xEx (x elemanıdır x),ilişkisini sağlayan bir x kümesi olabilir mi ?nasıl ?

Zermelo–Fraenkel Kuramı kapsamında cevap verecek olursam,

Eşleştirme Aksiyomu: Her ve kümesi için öyle bir kümesi vardır ki olur.

Düzenlilik Aksiyomu: Her boş olmayan kümesinin öyle bir elemanı vardır ki olur.

Teorem: olacak şekilde bir kümesi yoktur.

İspat:

, olacak şekilde bir küme olsun.

ile 'in kendisi için Eşleştirme Aksiyomunu uygularsak yani 'in bir küme olduğu sonucuna ulaşırız.

Eşleştirme Aksiyomunu ve kümeleri için uygularsak, 'in bir küme olduğu sonucuna ulaşırız.

kümesi için Düzenlilik Aksiyomunu uygulayalım. kümesinin öyle bir elemanını bulmalıyız ki o eleman ile kümesinin kesişimi boş olmalı.

elemanını ele alırsak, ve olduğundan, olur.

elemanını ele alırsak, olur.

Böylece, kendisini içeren küme Düzenlilik Aksiyomunu sağlamaz dolayısıyla küme değildir ki bu bir çelişkidir.

Yani kendisini içeren küme yoktur.

İkinci sorunuza gelirsek, yukarıda görmüş olduğunuz gibi bu sorunun bir cevabı var ancak tek bir cevabı yok. Yani farklı kuramlar farklı aksiyomları kabul ettiklerinden dolayı soruya verilen cevap, soruya hangi kuramla yaklaştığınıza bağlı olarak değişir.

Ben, soruyu Zermelo–Fraenkel Kuramı ile cevapladım yani Zermelo–Fraenkel Kuramının aksiyomlarını kullanarak kendisini içeren bir kümenin olamayacağının ispatını verdim.