgen değildir.

Çokgen sınırının ikinci temel koşulu, izlenen kapalı yolun hiçbir yerde kendi üzerinden geçmemesidir. Başlangıç ve bitiş noktası dışında hiçbir noktaya ikinci kez uğramadan çizilebilen şekillere basit kapalı eğri (İng: "simple closed curve") adı verilmektedir. Ne var ki bu iki koşul henüz yeterli değildir. Sınır çizgisinin ayrıca sadece doğrusal parçalardan oluşması gerekmektedir. Doğrusal kenar koşulu, eğrisel sınırları çokgen ailesinin dışına çıkarmaktadır. Örneğin bir çember, basit kapalı bir eğri olmasına karşın hiçbir doğru parçası içermediği için çokgen değildir.⁠^[9] Çokgenin sınırı ise sonlu sayıda doğru parçasından oluşmaktadır. Eğrisel kenar barındıran ya da ucu açık kalan düzlem şekilleri bu nedenle çokgen sınıfına girmemektedir.

Öte yandan matematik literatüründe "çokgen" tanımının kapsamı konusunda önemli farklılıklar bulunmaktadır. Bazı yaklaşımlar çokgeni sadece doğru parçalarından oluşan bir sınır çizgisi olarak ele almaktadır. Bazıları ise bu sınırın kuşattığı düzlemsel iç bölgeyi de tanıma katmaktadır. Ayrıca temel tanım sınırın kendini kesmemesini şart koşsa da, daha geniş kapsamlı sınıflandırmalar kenarları birbiri üzerinden geçen şekilleri de özel çokgen türleri arasında incelemektedir. Buna rağmen ardışık kenarların doğrusal uzanışı ve sonlu parça sayısı her yaklaşımda korunmaktadır.

Çokgenin Temel Yapı Taşları

Çokgen sınırını meydana getiren doğru parçalarının her birine kenar (İng: "edge" veya "side") denmekte, bu parçaların buluştuğu noktalara ise köşe (İng: "vertex") adı verilmektedir. Tanım gereği her kenar, iki ucunun her birinde tam olarak bir başka kenarla buluşmaktadır. Açıkta hiçbir uç kalmamaktadır. Bir köşede ikiden fazla kenarın buluşması da mümkün değildir.

Erickson'ın ders notlarındaki çokgen kabulünde ardışık iki kenar aynı doğru üzerinde (İng: "collinear") yer almamaktadır. Düzlemde kesişmesiz ve kapalı bir doğrusal sınır kurabilmek için yön değiştiren en az üç doğru parçasına ihtiyaç duyulmaktadır. Her basit çokgende en az üç köşe ve üç kenar bulunmaktadır.

Evrim Ağacı

Köşeler arasındaki bağlantılar sadece dış sınırı kuran kenarlarla sınırlı değildir. Komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen (İng: "diagonal") adı verilmektedir. Üç köşenin tamamı birbirine komşu olduğu için üçgenin hiçbir köşegeni yoktur. Dört ya da daha çok kenarlı şekillerde ise komşu olmayan köşe çiftleri arasında, çokgenin içinden veya dışından geçen köşegenler çizilebilmektedir.

Toplam köşegen sayısını bulmak için her köşeden çıkabilecek doğru parçaları sayılmaktadır. İlk olarak tek bir köşe ele alınmaktadır. Kenar ve köşe sayısı olan bir şekilde bu köşeden, kendisi ve iki komşusu dışındaki köşeye birer köşegen uzanmaktadır. Ancak köşegenleri her köşeden ayrı ayrı sayma yöntemi, aynı köşegeni iki ucundan dolayı iki kez saymaktadır.⁠^[11] Bu çift sayımı gidermek için köşe ile köşegenin çarpımı ikiye bölünmektedir. Buna göre kenarlı bir çokgenin toplam köşegen sayısı şu formülle hesaplanmaktadır:

Formüldeki , şeklin kenar sayısıdır.⁠^[8] Örneğin dört kenarlı bir çokgende köşegen bulunurken, beş kenarlı bir çokgende köşegen yer almaktadır.

Kenar Sayısına Göre Adlandırma

Çokgenleri sınıflandırırken ve adlandırırken kullanılan en temel ölçüt, şeklin kaç kenarı olduğudur. Kenarların sayısı genel bir değişken olan ile gösterildiğinde şekle -gen (İng: "-gon") denmektedir.

Üçten ona kadar kenarı olan temel çokgenler günlük dilde ve geometride yerleşik adlarıyla anılmaktadır. Üç kenarlı çokgene üçgen (İng: "triangle"), dört kenarlıya ise dörtgen (İng: "quadrilateral") denmektedir. Beş kenarlı şekil beşgen (İng: "pentagon"), altı kenarlı olan altıgen (İng: "hexagon"), yedi kenarlı olan ise yedigen (İng: "heptagon") adını almaktadır. Aynı şekilde sekiz, dokuz ve on kenarlı çokgenler sırasıyla sekizgen (İng: "octagon"), dokuzgen (İng: "nonagon") ve ongen (İng: "decagon") olarak adlandırılmaktadır.

On kenardan sonra da aynı mantık sürmektedir. Örneğin on bir kenarlı bir çokgen onbirgen (İng: "hendecagon" veya "undecagon") olarak anılmaktadır.⁠^[20] On iki kenara sahip olan düzlem şekline onikigen (İng: "dodecagon") adı verilmektedir.⁠^[22] Yirmi kenarlı bir çokgen ise yirmigen (İng: "icosagon") olarak adlandırılmaktadır.⁠^[21]

Ne var ki bu isimlerin kullanımıyla ilgili yaygın bir kavram yanılgısı bulunmaktadır. Günlük konuşmada "beşgen" veya "altıgen" dendiğinde çoğu zaman kenarları ve açıları eşit, simetrik şekiller akla gelmektedir. Oysa bu adlar, şeklin düzgün olduğunu kendi başına belirtmemektedir. Başka bir deyişle, kenarları birbirinden tamamen farklı uzunluklarda olan herhangi bir beş kenarlı kapalı düzlem şekli de matematiksel olarak bir beşgendir. Bu ad, hem düzgün hem de düzgün olmayan türleri aynı çatı altında toplamaktadır.

Evrim Ağacı

Çokgen Türleri Nelerdir?

Aynı sayıda kenarı olan iki çokgen, düzlemde birbirinden çok farklı görünebilmektedir. Bu farkı belirleyen temel unsur, komşu kenarlar arasındaki açılar ve kenarların uzunluk oranlarıdır. Çokgenin iç tarafında, komşu iki kenar arasında kalan açıya iç açı (İng: "interior angle") adı verilmektedir. Bir çokgenin kenar sayısı kadar iç açısı bulunmaktadır. İç açıların büyüklükleri ve kenarların birbirine göre uzunlukları, çokgenleri alt gruplara ayırmaktadır. Çokgenler bir yandan dışbükey ve içbükey, öte yandan kenar ve açı eşitliğine göre düzgün ve düzgün olmayan çokgenler olarak sınıflandırılmaktadır.⁠^[5] Aynı sayıda kenarı olan şekiller bu sayede iki ölçüt üzerinden çok daha hassas biçimde tanımlanmaktadır.

Diğer yandan iki ayrı çokgenin karşılık gelen kenarları ve açıları birebir aynı değerleri taşıyabilmektedir. Aynı büyüklükte ve aynı biçimde olan bu tür şekillere eş çokgenler (İng: "congruent polygons") denmekte, bu şekiller düzlemde döndürülse veya başka bir yere taşınsa bile üst üste konulduklarında birbirleriyle kusursuz biçimde çakışmaktadır. Biçimleri veya boyutları farklılaşan çokgenler ise iç açılarının ve kenarlarının özelliklerine göre farklı sınıflara ayrılmaktadır.

Dışbükeylikten İçbükeyliğe Sınıflandırma Ölçütleri

Bir çokgenin dışbükey mi yoksa içbükey mi olduğu iki ölçütle incelenebilmektedir. İlki olan doğru parçası testi, çokgeni iç bölgesiyle birlikte ele almaktadır. Bu teste göre çokgensel bölgenin içinde seçilen herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasının tamamı yine bu bölgenin içinde kalıyorsa, şekil dışbükey çokgen (İng: "convex polygon") olarak tanımlanmaktadır.⁠^[3] İkinci ölçüt ise doğrudan iç açıların büyüklüğüne bakmaktadır. Dışbükey bir çokgende her iç açı değerinden küçüktür.

Bu koşulu sağlayan bir şeklin kenarlarının eşit olması gerekmemektedir. Örneğin kenarları ve duruşları farklı iki beşgen, bütün iç açıları 'den küçük olduğu sürece dışbükey beşgen sınıfına girmektedir. Bu şekillerin hiçbir köşesi içe doğru çökmemektedir. Dışbükey çokgenlerin bütün köşegenleri de tamamen şeklin iç bölgesinde kalmaktadır.

Buna karşılık, bir çokgenin en az bir iç açısı ölçüsünden büyükse bu şekil içbükey çokgen (İng: "concave polygon") adını almaktadır. Bu tür şekillerde 'yi aşan açının bulunduğu köşe, içe doğru bükülmüş bir girinti oluşturmaktadır. Örneğin altı kenarlı ve altı köşeli fakat bir köşesi içe çöken kapalı bir şekil, içbükey altıgen olarak sınıflandırılmaktadır. Doğru parçası testi de aynı sonucu vermektedir: girintinin iki yanındaki uç bölgelerden seçilen iki noktayı birleştiren doğru parçasının bir kısmı çokgenin dışına taşmaktadır.

Her kenar sayısında içbükey bir çokgen elde etmek mümkün müdür? Öklid düzleminde bir üçgen içbükey olamamaktadır. İçbükey bir çokgenin en az dört kenarı bulunmaktadır.⁠^[4]

Basit çokgenlerin ötesine geçildiğinde ise sınırı kendini kesen, basit olmayan çokgenlerle karşılaşılmaktadır. Yıldız çokgeni (İng: "star polygon"), basit olmayan çokgenlere bir örnektir.⁠^[4] Bir yıldız çokgeni, çember üzerine eşit aralıklarla yerleştirilmiş adet noktadan her 'uncu noktanın doğru parçalarıyla birleştirilmesi sonucunda oluşmaktadır. Bu tanımdaki sayısına çokgen yoğunluğu (İng: "polygon density") adı verilmekte, şekil ise genel olarak sembolüyle gösterilmektedir.⁠^[18] Kenarları birbirini kesen beşgen yıldızı (İng: "pentagram") da şu sembolle gösterilen özel bir yıldız çokgenidir:

Çözümlü örnek 1: İç açıları verilen bir beşgen ile bir altıgen dışbükey ve içbükey olarak nasıl sınıflandırılır?

Verilenler: İç açıları sırasıyla , , , ve olan kapalı bir beşgen. Ayrıca açılarından biri ölçüsünde olan, altı kenarlı ve altı köşeli kapalı bir altıgen.

İstenen: Her iki şeklin, iç açı eşiğine göre dışbükey mi yoksa içbükey mi olduğu.

1. adım: Dışbükeylik koşulunu sınamak için beşgenin üç farklı açı değeri tek tek eşiğiyle karşılaştırılmaktadır:

2. adım: Ardından altıgenin verilen açısı aynı eşiğiyle karşılaştırılmaktadır:

Sonuç: Beşgenin bütün açıları ölçüsünden küçük olduğu için şekil dışbükey bir beşgendir. Altıgenin ise en az bir açısı ölçüsünü aştığından bu şekil içbükey bir altıgendir.

Düzgün Çokgenlerin Simetri Özellikleri

Kenar ve açı eşitlikleri bakımından çokgenler, düzgün çokgenler (İng: "regular polygons") ve düzgün olmayan çokgenler (İng: "irregular polygons") olmak üzere iki ana gruba ayrılmaktadır. Buna göre bir çokgenin düzgün sayılabilmesi için bütün kenarlarının ve bütün iç açılarının kendi aralarında eşit olması gerekmektedir. Bu iki koşuldan birini bile sağlamayan her şekil ise düzgün olmayan çokgen sınıfında yer almaktadır.

ChatGPT, Kamu malı

Bazı çokgenler ise bu iki koşuldan sadece açı eşitliğini karşılamaktadır. Bütün köşe açıları eşit olan çokgenlere eşaçılı çokgen (İng: "equiangular polygon") adı verilmektedir.⁠^[23] Her düzgün çokgen ise aynı zamanda eşaçılı bir çokgendir. Fakat tersi doğru değildir. Dört ve daha fazla kenarlı bir şeklin bütün açıları eşitken kenarları farklı uzunluklarda olabilmektedir.

Simetriyle ilişkili bir diğer sınıf, köşelerin bir çembere göre konumuna dayanmaktadır. Bütün köşelerinden tek bir çember geçirilebilen çokgenlere döngüsel çokgen (İng: "cyclic polygon") denmektedir.⁠^[19] Bu çembere de çokgenin çevrel çemberi (İng: "circumcircle") adı verilmektedir. Örneğin her üçgenin üç köşesinden geçen bir çevrel çember mutlaka bulunduğu için düzlemdeki her üçgen döngüseldir.

Düzgün çokgenlerin kusursuz simetrisi, şeklin içinde özel referans noktaları ve uzunluklar tanımlamaya olanak tanımaktadır. Bu bağlamda bütün köşelere eşit uzaklıkta (İng: "equidistant") bulunan iç noktaya çokgenin merkezi (İng: "center") adı verilmektedir. Merkezden herhangi bir köşeye uzanan doğru parçası, şeklin yarıçapı (İng: "radius") olarak tanımlanırken, merkezden bir kenarın tam orta noktasına inen parçaya apotem (İng: "apothem") denmektedir.

Dörtgen Ailesinin Alt Türleri

Dörtgenler, iç açılarının ölçülerine ve paralel kenar çifti barındırıp barındırmadıklarına göre özel alt türlere ayrılmaktadır. Örneğin karşılıklı kenar çiftleri hem paralel hem de eşit uzunlukta olan dörtgene paralelkenar (İng: "parallelogram") adı verilmektedir. Bu aile, kenar ve açı kısıtlamaları eklendikçe daha özel dörtgenleri doğurmaktadır. Öte yandan karşılıklı kenarlar yerine komşu kenar çiftleri eşit olan tür, deltoid (İng: "kite") olarak tanımlanmaktadır.

Dört iç açısının tamamı dik olan dörtgen, dikdörtgen (İng: "rectangle") adını almakta ve bu dörtgende karşılıklı kenarlar hem paralel hem de eşit uzunlukta olduğundan, her dikdörtgen aynı zamanda özel bir paralelkenar sayılmaktadır. Dört kenarı da eşit olan paralelkenar türüne eşkenar dörtgen (İng: "rhombus") denmektedir. Hem dikdörtgenin dik açılarını hem de eşkenar dörtgenin eşit kenarlarını aynı anda taşıyan şekil ise kare (İng: "square") olarak adlandırılmaktadır.

Kare, düzgün bir dörtgendir. Çünkü karenin dört kenarı eşit uzunluktadır ve dört iç açısının her biri ölçüsündedir. Kare olmayan bir dikdörtgen ise eşaçılı olmasına rağmen düzgün değildir. Bu şeklin kısa ve uzun kenarları eşit olmadığı için eşkenarlık şartı bozulmaktadır. Kare olmayan bir eşkenar dörtgen de düzgün çokgen sınıfına girmemektedir. Eşkenar dörtgenin dört kenarı aynı uzunlukta olmasına karşın, dar ve geniş köşe açıları farklı değerler alabilmektedir. Dörtgenlerden itibaren kenar eşitliği ile açı eşitliği ayrı özelliklerdir: dikdörtgenin açıları eşittir, eşkenar dörtgenin kenarları eşittir. Bir çokgenin düzgün sayılması için iki koşul birlikte sağlanmalıdır.

Çokgenlerin Açı Özellikleri

Bir çokgenin kenarları düzlemde rastgele uzunluklarda ve yönlerde birleşiyor gibi görünse de, kapalı sınır koşulu iç açıların toplamını kesin bir kurala bağlamaktadır. Nitekim üçgende, şekil ister eşkenar ister çeşitkenar olsun, üç iç açının toplamı olmaktadır.⁠^[1] Şekle bir kenar daha eklenip dörtgen elde edildiğinde ise bu toplam iki katına çıkarak değerine ulaşmaktadır.

Üçgende ve dörtgende olarak bulunan bu değerler, çokgenin biçiminden bağımsız birer geometrik değişmezdir. Örneğin karenin dört adet 'lik açısının toplamı da, açıları tamamen farklı sıradan bir dörtgenin açı toplamı da aynı sonucunu vermektedir. Bir köşedeki açı daraltıldığında, öteki köşelerdeki açıların toplamda aynı miktarda genişlemesi gerekmektedir. Dahası iç açı toplamını kenar sayısına bağlayan genel kural, şeklin düzgün olup olmamasına bakılmaksızın bütün basit çokgenler için geçerlidir. Hatta şeklin dışbükey ya da içbükey olması bile bu toplamı değiştirmemektedir. Başka bir deyişle sınır kendini kesmediği sürece, kenarlı her basit çokgenin iç açıları toplamı sadece değerine bağlı kalmaktadır.

Evrim Ağacı

Üçgenleme Yöntemiyle İç Açı Toplamı

Herhangi bir basit -genin iç açıları toplamı, şekil üçgenlere ayrılarak bulunabilmektedir. Üçgenleme teoremine (İng: "triangulation theorem") göre her basit çokgen, hiçbir yeni köşe eklenmeden tamamen üçgenlere bölünebilmektedir.⁠^[10] Erickson'ın ders notlarında yeni köşe eklenmeyen bu üçgenlemeye İngilizce "frugal triangulation" denmektedir. Bu işlemde şeklin içinden birbirini kesmeyen tam adet iç köşegen çizilmekte ve şekil tam adet üçgene ayrılmaktadır.

Bu üçgenin açıları bir araya getirildiğinde çokgenin bütün iç açıları eksiksiz biçimde oluşmakta, her üçgenin açı toplamı da olduğundan üçgenin açı toplamı doğrudan çokgenin iç açı toplamını vermektedir. Dolayısıyla kenarlı bir basit çokgenin derece cinsinden iç açıları toplamı olan şu formülle hesaplanmaktadır:

Aynı toplam radyan birimiyle ifade edildiğinde, yerine radyan yazılarak biçiminde gösterilmektedir. Buna göre her yeni kenar eklendiğinde iç bölgeye bir üçgen daha katılmaktadır. Toplam da (veya radyan) artmaktadır. İncelenen şekil düzgün bir çokgense, açıları eşit olduğundan açı toplamı köşe arasında eşit biçimde paylaşılmaktadır. Böylece düzgün bir -genin tek bir iç açısının ölçüsü olan , toplamın kenar sayısına bölünmesiyle elde edilmektedir:

Bu formül farklı kenar sayılarına uygulandığında her düzgün çokgenin karakteristik köşe açısı kolayca bulunmaktadır. Örneğin düzgün yedigende iç açılar toplamı olmakta, tek bir iç açı ise olarak hesaplanmaktadır.⁠^[2] Düzgün dokuzgenin bir iç açısı değerini alırken, düzgün ongende iç açılar toplamı olmakta, düzgün onikigende ise her iç açı ölçüsüne ulaşmaktadır.⁠^{[8], [6]}

Çözümlü örnek 2: Düzgün bir sekizgenin bir iç açısının ölçüsü ve iç açılarının toplamı kaç derecedir?

Verilenler: Kenarları ve açıları kendi aralarında eşit olan bir sekizgen ().

İstenen: Bir iç açının ölçüsü (), açıların toplamı () ve sağlama.

1. adım: Tek bir köşedeki açıyı bulmak için formülünde yazılmaktadır:

2. adım: Ardından bağıntısına yine konularak bütün açıların toplamı bulunmaktadır:

3. adım: Sağlama için değerindeki tek açı 8 ile çarpılmaktadır:

Sonuç: Düzgün bir sekizgenin her bir iç açısı , iç açılarının toplamı ise olmaktadır.

Çözümlü örnek 3: İç açıları cebirsel ifadelerle verilen bir beşgende her bir köşe açısının ölçüsü kaç derecedir?

Verilenler: Beş köşesindeki iç açıları sırasıyla , , , ve cebirsel ifadeleriyle verilen bir beşgen.

İstenen: Bilinmeyen ile beş köşe açısının derece cinsinden ölçüleri.

1. adım: Beşgenin () iç açıları toplamı olduğundan, beş köşedeki açı ifadeleri toplanıp benzer terimler birleştirilerek 'a eşitlenmektedir:

2. adım: Bulunan değeri ve ifadelerinde yerine konulmaktadır:

3. adım: Kalan iki açı için aynı değeri ve ifadelerine yazılmaktadır:

Sonuç: Beşgendeki bilinmeyen değerindedir ve köşe açıları , , , ve olarak bulunmaktadır.

Dış Açıların Değişmez Toplamı

İç açılar kenar sayısı arttıkça sürekli büyümektedir. Dış açıların toplamı ise sabit kalmaktadır. Dış açı (İng: "exterior angle"), bir kenarın şeklin dışına doğru uzatılmasıyla komşu kenar ile bu uzantı arasında oluşan açıdır. Sınır boyunca yürüyen bir gözlemci için her köşedeki bu açı, bir kenardan sonrakine geçerken yapılan yön değişimini temsil etmektedir. Tam bir tur atılıp başlangıç noktasına ve yönüne dönüldüğünde toplam dönme miktarı bir tam devre, yani değerine eşit olmaktadır.

Bütün dışbükey çokgenlerde her köşeden birer dış açı alınarak yapılan toplam değerine eşittir.⁠^[9] Düzgün bir -gende de bu toplam değişmez biçimde olarak kalmaktadır. Ayrıca düzgün -genin bütün dış açıları eşit olduğundan, tek bir dış açının ölçüsü olan şu formülle hesaplanmaktadır:

Bu bağıntıda paydaki toplam dönme açısını, paydadaki ise kenar sayısını göstermektedir. Kenarlar çoğaldıkça tek bir dış açı küçülmektedir. Örneğin düzgün beşgende her dış açı , düzgün altıgende , düzgün dokuzgende ve düzgün onikigende olmaktadır.

Çokgen içbükey olduğunda dış açıların toplamı olmaktan çıkmakta mıdır? Hayır. İçbükey bir çokgenin 'den büyük açılı köşesinde, sınır boyunca ilerlerken öteki köşelerin tersi yönünde bir dönüş yapılmaktadır. Böyle bir köşedeki dış açı, yönlü ve işaretli bir dönme açısı olarak ele alındığında negatif bir ölçü almaktadır. Ancak bu negatif açılar kendi eksi işaretleriyle öteki dış açılara eklendiğinde, bütün dış açıların cebirsel toplamı yine olmaktadır.⁠^[11]

Yapay zeka ile üretilmiş görsel (Evrim Ağacı)

Çokgenlerin Çevre ve Alan Bağıntıları

Bir çokgenin düzlemde ne kadar yer kapladığını ve sınırlarının ne kadar uzun olduğunu belirlemek için çevre ve alan kavramları kullanılmaktadır. İlk olarak çokgenin çevresi (İng: "perimeter"), kapalı bölgeyi saran sınırın toplam uzunluğudur. Sınırı oluşturan parçalar art arda eklendiğinde tek boyutlu bir uzunluk elde edildiği için çevre, santimetre, metre veya kilometre gibi doğrusal birimlerle (İng: "linear units") ölçülmektedir. Buna karşılık çokgenin alanı (İng: "area"), kapalı sınırın içinde kalan düzlemsel yüzeyin büyüklüğüdür. Yüzey iki boyutlu bir nicelik olduğundan, alan cm² veya m² gibi kare birimlerle (İng: "square units") ifade edilmektedir. Çevre sadece sınırın uzunluğunu vermektedir. Alan ise bu sınırın kuşattığı bölgeye kaç birim karenin sığdığını göstermektedir.

Çevre ile alan arasındaki bu boyut farkı, günlük uygulamalarda hangi büyüklüğün hesaplanacağını doğrudan belirlemektedir. Örneğin bir araziyi ya da bahçeyi dışarıdan kuşatacak tel örgü miktarı doğrusal bir çevre hesabı gerektirmektedir. Oysa aynı bahçenin zeminini çimle ya da taş karolarla döşemek, iki boyutlu yüzey alanının hesaplanmasına dayanmaktadır.

Kenar Uzunluklarından Çevre Hesabı

En genel tanımıyla bir çokgenin çevresi, kapalı bölgeyi sınırlayan bütün kenar uzunluklarının toplamıdır. Çokgen düzgün değilse her kenar tek tek ölçülmekte, ardından bu değerler toplanarak çevreye ulaşılmaktadır. Şekil düzgün olduğunda ise bütün kenarlar eşit uzunlukta olduğu için toplama işlemi basit bir çarpmaya dönüşmektedir. Bir kenarı olan düzgün bir -genin çevresi () bu nedenle şu formülle bulunmaktadır:

Bu formülde eşit kenarların sayısını, ise tek bir kenarın uzunluğunu temsil etmektedir. Örneğin bir kenarı olan eşkenar üçgenin çevresi olarak hesaplanmaktadır. Böylece bu iki değer bilindiği sürece her düzgün çokgenin çevresi aynı çarpım kuralıyla doğrudan elde edilmektedir.

Çözümlü örnek 4: Bir kenarının uzunluğu 7 cm olan düzgün beşgenin çevresi kaç santimetredir?

Verilenler: Bir kenarı olan düzgün bir beşgen ().

İstenen: Beşgenin çevresi ().

1. adım: Çevre formülünde ve yerine konulmaktadır:

Sonuç: Bir kenarı olan düzgün beşgenin çevresi olmaktadır.

Çözümlü örnek 5: Bir kenarının uzunluğu 14 cm olan düzgün sekizgenin çevresi kaç santimetredir?

Verilenler: Bir kenarı olan düzgün bir sekizgen ().

İstenen: Sekizgenin santimetre cinsinden çevresi ().

1. adım: Sekiz eşit kenarın toplamı için ile çarpılmaktadır:

Sonuç: Kenarı olan düzgün sekizgenin çevresi olarak bulunmaktadır.

Apotem Yardımıyla Alan Hesabı

Düzgün olmayan çokgenlerin alanı, şekil üçgenlere ya da dikdörtgenlere ayrılarak hesaplanabilmektedir. Oysa düzgün çokgenlerin simetrik yapısı, alanı tek bir formülle bulmaya olanak tanımaktadır. Bu hesabın temel uzunluğu, merkezden bir kenarın orta noktasına uzanan apotemdir. Apotem, merkezden kenara olan uzaklıktır. Aynı zamanda şeklin içine çizilebilen çemberin yarıçapı, yani iç yarıçapı (İng: "inradius") olan değeridir.⁠^[17]

İlk adımda merkez bütün köşelerle birleştirildiğinde, şekil yüksekliği olan adet eş ikizkenar üçgene ayrılmaktadır. Ardından trigonometrik bağıntılar yardımıyla bir kenar, ve merkez açının yarısı olan cinsinden yazıldığında, düzgün bir -genin alanı () şu formülle hesaplanmaktadır:

Bu denklemde kenar sayısını, apotem uzunluğunu (iç yarıçapı), ise radyan cinsinden açısının tanjant değerini göstermektedir. Ayrıca iç yarıçapın karesi alındığı için uzunluk birimi doğrudan cm² gibi kare birimlere dönüşmektedir. Kenar sayısı ve apotem bilindiğinde düzgün bir çokgenin alanı hesaplanabilmektedir.

Evrim Ağacı

Çokgenlerin Geometrik Uygulama Alanları

Çokgenlerin matematiksel özellikleri hem günlük nesnelerin tasarımında hem de klasik geometrinin problemlerinde ortaya çıkmaktadır.

Yaklaşık MÖ 325 ile MÖ 265 yılları arasında yaşamış ve İskenderiye ile anılan Yunan matematikçi Öklid (İng: "Euclid"), düzlemsel şekillerin özelliklerini Elementler (İng: "The Elements") adlı geometri eserinde bir araya getirmiştir.⁠^[13] Bu bölümde sırasıyla düzgün çokgenlerin pergel ve cetvelle çizimi, çemberin çevresinin çokgenlerle sınırlandırılması ve düzlemin çokgenlerle kaplanması ele alınmaktadır.

Pergel ve Cetvelle Çizilebilen Çokgenler

Öklid, Elementler adlı eserinin IV. kitabında doğrusal şekiller ile çemberlerin birbirine göre konumlarını tanımlamıştır. Bu tanımlara göre bir çokgenin her köşesi çemberin üzerinde yer alıyorsa, çokgenin çembere içten çizildiği (İng: "inscribed in a circle") söylenmektedir. Buna karşılık her kenarı çembere teğet olarak değiyorsa, çokgen çembere dıştan çizilmiş (İng: "circumscribed about a circle") olmaktadır. Aynı ilişki çember açısından ifade edildiğinde ise çokgenin her kenarına içten değen çember, çokgene içten çizilmiş çember olarak tanımlanmaktadır.

Bu tanımların ardından Öklid, bir çemberin içine pergel ve ölçüsüz cetvel (İng: "compass and straightedge") kullanarak çizilebilen düzgün çokgenleri ele almıştır. Eserin IV.6 önermesi çembere içten bir kare, IV.11 önermesi eşkenarlı ve eşaçılı bir beşgen çizmeyi konu almaktadır.⁠^[14] IV.15 önermesi ise aynı türden bir altıgenin çizimini vermektedir. Bu önermenin bir sonucu olarak, içten çizilen düzgün altıgenin bir kenarı çemberin yarıçapına eşittir.⁠^[14]

Öklid ayrıca IV.16 önermesinde bir çembere eşkenarlı ve eşaçılı bir onbeşgen çizmeyi ele almıştır. Ancak düzgün çokgenlerin sadece bazıları bu araçlarla çizilebilmektedir. Örneğin düzgün yedigen ve düzgün dokuzgen, aşağıda verilen çizilebilirlik koşulunu sağlamadığı için çizilememektedir.

Hangi düzgün çokgenlerin pergel ve cetvelle çizilebileceğini, çizilebilir çokgen (İng: "constructible polygon") kuramı belirlemektedir. Bu kurama göre için düzgün bir -genin bu yolla çizilebilmesi, ancak ve ancak ve negatif olmayan tam sayılar ve birbirinden farklı Fermat asalları olmak üzere sayısının şu biçimde çarpanlarına ayrılabilmesiyle mümkündür:

Çizilebilen düzgün çokgenlerin kenar sayıları dizisini oluşturmaktadır.⁠^[24] Bu listede on yedi kenarlı düzgün çokgen (onyedigen) de yer almaktadır.

Evrim Ağacı

Çokgenlerle Çemberin Sınırlandırılması

Çember doğrusal kenarlara sahip olmadığı için bir çokgen sayılmasa da, çok sayıda kenarı olan düzgün bir çokgen görünüm olarak çembere bir hayli yaklaşmaktadır. Arşimet (İng: "Archimedes"), yaklaşık MÖ 287 ile MÖ 212 yılları arasında yaşamış bir antik çağ matematikçisidir.⁠^[16] Arşimet, çokgenlerin bu özelliğini çemberin çevre ve çap oranını hesaplamak için kullanmıştır.⁠^[15] Bu amaçla Çemberin Ölçümü (İng: "Measurement of a Circle") adlı eserinde çemberi içten ve dıştan çizilmiş iki düzgün çokgenle sınırlamıştır.⁠^[15]

Bu tarihsel hesaplamada Arşimet, çembere dıştan çizilmiş 96 kenarlı bir düzgün çokgen ile içten çizilmiş 96 kenarlı bir düzgün çokgen kullanmıştır. Çemberin çevresi, içteki 96-genin çevresinden büyük, dıştaki 96-genin çevresinden küçüktür. Arşimet eserin üçüncü önermesinde bu iki sınırı hesaplamıştır. Vardığı sonuç kesin bir eşitlik değildir. Bu önermede herhangi bir çemberin çevresinin () çapına () oranı şu aralıkla sınırlandırılmıştır:

Bir çemberin alanına, içine yerleştirilen düzgün bir çokgenin alanı hesaplanarak adım adım yaklaşılabilmektedir.⁠^[16] Bu bağlamda içteki düzgün -gen, merkezden köşelere uzanan yarıçap parçalarıyla adet üçgenin birleşimi olarak düşünülmektedir. Kenar sayısı büyüdükçe, merkezde oluşan bu üçgenlerin tepe açısı daralmaktadır. Kenarlar çember yayına daha sıkı yaslanmaktadır. Aradaki boşluklar da küçülmektedir. Bu açı sıfıra yaklaşırken alınan limit işlemiyle, çokgenin alanı çemberin alanına ulaşmaktadır.

Boşluksuz Düzlem Kaplama Desenleri

Çokgenlerin fiziksel dünyadaki uygulamalarından biri, mimaride, kumaşlarda, yer karolarında, duvar desenlerinde ve halılarda görülen tekrarlı yüzey örgüleridir. Bir düzlemin bir ya da daha fazla geometrik şeklin tekrarlanmasıyla örtülmesine düzlem kaplama veya teselasyon (İng: "tessellation") adı verilmektedir. Böyle bir kaplamada şekiller arasında hiçbir boşluk kalmaması (İng: "no gaps") ve şekillerin birbiri üzerine binmemesi (İng: "no overlaps") şart olmaktadır.

Tek bir tür eş düzgün çokgenle yapılan düzenli kaplamalarda (İng: "regular tessellations"), bütün parçalar aynı büyüklükte ve aynı biçimdedir. Bu parçaların bir köşe etrafında boşluk bırakmadan ve üst üste binmeden birleşebilmesi için, aynı köşede buluşan iç açıların toplamının tam olarak olması gerekmektedir.⁠^[12] Düzgün bir çokgenin düzlemi kendi başına döşeyebilmesi için bir iç açısının değerini kalansız bölmesi zorunludur.

Düzgün çokgenler arasından düzlemi kendi başına örtebilenler sadece eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgendir.⁠^[12] Üç şeklin köşe birleşimleri, kuralının nasıl sağlandığını açıkça göstermektedir.

• Bir iç açısı olan eşkenar üçgenlerden bir köşede altı tanesi buluşmakta ve toplamıyla düzlemi tam kapatmaktadır.
• İç açısı olan karelerden her köşede dört tane bir araya gelmekte ve açıların toplamı olmaktadır.
• Düzgün altıgenlerde ise değerindeki üç açı bir köşede birleşerek yine toplamını vermektedir.

Yaygın bir yanılgı, her düzgün çokgenin yan yana dizildiğinde düzlemi tek başına kaplayabileceği düşüncesidir. Oysa iç açısı olan düzgün beşgenlerden üç tanesi bir köşede birleştirildiğinde toplam olmaktadır. Arada bir boşluk kalmaktadır. Dördüncü beşgen eklendiğinde ise toplam olmaktadır. Şekiller üst üste binmektedir. Düzgün beşgenler tek başlarına bir döşeme oluşturamamaktadır. İç açısı olan düzgün sekizgenler de bunu başaramamaktadır. Ne var ki sekizgenler yan yana dizildiğinde aralarında kalan boşluklar tam birer kare oluşturmaktadır. Bir düzgün sekizgen ile bir kare birlikte kullanılarak düzlem boşluksuz kaplanabilmektedir.

Öte yandan düzgün beşgenlerin bu başarısızlığı, hiçbir beşgenin düzlemi kaplayamayacağı anlamına gelmemektedir. Düzgün olmayan bazı beşgenler ise düzlemi tek başlarına boşluksuz kaplayabilmektedir. Son olarak bütün bu desenlerde şekillerin düzlem boyunca tekrarlanmasını sağlayan katı hareketler (İng: "rigid motions"), öteleme (İng: "translation"), dönme (İng: "rotation"), yansıma (İng: "reflection") ve kayma yansıması (İng: "glide reflection") olarak sınıflandırılmaktadır.

Tomruen, CC BY-SA 4.0

Sonuç

Çokgenler, sonlu sayıda doğru parçasının art arda birleşmesiyle kurulan kapalı düzlem şekilleridir. Örneğin her basit çokgen, yeni bir köşe eklenmeden iç köşegenle adet üçgene ayrılabilmektedir.⁠^[10]

Çokgenler, eğrisel şekillerin alanına yaklaşmak için de kullanılmaktadır. Çemberin içindeki düzgün -gen merkezden dilime ayrıldığında, kenar sayısı arttıkça çokgenin alanı çemberin alanına yaklaşmaktadır.

Açı koşulları yüzeylerin tasarımında da rol oynamaktadır. Örneğin bir köşede buluşan iç açıların toplamının olma şartı, hangi düzgün çokgenlerin zemini boşluksuz örtebileceğini belirlemektedir.