Project Euler 2: Çift Fibonacci Sayıları

Project Euler 2: Fibonacci dizisindeki her yeni terim, önceki iki terimin toplamıdır. 1 ve 2'den başlanarak ilk 10 terim şu şekildedir: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Dört milyonu aşmayacak şekilde çift Fibonacci terimlerinin toplamı nedir?

Project Euler 2 sorusuyla birlikte algoritma sorularının vazgeçilmezi olanFibonacci dizisiyle karşılaşıyoruz. Fibonacci dizilerini elde edebileceğiniz birçok algoritma mevcut, mutlaka bunlara göz atmanızı öneririm. Özellikle özyinelemeli (recursive) fonksiyonlar konusunun vazgeçilmez örneklerindendir. Burada oldukça basit bir metodu kullanacağım. Öncelikle Fibonacci dizisini elde edeceğimiz algoritmayı belirleyelim, ardından 4000000'a kadar olan bu sayılardan hangileri çift onlara bakacağız ve çift olanların toplamının kaç ettiğini bulacağız.

Yapmamız gereken Fibonacci dizisinin temel kuralını uygulayarak sırayla sayı dizisinin elemanlarını elde etmek ve kaba bir yaklaşımla bu sayıların çift olup olmadığını denetlemek, eğer çiftse toplama eklemek olacak. Bunun için üç tane değişken tanımlıyoruz f₁, f₂ ve f₃. Bunlar dizinin ilk üç elemanı olsun. Bu durumda f₃ = f₁ + f₂ olacağı açıktır. Çünkü Fibonacci dizisinde sıradaki terim, önceki iki terimin toplamıdır. Buraya kadar tamam, peki bundan sonrasını nasıl elde edeceğiz?
Sıradaki terim f₂+f₃ olacak. Fakat bunu elimizdeki üç değişkeni kullanarak yapmalıyız, çünkü her seferinde yeni bir değişken tanımlayamayız. Zaten tanımlayabilseydik bile bu çok verimsiz bir yöntem olurdu. Bunun yerine değişkenleri öteleyeceğiz. Yeni sıralamamızdaki ilk terim şu an elimizde olan f₂ olacak, dolayısıyla onu f₁ yapıyoruz. Şu an elimizde bulunan f₃'ü ise f₂ yapıyoruz. Böylelikle sayılarımızı birer ötelemiş olduk. Şimdi yapacağımız sıradaki sayıyı belirleme işlemi yine f₁+f₂ olacak, fakat bu değişkenler önceki değişkenler olduğundan aslında eskiye göre yaptığımız işlem f₂+f₃ oldu ki biz de tam olarak bunu istiyorduk.

C# Çözümü

Böylelikle sonuç: 4613732 olarak bulunur.

Python Çözümü

Execution time 7.152557373046875e-06 seconds
Sum: 4613732

Matematiksel Yaklaşım

Soruda f₁ = 1 ve f₂ = 2 olarak başlamamız isteniyor. (1) no'lu diziye baktığımızda çift sayılarla ilgili bir düzen fark ediyoruz. Her üç sayıda bir çift sayıyla karşılaşıyoruz. Bu durum başlangıç koşullarını göz önüne aldığımızda gayet mantıklı görünüyor. (2) no'lu ifadeyi çiftlik teklik cinsinden tekrar yazalım.

Burada çift olma durumunu belirleyen faktör T'nin başına gelen katsayıdır. Çünkü C ne ile çarpılırsa çarpılsın sonuç C olacaktır. Ancak C+C = C olacağından, çiftlik durumunu T'nin başındaki katsayı belirler. Bu katsayı her üç tekrarda bir çift olmaktadır.

Böylelikle her sayının tek tek çift olup olmadığını kontrol etmek yerine, her üç seferde bir tekrarlayan elemanlara bakmak yeterli olacaktır.
Lakin Fibonacci sayı dizimiz oldukça kısa olduğundan, bu işlemin süre açısından çok da faydalı olmayacağını fakat başka sorularda işimize yarayabilecek bir bakış açısı olduğuna dikkat edelim.
Ögetay Kayalı