/content/03352768-30c5-4c8a-8631-ab8bac2e3a5e.jpeg)
05/11/2026
Tüm Reklamları Kapat
©2010-2026 Evrim Ağacı
/profile/37f26ac92b52d4b1fc6c287a2c379540.jpeg){kind=small}
Hayır, f⁻¹(x) ile 1/f(x) aynı şey değildir.[1][7] f⁻¹(x) başlangıçtaki girdiyi çıktıya ve çıktıyı girdiye dönüştüren ters fonksiyon (İng: "inverse function") değerini verirken, 1/f(x) fonksiyon değerinin çarpmaya göre tersini (İng: "reciprocal") göstermektedir.[1][7] f⁻¹(x) yazılışındaki yükseltilmiş -1 bir üs veya kuvvet (İng: "power") değildir.[1][8] Sadece gösterimin parçasıdır.[1] Fonksiyon kavramı 1748'de Euler'in çalışmasıyla öne çıkmış, John Herschel de 1813'te cos⁻¹ e yazılışının 1/cos e anlamına gelmediğini belirtmiştir.[10][12] Üst indisli bu yazımı ondan önce Bürmann da açıklamış, ancak ters fonksiyonlara uygulamamıştır.[11]
Ters fonksiyonda işlemler (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹ bileşke kuralındaki gibi ters sırayla geri alınmaktadır.[1][6] Örneğin m ≠ 0 koşuluyla f(x) = mx+b doğrusal fonksiyonunun tersi f⁻¹(x) = (1/m)x-b/m biçimindedir ve f(x) = 3x-4 kuralında x'i yalnız bıraktığımızda f⁻¹(x) = (1/3)x+4/3 elde edilmektedir.[1][2][9] Rasyonel f(x) = 2/(x-3)+4 örneğinin tersi de f⁻¹(x) = 2/(x-4)+3 olarak bulunmaktadır.[1] Kümeler karşılıklı yer değiştirmektedir.[1] Oysa 1/f(x) yazılışında paydayı sıfır yapan girdiler tanım kümesinden çıkarılır, sıfırı dışlayan f(x) = 1/x temel fonksiyonu ise f(f(x)) = 1/(1/x) = x eşitliğiyle kendi tersidir.[1][4]
Her fonksiyonun tersi yoktur.[1] Ters bağıntının da tek çıktı vermesi için fonksiyonun bire bir (İng: "one-to-one") olması ve yatay doğruların grafiği en fazla bir noktada kesmesi gerekmektedir.[1][2] Ayrıca hedef kümenin tamamında iki yönlü ters için örtenlik de gerekir, yani fonksiyon bire bir ve örten (İng: "bijective") olmalıdır.[5][6] Karesel f(x) = x² bire bir değildir.[1] Ancak 9 çıktısını hem 3 hem -3 girdisinden üreten bu fonksiyonu [0,∞) aralığına kısıtladığımızda tersi karekök fonksiyonu, (-∞,0] kısıtında da f⁻¹(x) = -√x olmaktadır.[1][2][3]
Küme kısıtları belirleyicidir.[1][3] Tepe noktası (2,-3) olan f(x) = (x-2)²-3 parabolü x ≥ 2 ile kısıtlandığında, kök içi negatif olamayacağından tersi [-3,∞) üzerinde f⁻¹(x) = 2+√(x+3) olmaktadır.[3][4] Karekök örneği f(x) = 2+√(x-4) ise sadece [2,∞) görüntü kümesi üzerinde f⁻¹(x) = (x-2)²+4 tersini vermektedir.[1][3] f⁻¹(f(x)) = x eşitliğiyle birbirini geri alan bu fonksiyonların grafikleri, (a,b) noktası (b,a) noktasına dönüştüğünden y = x doğrusuna göre birbirinin yansımasıdır.[1][2] 1/f(x) ise f(x) ile bu biçimde birbirini geri almamaktadır.[1][7]
Konunun ayrıntılarını Ters Fonksiyon yazımızda bulabilirsiniz.