Ödüllü Soru Sizce insanlığın günümüze kadar, bu kadar kısa bir sürede gelişmesinin sırrı nedir?

Öncelikle ana etkenleri anlatacağım, sonrasında bir de örnek göstereceğim. İnsanlığın günümüze kadar, nispeten kısa bir sürede bu denli hızlı gelişmesinin ardındaki sır, birden fazla disiplinin kesişiminde yatıyor. Biraz uzun olacak şimdiden söyleyeyim.

Üstel Büyüme ve Teknolojik İlerleme

İnsanlığın teknolojik gelişimi büyük ölçüde üstel büyüme yasalarına tabidir. Üstel büyümeyi matematiksel olarak ifade etmek gerekirse:

Burada:

: Zaman t anındaki gelişim seviyesi

: Başlangıç seviyesi

: Büyüme oranı

: Doğal logaritmanın tabanı (yaklaşık 2.718)

Teknolojik ilerleme bilgi birikiminin katlanarak artmasıyla hızlanır. Örneğin Moore Yasası'na göre mikroişlemci işlem gücü her yaklaşık 18 ayda bir iki katına çıkar. Bu aslında teknolojinin üstel büyümesinin somut bir örneğidir.

Enerji Kullanımının Artışı

Kardashev Ölçeği'ne göre medeniyetlerin gelişmişlik seviyesi enerji tüketimleriyle orantılıdır. İnsanlık olarak henüz Tip I medeniyet seviyesine ulaşamamış olsak da enerji tüketimimiz tarihsel olarak sürekli artmıştır.

Enerji tüketiminin tarihsel artışını basitleştirilmiş bir modelle ifade edebiliriz:

Burada:

: Zaman t anındaki enerji tüketimi

: Başlangıç enerji tüketimi

: Yıllık enerji tüketim artış oranı

Bu artış da teknolojik gelişmelerin ve nüfusun artmasıyla doğrudan ilişkilidir.

Bilgi ve İletişim Teknolojilerinin Evrimi

Bilginin depolanması ve aktarılması insanlığın hızlı gelişiminin temel taşlarından biridir. Shannon'un Bilgi Teorisi'ne göre bilgi kapasitesi ve iletim hızı, iletişim teknolojilerinin verimliliğini belirler.

Bilgi iletim kapasitesini ifade eden Shannon-Hartley teoremi şu şekildedir:

Burada:

: Kanal kapasitesi (bit/saniye)

: Bant genişliği (Hz)

: Sinyal-gürültü oranı

İletişim teknolojilerindeki ilerlemeler ve değerlerini artırarak bilgi akışını hızlandırmıştır.

Kümülatif Kültürel Evrim

İnsanlığın kültürel ve teknolojik gelişimi kümülatif kültürel evrim kavramıyla da açıklanabilir. Bu süreçte bilgiler nesiller boyunca birikerek daha karmaşık teknolojilerin gelişimine olanak tanır.

Matematiksel olarak bu birikimi bir aritmetik diziyle basitleştirebiliriz:

Burada:

: n nesildeki teknoloji seviyesi

: Her nesilde eklenen teknolojik gelişim

Ancak gerçekte bu artış üstel olma eğilimindedir çünkü her yeni buluş bir sonraki için zemin hazırlar.

Sinerjik Etkiler ve Ağ Teorisi

İnsanlar arasındaki etkileşimlerin artması sinerjik etkilere yol açmıştır. Metcalfe Yasası'na göre bir iletişim ağının değeri kullanıcı sayısının karesiyle orantılıdır:

Değer

Burada:

: Ağdaki kullanıcı sayısı

Bu da, sosyal ve teknolojik ağların genişlemesiyle bilginin ve inovasyonun daha hızlı yayılmasını sağlamıştır. Ancak bitti mi tabii ki bitmedi.

Eğitim ve Bilimsel Metodolojinin Gelişimi

Eğitim seviyesinin artması ve bilimsel metodolojinin benimsenmesi problem çözme yeteneğimizi artırmıştır. Öğrenme Eğrisi Teorisi'ne göre bir görevde uzmanlaşma tekrar sayısıyla artar:

Burada:

: Görev için gereken zaman

: Başlangıç zamanı

: Tekrar sayısı

: Öğrenme oranı (genellikle )

Bu formül de pratik yaptıkça verimliliğin arttığını gösterir.

İnsanlığın hızlı gelişiminin sırrı üstel büyüme modelleriyle açıklanabilen teknolojik ilerleme, enerji kullanımının artışı, bilgi ve iletişim teknolojilerinin evrimi, kümülatif kültürel evrim, sinerjik ağ etkileri ve eğitim ile bilimsel metodolojinin gelişimidir.

Ancak unutmamalıyız ki bu modeller basitleştirilmiştir, gerçek dünya dinamikleri daha karmaşıktır bildiğiniz üzere.

Şimdi isterseniz bir örnek gösterelim:

İnsanlığın teknolojik ilerlemesi, tarihsel olarak üstel büyüme yasalarına tabi olmuştur. Bu kısımda üstel büyümenin nasıl çalıştığını, teknolojik ilerlemeyi nasıl etkilediğini ve bu süreci matematiksel olarak nasıl modelleyebileceğimizi bir örnekle göstermeye çalışacağım. Burayı da alt başlıklar kullanarak ilerleyeceğim daha anlaşılabilir olması için.

Üstel Büyümenin Matematiksel Temelleri

Üstel büyüme bir miktarın zaman içinde kendisinin sabit bir oranıyla çarpılarak artması durumudur. Bu tür büyümeyi ifade etmek için temel diferansiyel denklem şu şekildedir:

Burada:

: Zaman t anındaki büyüklük (örneğin, teknoloji seviyesi, nüfus, bilgi miktarı)

: Üstel büyüme oranı (sabit)

: N'nin zamana göre türevi, yani büyüme hızı

Bu diferansiyel denklemi çözerek, üstel büyüme fonksiyonunu elde ederiz:

Burada:

: Başlangıç değeri (zaman anındaki )

: Doğal logaritmanın tabanı (yaklaşık 2.71828)

Teknolojik İlerlemenin Üstel Büyümesi

Moore Yasası ve Mikroişlemci Teknolojisi

Moore Yasası mikroişlemcilerin transistör sayısının yaklaşık her 18-24 ayda bir iki katına çıktığını belirtir. Bu, işlem gücünün ve performansın üstel olarak arttığı anlamına gelir. (Yapay zekâlarda da gördüğümüz üzere, bu da aynı orantıda artmaktadır, gerçi yapay zekâyı bir araç değil de fantastik bir şey olarak görenler de var tabii ama... neyse bu yanıtımı da oraya bağlamayayım ancak anlaşılmıştır diye düşünüyorum.)

Matematiksel Modellemeesi:

Transistör sayısını ile ifade edelim. Eğer başlangıçta transistör varsa ve transistör sayısı her sürede iki katına çıkıyorsa:

Bu denklem üstel büyümenin bir başka formudur. Bunu doğal logaritmalar kullanarak da ifade edebiliriz:

Burada olur ve üstel büyüme denklemiyle uyumludur.

Örnek Hesaplama:

Diyelim ki 1971 yılında Intel 4004 işlemcisi 2,300 transistör içeriyordu ki gerçek bilgidir bu farazi değildir. Moore Yasası'na göre her 2 yılda bir transistör sayısı iki katına çıkıyor.

Transistör sayısını 2021 yılı için hesaplayalım :

Bu hesaplama 2021 yılında bir mikroişlemcide yaklaşık 77 milyar transistör olacağını öngörür ki bu gerçek dünya verileriyle uyumludur.

Nasıl mı uyumlu şöyle:

NVIDIA A100 GPU: ortalama 54 milyar transistör (2021)

Apple M1 Ultra SoC: ortalama 114 milyar transistör (2021)

1971 yılı için bu tahminde bulunabilmek büyü gibi bir şey değil mi?

NVIDIA Blackwell B100 GPU: 208 milyar transistör (2024)

Apple M2 Ultra SoC: 134 milyar transistör (2024)

Bu nasıl bir atlayış yiğidim (Çağrı'dan arakladım bu tepkiyi, telif atma :)) diyebilirsiniz ki deyin bence de :) e o zaman bu hesaba göre 2025'de bizim 154 küsür milyar transistöre sahip olmamız gerekirdi ama biz çoktan 208 milyara ulaştık, ne oldu şimdi yattı mı bu formül? Tabii ki hayır, çünkü bu sadece tek bir dal üzerinden çıkılan bir sonuç. Diğer dallar neler diyorsanız onlara da aşağıda bahsedeceğim.

Bilgi Miktarının Artışı

Bilgi miktarının artışı da üstel büyümeye tabidir. İnsanlık tarihindeki toplam bilgi miktarını ile ifade edelim. Evet böyle bir şey var.

Bilgi Miktarının Üstel Büyümesi:

Burada:

: Başlangıçtaki bilgi miktarı

: Bilgi artış oranı

Bilgi miktarının her belirli sürede iki katına çıktığını varsayalım. Örneğin bilgi miktarı her 5 yılda bir iki katına çıkıyorsa şu şekilde hesaplanır:

Örnek Hesaplama:

Eğer 2000 yılında bilgi miktarı 1 birim ise 2020 yılı için bilgi miktarını hesaplayalım :

Yani bilgi miktarı 20 yılda 16 katına çıkmıştır.

Teknolojik İlerlemenin Sosyoekonomik Etkileri

Nüfus Artışı ve Enerji İhtiyacı

Nüfus artışı da üstel büyümeye tabi olabilir. Nüfus arttıkça enerji ihtiyacı ve kaynak tüketimi de artar.

Malthus Modeli:

Burada:

: Zaman t anındaki nüfus

: Başlangıç nüfusu

: Nüfus artış oranı

Örnek Hesaplama:

Dünya nüfusunun 1950'de 2.5 milyar olduğunu ve yıllık %1.8 oranında arttığını varsayalım .

2020 yılı nüfusunu hesaplayalım :

Bu tahmin de gerçek dünya nüfus verileriyle nispeten tutarlıdır. Burada artış oranını fix verdim yani %1.8, ancak şöyle bir şey var, 1950 ve 70 arası nüfus artış oranı yüksekti tabii savaşlar bitti, refah artmaya başladı, haliyle nüfus artış oranı hızlandı. Sonra niye düştü?

1. Bebek ölümlerinin azalması, ailelerin daha az çocuk sahibi olma eğilimini desteklemiştir.
2. Kadınların daha uzun süre eğitim alması ve çalışma hayatına daha fazla katılması, doğurganlık oranlarını düşürmektedir.
3. Kentleşme arttıkça, çocuk yetiştirme maliyetleri yükselmiş, bu da aileleri daha az çocuk sahibi olmaya yöneltmiştir.

gibi gibi bunu daha da detaylandırabiliriz ancak anlaşılmıştır diye düşünüyorum.

Enerji Tüketiminin Artışı

Enerji tüketimi hem nüfus artışı hem de kişi başına düşen enerji tüketiminin artmasıyla üstel olarak artar.

Enerji Tüketimi Modeli:

Burada:

: Zaman t anındaki enerji tüketimi

: Başlangıç enerji tüketimi

: Nüfus artış oranı

: Kişi başına enerji tüketim artış oranı

Örnek Hesaplama:

Eğer nüfus artış oranı ve kişi başına enerji tüketim artış oranı ise, toplam enerji tüketim artış oranı olur.

Başlangıç enerji tüketimi terawatt ise, 50 yıl sonraki enerji tüketimi:

Bu da enerji tüketiminin 50 yılda yaklaşık 2.7 katına çıktığını gösterir.

Teknolojik İlerlemenin Dinamikleri

Geri Besleme Mekanizmaları

Üstel büyüme genellikle pozitif geri besleme mekanizmaları sonucu oluşur. Teknolojik ilerlem yeni teknolojilerin geliştirilmesini kolaylaştırır.

Matematiksel İfadessi:

Burada terimi, ikinci dereceden bir geri besleme etkisini temsil eder.

Bu diferansiyel denklem lojistik büyümeye de yol açabilir kapasite sınırları olduğunda bilginiz olsun.

Sınırlamalar ve Taşıma Kapasitesi

Üstel büyüme sonsuza kadar devam edemez; kaynak sınırlamaları ve diğer faktörler büyümeyi sınırlar.

Lojistik Büyüme Denklemi:

Burada:

: Taşıma kapasitesi (maksimum sürdürülebilir büyüklük)

Çözümü:

Örnek Hesaplama:

Eğer başlangıç nüfusu milyar, taşıma kapasitesi milyar ve büyüme oranı ise, nüfusun zaman içindeki değişimi hesaplanabilir.

Teknolojik İlerlemenin Modellenmesi

Burada örnek bir senaryo işleyeceğiz. Başlangıç Varsayımları:

Başlangıç Teknoloji Seviyesi : 1 birim (örneğin, yıl 1800)

Büyüme Oranı : %2 yıllık teknolojik ilerleme

Zaman Aralığı : 220 yıl (1800'den 2020'ye)

Teknoloji Seviyesinin Hesaplanması

Bu teknoloji seviyesinin 220 yılda yaklaşık 81 kat arttığını gösterir.

Teknolojik İlerleme ve İnovasyon Hızı

İnovasyon sayısını ile ifade edelim. İnovasyon hızı mevcut teknoloji seviyesine bağlı olabilir:

Burada bir orantı sabitidir.

İnovasyon sayısı teknolojik ilerlemenin entegrali olarak bulunur:

Örnek Hesaplama:

Eğer ve ise:

Bu da 220 yılda yaklaşık 400 inovasyon gerçekleştiğini gösterir.

Teknolojik İlerlemenin Geleceğe Projeksiyonu

Singularity (Tekillik) Kavramı

Bazı fütüristler teknolojik ilerlemenin belirli bir noktada sonsuz hale geleceğini, yani bir "tekillik" oluşacağını öne sürerler.

Matematiksel Yaklaşım:

Eğer büyüme oranı zamanla artıyorsa:

Burada tekilliğin gerçekleşeceği zamandır.

Teknoloji Seviyesinin Hesaplanması:

Bu modelde 'ye yaklaştıkça sonsuza gider.

Uygulanabilirlik ve Eleştiriler

Bu tür bir model pratik sınırlamalar ve fiziksel yasalar nedeniyle eleştirilir, ki ben de açıkçası gerçekçi bulmuyorum, tabii ben yine de söylemiş olayım ona siz karar verirsiniz. Enerji, kaynaklar ve termodinamik yasaları, sınırsız büyümeyi engeller.

Teknolojik İlerlemenin Sürdürülebilirliği

Entropi ve Termodinamik Sınırlamalar

Termodinamiğin ikinci yasası kapalı bir sistemde entropinin zamanla arttığını belirtir. Bu, enerji dönüşümlerinin %100 verimli olamayacağını gösterir.

Entropi Üretimi:

Bu da teknolojik ilerlemenin enerji verimliliği ve sürdürülebilirlik açısından sınırlı olduğunu gösterir.

Sürdürülebilir Enerji Kaynakları

Enerji tüketiminin artması, yenilenebilir ve sürdürülebilir enerji kaynaklarına yönelmeyi gerektirir.

Enerji Dengesi Denklemimiz:

Yenilenebilir enerji üretimini ile ifade edersek:

Uzun vadede azalmaya, artmaya eğilimlidir.

Değerlendirelim ve Yorumlayalım

Üstel büyüme ve teknolojik ilerleme, insanlığın bu kadar kısa bir sürede böylesine büyük atılımlar yapmasının ardındaki gerçek itici güçlerdir. Matematiksel modeller bu süreci anlamamıza ve geleceğe dair umutlar beslememize yardımcı oluyor, evet; fakat ne kadar çabalarsak çabalayalım, bu modeller gerçek dünyanın karmaşıklığını tam olarak yansıtamıyor. Kaynak sınırlamaları, çevresel etkiler ve sosyoekonomik faktörler, üstel büyümeyi yavaşlatıyor ve sürdürülebilirlik kavramını her zamankinden daha önemli hale getiriyor.

İnsanlığın gelecekteki rotası, bu sınırlamaları nasıl yöneteceğimize ve teknolojiyi ne kadar akıllıca ve sorumlu bir şekilde kullanabileceğimize bağlı olacak. Matematiksel ve fiziksel prensipler bize yol gösterebilir, ancak nihayetinde kararlar ve eylemler bizim elimizde...

Tabii bir de teknolojinin bir gün bizi aşacağına inanan, tekillik masallarına kendini kaptırmış bazı fütüristler var. Sanki teknoloji bizim yarattığımız ve kontrol ettiğimiz bir araç değil de, kendi iradesiyle hareket eden fantastik bir varlıkmış gibi! Bu cevabı ben yazıyorsam bir şekilde oraya gelirim kusura bakmayın :) Yapay zekâların işlem gücü ve performansı üstel olarak artıyor, doğru; ama onu bir araç olarak görmek yerine, insanlığı ele geçirecek bir tehdit olarak görenlere ne demeli? Hatta 2024 Nobel Fizik Ödülü'nün yapay zekâya verilmesi bile bu abartılı düşüncenin bir yansıması değil mi? Kendi yarattığımız bir teknolojiye ödül vererek neyi ispat etmeye çalışıyoruz acaba üstelik fizik alanında?^[1]

Yann LeCun mevcut YZ sistemlerinin, kediler gibi hayvanlarda bulunan temel zekâ özelliklerinden yoksun olduğunu belirtiyor. Niye belirtiyor bu adam bilgisiz mi ki? Bilgisiz olmalı ki New York Üniversitesi Courant Matematik Bilimleri Enstitüsü'nde Gümüş Profesör ve Meta'da Başkan Yardımcısı ve Baş Yapay Zeka Bilim İnsanı... Turing ödülünü de öylesine aldı zaten. Adam boşuna yapay zekâ bir kediden bile daha salaktır demiyor.^[2]

Asıl mesele, teknolojiden korkmak yerine onu nasıl kullanacağımızı bilemememizdir. En büyük tehlike ise teknolojinin kendisi değil, ona yüklediğimiz anlamsız korkulardır.