Limit Hız Nedir? Formülü Nasıl Kurulur?

Limit hız (İng: "terminal velocity"), bir akışkan içinde hareket eden katı bir cismin karşılaştığı akışkan direncinin hareketi sürdüren kuvvete eşitlenmesiyle ulaştığı sabit hız değeridir. İster atmosferde paraşütü henüz açılmamış bir paraşütçü ister durgun bir gölde dibe çöken mikroskobik bir tortu tanesi olsun, akışkan içindeki her cisim hızlandıkça büyüyen bir direnç kuvvetiyle karşılaşmaktadır. Hareketin başlangıcında sürücü kuvvet dirençten büyük olduğu için cisim ivmelenmektedir. Ancak hız arttıkça direnç kuvveti de büyümekte ve nihayet sürücü kuvveti dengelemektedir. Başka bir deyişle iki kuvvet birbirine eşitlendiği anda net kuvvet sıfırlanmaktadır. Böylece ivme ortadan kalkmaktadır. Cisim ise yoluna sabit bir hızla devam etmektedir.

Hava direncinin kurduğu bu denge olmasaydı yağmur damlalarının yeryüzüne çarpma sürati çok daha büyük olurdu. Örneğin yükseklikteki bir buluttan serbest bırakılan kütleli bir model damla, hiçbir hava direnciyle karşılaşmasaydı yere süratle çarpardı. Oysa doğrusal direnç modelinde aynı model damla kısa sürede dengeye ulaşmakta ve yeryüzüne limit hızla inmektedir. Benzer şekilde yüksek irtifadan atlayan bir paraşütçü vücut duruşunu değiştirerek limit hızını düzeyinden yaklaşık değerine çekebilmektedir. Paraşütünü açtığında ise hız çok daha düşmekte, böylece iniş yumuşamaktadır.

Gökyüzünden düşen damlalarla paraşütçülerin ve sıvı içinde çöken hücrelerin hızlarını aynı fiziksel ilke belirlemektedir. Fakat cismin boyutu, kütlesi, biçimi ve içinden geçtiği akışkanın özellikleri değiştikçe direnç kuvvetinin matematiksel yapısı da değişmektedir. Bu yazıda önce kuvvet dengesinin fiziksel mekanizması incelenmekte, ardından hızlı ve yavaş akış rejimlerinde limit hız formülü adım adım kurulmaktadır. Son olarak bu denklemlerden hangi bilimsel çıkarımların yapılabildiği sayısal örnekler, ölçüm teknolojileri ve basit modellerin sınırları üzerinden değerlendirilmektedir.

Limit Hız Nedir?

Bir cismin neden sonsuza dek hızlanmadığını anlamak için önce hareketin gerçekleştiği ortamı dikkate almak gerekmektedir. Fizikte hem gazlar hem de sıvılar akışkan (İng: "fluid") olarak sınıflandırılmakta ve akışkan bir ortamın içinde hareket eden her katı cisim, akışkanla girdiği mekanik temas ve etkileşim sonucunda sürükleme kuvveti (İng: "drag force") adı verilen bir dirençle karşılaşmaktadır.⁠^[16] Aslında sürükleme kuvveti temasa dayalı mekanik bir etki olduğu için ortamda akışkan yoksa sürükleme de oluşmamaktadır. Dolayısıyla limit hız mekanizması vakumda işlememektedir.

Sürükleme kuvvetini doğuran asıl etken, katı cisim ile çevresindeki akışkan arasındaki göreli hız farkıdır. Bu yüzden göreli hareket yoksa sürükleme kuvveti de oluşmamaktadır. Üstelik bu etkileşimde durgun bir akışkanın içinden geçen hareketli bir cisim ile hareketsiz duran bir cismin yanından akan akışkan aynı göreli hareket ilkesine tabidir. Örneğin el durgun suyun içinde hızla ileri itildiğinde ya da rüzgarlı bir günde kol sabit tutulduğunda hissedilen itme, cisim ile akışkan arasındaki hız farkının ürettiği aynı mekanik dirençtir.

Cisme etki eden diğer temel kuvvet ise hareketi başlatan ve sürdüren sürücü kuvvettir. Atmosferde veya bir sıvı sütununda serbest bırakılan cisimler için bu sürücü kuvvet çoğunlukla yer çekiminden kaynaklanan ağırlıktır. Bir cismin ağırlığı , kütlesi ile yer çekimi ivmesi 'nin çarpımı olarak tanımlanmaktadır:

Evrim Ağacı

Dünya yüzeyinde yer çekimi ivmesi değerindedir. Atmosferdeki birçok pratik problemde bu değer sabit kabul edilebilmektedir. Eğer bir cisim hiçbir akışkanın bulunmadığı tam bir vakum ortamında düşüyor olsaydı, bu düşüş modelinde cisme etki eden tek kuvvet yer çekimi olacaktı. Zaten vakumda direnç gösterecek bir akışkan bulunmadığı için cisim düşüşü boyunca her saniye hızını aynı miktarda artırarak ivmelenmeyi sürdürecekti. Ancak limit hız kavramı sadece yer çekimiyle sürülen düşüş hareketlerine özgü bir olgu da değildir. Hatta bir akışkan içinde yer çekimi dışında başka bir sabit sürücü kuvvete maruz kalan cisimler de direnç kuvveti büyüdükçe aynı denge mekanizmasına girmektedir.⁠^[12]

Havada düşen bir cisimde ağırlık ve sürükleme kuvveti zıt yönlere bakan birer vektörel büyüklüktür. Ağırlık vektörü () her zaman Dünya'nın merkezine doğru yönelirken, sürükleme kuvveti () tanımı gereği uçuş veya hareket yönünün tam tersine yönelmektedir. Aşağı yönlü düşüş incelenirken aşağı yön pozitif seçildiğinde, cisme etki eden net dış kuvvet () ağırlık ile sürükleme kuvvetinin farkına eşit olmaktadır:

Newton'ın ikinci hareket yasası uyarınca net kuvvet cismin kütlesiyle ivmesinin çarpımına eşit olduğundan, düşen cismin anlık ivmesi () şu denklemle ifade edilmektedir:⁠^[4]

Kurulan bu ivme bağıntısı, düşüşün başlangıcından limit hıza ulaşılana kadar geçen süreci adım adım açıklamaktadır. Cisim durgun halden serbest bırakıldığı ilk anlarda hızı sıfıra yakındır. Bu nedenle sürükleme kuvveti () çok küçüktür. Cisim neredeyse yer çekimi ivmesiyle hızlanmaktadır. Fakat cisim hızlandıkça çevresindeki akışkanla arasındaki göreli hız büyümekte, dolayısıyla sürükleme kuvveti de artmaktadır. Bunun sonucunda paydaki farkı küçülmekte ve cismin ivmesi her an biraz daha azalmaktadır.

Hızlanma süreci, büyüyen sürükleme kuvvetinin cismin ağırlığına tam olarak eşitlendiği ana kadar devam etmektedir. Sürükleme kuvveti ağırlığa eşitlendiğinde () cisme etki eden net dış kuvvet sıfır olmaktadır:

Net kuvvetin sıfırlanmasıyla birlikte cismin ivmesi de sıfıra inmektedir. Newton'ın birinci hareket yasasının belirttiği üzere, üzerine etki eden net dış kuvvet sıfır olan hareketli bir cisim mevcut hızını koruyarak hareketini sürdürmektedir.⁠^[4] Dolayısıyla bu denge anında sıfırlanan büyüklük cismin hızı değil, ivmesidir. Bu andan sonra cisim ne hızlanmakta ne de yavaşlamaktadır. Ulaştığı sabit limit hız () ile düşmeye devam etmektedir.

Evrim Ağacı

Limit Hız Formülünün Matematiksel Kurulumu

Limit hızın sayısal değerini veren bir formül kurmak için sürükleme kuvvetinin hıza ve akışkan özelliklerine nasıl bağlı olduğunu açıkça yazmak gerekmektedir. Akışkanlar mekaniğinde hıza bağlı sürükleme kuvveti, en genel biçimiyle hızın bir üssüyle orantılı olarak şu denklemle gösterilmektedir:

Bu genel bağıntıda cismin akışkana göre süratini, cismin boyutları ile akışkanın özelliklerini barındıran orantı sabitini, üssü ise akışın fiziksel rejimini temsil etmektedir. Cisim çok küçük ve hareket çok yavaş olduğunda sürükleme kuvveti doğrudan süratle () orantılı değişmektedir. Oysa günlük yaşamda karşılaşılan daha büyük ve hızlı cisimlerde sürükleme süratin karesiyle () orantılı büyümektedir. Bu nedenle tek bir evrensel formül yoktur. Akış rejimine göre iki temel model kurulmaktadır.

Formül kurulumunda dikkate alınması gereken ikinci kritik unsur ise akışkanın cisme uyguladığı kaldırma kuvvetidir (İng: "buoyant force"). Bir akışkanın içinde düşen bir cisme genel durumda aşağı doğru ağırlık, yukarı doğru sürükleme ve yine yukarı doğru kaldırma kuvveti olmak üzere üç kuvvet birlikte etki etmektedir. Arşimet ilkesine göre bir akışkan içindeki cisme etki eden kaldırma kuvveti, cismin yer değiştirdiği akışkanın ağırlığına eşittir.⁠^[14] Üstelik bu kuvvet cisim ister yüzsün, ister batsın, isterse akışkan içinde askıda kalsın her zaman mevcuttur.

Serbest bırakılan bir cismin aşağı doğru düşebilmesi için kaldırma kuvvetinin cismin ağırlığından küçük olması gerekmektedir. Kaldırma kuvveti ağırlıktan büyük olduğunda ise net kuvvet yukarı yönlü olmakta, yani cisim yükselmektedir. Hava içinde düşen bir paraşütçü için kaldırma kuvveti küçüktür ve limit hız denkleminde ihmal edilmektedir. Viskoz bir akışkan içindeki düşüşte ise ağırlık, viskoz sürükleme ve kaldırma kuvveti birlikte etki etmektedir.

Karesel Sürükleme Modelinde Limit Hız

Bisikletliler, otomobiller, beyzbol topları veya paraşütçüler gibi çok yavaş hareket etmeyen büyük cisimlerde, sürükleme kuvvetinin büyüklüğü yaklaşık olarak cismin süratinin karesiyle orantılıdır. Genel direnç denkleminde durumuna karşılık gelen bu karesel sürükleme modeli şu bağıntıyla yazılmaktadır:⁠^[1]

Burada sürükleme katsayısını (İng: "drag coefficient"), cismin akışkana bakan kesit alanını, ise içinden geçilen akışkanın yoğunluğunu göstermektedir. Genel üstel ifadeyle karşılaştırıldığında, karesel modeldeki orantı sabiti çarpımına karşılık gelmektedir. Ayrıca boyutsuzdur. Aslında gerçek akışlarda sürükleme katsayısı hıza bağlı olarak değişebilmektedir. Yine de temel limit hız hesaplamalarında bu katsayının sabit kaldığı varsayılmaktadır.

Karesel sürükleme denkleminin içindeki terimler fiziksel anlamlarıyla incelendiğinde iki önemli kavram öne çıkmaktadır. Denklemde yer alan akışkan yoğunluğu ile hızın karesinin çarpımının yarısı, akışkanlar dinamiğinde dinamik basınç (İng: "dynamic pressure") olarak adlandırılmakta ve harfiyle gösterilmektedir:⁠^[5]

Sürükleme formülündeki alanı ise cismin tüm dış yüzeyi değil, akış yönüne dik olan önden görünüş alanıdır (İng: "frontal area"). Akışkanın yoğunluğu veya bu alan büyüdüğünde, aynı hız değerinde cisme etki eden sürükleme kuvveti de doğru orantılı olarak artmaktadır.

Küçük kaldırma kuvvetinin ihmal edildiği hava içi düşüşlerde limit hız formülünü kurmak için, karesel sürükleme denklemi kuvvet dengesine yerleştirilmektedir:

Yapay zeka ile üretilmiş görsel (Evrim Ağacı)

Eşitliğin her iki tarafı düzenlenip denklem limit hız () için çözüldüğünde standart karesel limit hız formülü elde edilmektedir:

Bu kareköklü bağıntı, limit hızı etkileyen değişkenler hakkında doğrudan bilimsel çıkarımlar yapmayı sağlamaktadır. Bağıntının payındaki değişkenlere bakıldığında, diğer tüm değişkenler sabit tutulursa limit hızın cismin kütlesinin kareköküyle () doğru orantılı olduğu görülmektedir. Örneğin aynı dış biçime ve aynı kesit alanına sahip iki cisimden kütlesi dört kat büyük olanın limit hızı dört kat değil, iki kat büyük olmaktadır. Benzer şekilde diğer değişkenler sabitken limit hız yer çekimi ivmesinin kareköküyle () doğru orantılıdır.

Bağıntının paydasında yer alan değişkenler ise limit hızı ters yönde kontrol etmektedir. Diğer değişkenler sabit tutulduğunda akışkanın yoğunluğu (), cismin sürükleme katsayısı () veya akışa bakan kesit alanı () arttığında, limit hız bu değişkenlerin kareköküyle ters orantılı olarak azalmaktadır. Örneğin bir cismin kesit alanını dört katına çıkarmak, diğer koşullar değişmediği takdirde limit hızını yarıya indirmektedir.

Doğrusal Direnç Modelinde Stokes Yasası

Buna karşılık çok küçük cisimler bir akışkan içinde düşük hızlarla hareket ettiğinde, sürükleme kuvveti hızın karesiyle değil, doğrudan hızla orantılı hale gelmektedir. Kaldırma kuvvetinin ihmal edildiği doğrusal dirençli düşüş modelinde, sabiti cismin boyutlarına, biçimine ve akışkanın özelliklerine bağlı bir katsayı olmak üzere Newton'ın ikinci yasası şu diferansiyel hareket denklemini vermektedir:

Cisim limit hıza ulaştığında ivme () sıfırlandığı için kuvvet dengesi biçimini almakta ve buradan doğrusal modelin limit hızı şu şekilde bulunmaktadır:

Cismin başlangıç anında () durgun () olduğu kabul edilerek hareket denklemi zamana göre çözüldüğünde, hızın zamana bağlı değişimi üstel bir fonksiyon olarak ortaya çıkmaktadır:

Bu üstel çözüm dikkatle incelendiğinde, zaman sonsuza giderken () teriminin sıfıra yaklaştığı ve hızın değerine, yani limit hıza yöneldiği görülmektedir. İdeal doğrusal modelde limit hız, zaman sonsuza giderken yaklaşılan bir sınır değerdir. Ancak üstel terim çok hızlı küçüldüğü için hız kısa sürede bu sınıra ayırt edilemeyecek kadar yaklaşmaktadır. Bu yüzden pratikte sabit bir hızdan söz etmek yerindedir.

Doğrusal direnç modelinin fiziksel kökeninde akışkanların viskozitesi, yani iç sürtünmesi yatmaktadır. Viskozitenin hareket eden bir cisim üzerinde doğurduğu direnç kuvvetine viskoz sürükleme (İng: "viscous drag") adı verilmektedir. Nitekim deneysel çalışmalar, Reynolds sayısının (akıştaki eylemsizlik kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranı) yaklaşık birden küçük olduğu düzgün tabakalı laminer akış (İng: "laminar flow") rejiminde viskoz sürüklemenin süratle doğru orantılı olduğunu göstermiştir. Özellikle bir küre çevresindeki laminer akışta viskoz sürükleme kuvveti, akışkanın viskozitesiyle, cismin karakteristik boyutuyla ve süratiyle doğru orantılıdır.

Bu ilişkinin tarihsel ve matematiksel temeli, George Gabriel Stokes tarafından 9 Aralık 1850 tarihinde Cambridge Felsefe Cemiyeti'nde okunan ve 1851 yılında yayımlanan sarkaç hareketi araştırmasına dayanmaktadır.⁠^[10] Stokes, akışkanların iç sürtünmesinin sarkaç hareketine etkisini incelerken, küresel bir sarkacın sınır durumu olarak akışkan içinde düzgün doğrusal hareket yapan bir kürenin direncini hesaplamıştır. Bu hesapla, yavaş hareket eden bir kürenin karşılaştığı direncin belirli bir akışkan ve hız için kürenin yüzey alanıyla değil, yarıçapıyla orantılı olduğunu bulmuştur. Böylece yarıçapı olan küçük bir küre, viskozitesi olan bir akışkan içinde süratiyle yavaşça hareket ettiğinde geçerli olan Stokes yasası şu biçimde kurulmuştur:

Swan Electric Engraving Co., Kamu malı

Stokes kendi makalesinde bu direnç denkleminin, hızın karesinin ihmal edilebileceği kadar yavaş yükselen veya alçalan bir kürenin limit hızını belirlemek için kullanılabileceğini açıkça belirtmiştir. Ek olarak gerçek bir sıvı içinde çöken küçük küresel parçacıklarda yer çekimi ve Stokes sürüklemesinin yanında sıvının kaldırma kuvveti de denkleme girmektedir. Parçacığın ağırlığından kaldırma kuvveti çıkarılıp kalan net sürücü kuvvet Stokes sürüklemesine eşitlendiğinde, kaldırma etkisini içeren Stokes çökelme bağıntısı şu hali almaktadır:⁠^[11]

Bu bağıntıda küresel parçacığın çapını, parçacığın yoğunluğunu, akışkanın yoğunluğunu ve akışkanın viskozitesini temsil etmektedir. Aynı denklem üzerinden, yüksekliğindeki bir akışkan sütununda limit hızla inen parçacığın çökelme süresi () ise şu şekilde ifade edilmektedir:

Kaldırmalı Stokes bağıntısı, düşük hızlı laminer çökelmede değişkenlerin limit hızı nasıl etkilediğini karesel modelden çok farklı oranlarla ortaya koymaktadır. Diğer tüm değişkenler sabit tutulduğunda çökelme limit hızı parçacık çapının karesiyle () doğru orantılıdır. Bu yüzden laminer rejimde bir parçacığın çapı iki katına çıktığında limit hızı dört katına, çapı on katına çıktığında ise limit hızı yüz katına çıkmaktadır. Ayrıca diğer değişkenler sabitken çökelme hızı parçacık ile akışkan arasındaki yoğunluk farkıyla () ve yer çekimi ivmesiyle () doğru orantılı, akışkanın viskozitesiyle () ise ters orantılı olarak değişmektedir.

Cisim Biçiminin Sürükleme Katsayısına Etkisi

Karesel limit hız denkleminde tek bir harfle gösterilen sürükleme katsayısı, gerçekte çok sayıda fiziksel etkileşimin birleşik sonucunu taşımaktadır. Sürükleme kuvveti cismin kütlesine bağlı değildir. Buna karşılık havanın yoğunluğu, hızın karesi, havanın viskozitesi ve sıkıştırılabilirliği, cismin boyutu ile biçimi ve cismin akışa göre eğimi de sürüklemeyi doğrudan değiştirmektedir. Bu nedenle fizikçiler ve mühendisler bu karmaşık bağımlılıkları tek bir değişkende karakterize etmek amacıyla sürükleme katsayısını () kullanmaktadır. Dinamik basınç ile gösterildiğinde, sürükleme katsayısı sürükleme kuvvetinin () dinamik basınç ve referans alanı () çarpımına oranı olarak şu şekilde yazılmaktadır:⁠^[6]

Bu genel katsayı dört ayrı bileşen içermektedir. İlk bileşen, akışkan molekülleri ile cismin katı yüzeyi arasındaki doğrudan temastan doğan yüzey sürtünmesi sürüklemesidir (İng: "skin friction drag"). İkinci bileşen ise cismin geometrisine bağlı olan biçim sürüklemesidir (İng: "form drag"). Hava veya su bir cismin etrafından akarken yerel hız ve basınç dağılımı değişmekte ve böylece ön ve arka yüzeyler arasında oluşan basınç farkı bu direnci yaratmaktadır.⁠^[16] Son olarak dalga sürüklemesi (İng: "wave drag") ile indüklenmiş sürükleme (İng: "induced drag") bileşenleri eklenmektedir.

Bir cismin hem akışa bakan alanını hem de biçim sürüklemesini değiştirmenin etkisi günlük bir gözlemle kolayca fark edilebilmektedir. Hareket halindeki bir araçta veya rüzgarlı bir ortamda avuç içi akışa dik tutulan el güçlü bir dirençle karşılaşmaktadır. Oysa el yan çevrilip sadece kenarının havayı yarması sağlandığında hareket yönüne bakan alan küçülmektedir. Bu durumda sürükleme azalmaktadır. Benzer şekilde cismin akışın aşağı tarafında kalan biçimini değiştirmek de sürüklemeyi azaltabilmektedir. Urone ve Hinrichs'e göre balıkların, yunusların ve hatta devasa balinaların akıcı (İng: "streamlined") vücut biçimleri sürükleme kuvvetlerini azaltmaktadır.

Farklı geometrik biçimlerin direnci nasıl değiştirdiği, rüzgar tüneli (İng: "wind tunnel") deneylerinde her cisim için önden görünüş alanı referans alınarak yapılan ölçümlerle net biçimde görülmektedir.⁠^[7]

• Tipik bir kanat profilinde (İng: "airfoil") deneysel sürükleme katsayısı gibi çok düşük bir değerdedir.
• Mermi biçiminde sürükleme katsayısı, belirtilen deney koşullarında olarak verilmektedir.
• Düz bir levhada sürükleme katsayısı değerine çıkmaktadır.

Bununla birlikte pürüzsüz bir küre için bile her hızda geçerli olan tek bir evrensel sürükleme katsayısı verilememektedir. Çünkü küre veya silindir etrafındaki akış, hız değiştikçe birbirinden farklı akış rejimlerine geçiş yapmakta ve bu rejimlerin her biri küre üzerinde farklı miktarda sürükleme üretmektedir. Bu nedenle bir kürenin sürükleme katsayısı ile arasında geniş bir aralıkta değişmekte ve Reynolds sayısına güçlü biçimde bağlı kalmaktadır.⁠^[7] Dahası iki farklı cisim biçiminin sürüklemelerini katsayıları üzerinden doğru karşılaştırabilmek için aynı referans alanının kullanılması, ayrıca hem Reynolds sayısının hem de hızın ses hızına oranını veren Mach sayısının eşleştirilmesi gerekmektedir.

Farklı Ölçeklerden Sayısal Düşüş Örnekleri

Kurulan karesel ve doğrusal limit hız denklemleri gerçek fiziksel sistemlere uygulandığında, doğadaki düşüş hızlarının ne kadar geniş bir yelpazeye yayıldığı sayısal olarak ortaya çıkmaktadır. Kütle, kesit alanı, sürükleme katsayısı ve akışkan viskozitesi arasındaki denge, gökyüzünden atlayan bir insanda saniyede onlarca metrelik hızlar üretmektedir. Diğer yandan Urone ve Hinrichs'e göre aynı denge bakteriler gibi mikroskobik canlılarda saniyede birkaç mikrometrelik hızlar doğurmaktadır.

Evrim Ağacı

Bu sayısal örnekler, formüllerdeki değişkenlerin tek başına değil birbirleriyle etkileşim içinde çalıştığını göstermektedir. Bir cismin kütlesi artsa bile kesit alanı ve sürükleme katsayısı daha büyük oranda artırıldığında limit hızı keskin biçimde düşürülebilmektedir. Aşağıdaki bölümler, bu iki temel modelin paraşütçülere, yağmur damlalarına ve mikroskobik parçacıklara nasıl uygulandığını adım adım göstermektedir.

Paraşütçülerin Düşüş Pozisyonlarına Göre Hızları

Paraşütünü henüz açmamış bir paraşütçü (bu evre spor dilinde serbest düşüş olarak bilinmektedir ve fizikteki hava dirençsiz serbest düşmeden farklıdır) vücudunun havadaki duruşunu değiştirerek kendi limit hızını kontrol edebilmektedir. Baş aşağı inen paraşütçü için kesit alanı yaklaşık ve sürükleme katsayısı yaklaşık olarak alınmaktadır. Sayısal sonucu birinci çözümlü örnek göstermektedir.

Çözümlü örnek 1: Baş aşağı düşen 75 kg kütleli bir paraşütçünün limit hızı kaç m/s ve kaç km/h olur?

Verilenler: Baş aşağı pozisyonda inen paraşütçünün kütlesi , yer çekimi ivmesi , havanın yoğunluğu , paraşütçünün yaklaşık kesit alanı ve yaklaşık sürükleme katsayısı .⁠^[1]

İstenen: Paraşütçünün bu dalış pozisyonundaki limit hızı, yani .

1. adım: Karesel limit hız formülünün payında yer alan çarpımı hesaplanarak sürücü kuvvet terimi bulunmaktadır:

2. adım: Formülün paydasında bulunan hava yoğunluğu, sürükleme katsayısı ve kesit alanı değerleri çarpılarak direnç terimi () hesaplanmaktadır:

3. adım: Pay, paydaya bölünmektedir:

4. adım: Karekök alınarak limit hız metre/saniye biriminde bulunmaktadır:

5. adım: Hız kilometre/saat birimine çevrilmektedir:

Sonuç: Baş aşağı düşen kütleli bir paraşütçünün limit hızı yuvarlatılmış değerlerle , yani yaklaşık olmaktadır.

Paraşütçü baş aşağı dalıştan çıkıp kollarını ve bacaklarını iki yana açarak yüzüstü yatay pozisyona (İng: "spread-eagle position") geçtiğinde ise havaya bakan kesit alanı belirgin biçimde büyümektedir. Kesit alanının artmasıyla birlikte limit hız yaklaşık düzeyine kadar düşebilmektedir. Ancak bu değer herkes için aynı değildir. İkinci çözümlü örnek, seçilen bir kütle ve kesit alanı için hızı hesaplamaktadır.

Çözümlü örnek 2: Kolları ve bacakları açık pozisyonda düşen 85 kg kütleli bir paraşütçünün limit hızı kaç m/s ve kaç km/h olur?

Verilenler: Açık pozisyonda düşen paraşütçünün kütlesi , yer çekimi ivmesi , havanın yoğunluğu , bu örnek için seçilen kesit alanı ve sürükleme katsayısı .

İstenen: Kolları ve bacakları açık düşen paraşütçünün limit hızı .

1. adım: Karesel limit hız denkleminin payındaki çarpımı hesaplanmaktadır:

2. adım: Paydada yer alan çarpımı açık pozisyonun kesit alanı ve sürükleme katsayısıyla bulunmaktadır:

3. adım: Pay, paydaya bölünmektedir:

4. adım: Karekök alınarak limit hız metre/saniye biriminde bulunmaktadır:

5. adım: Hız kilometre/saat birimine çevrilmektedir:

Sonuç: Kolları ve bacakları açık düşen kütleli paraşütçü, ilk örnekteki paraşütçüden daha ağır olmasına rağmen kesit alanı ve sürükleme katsayısı büyüdüğü için limit hızı yerine yaklaşık , yani yaklaşık düzeyine inmektedir.

İnişin son aşamasında paraşüt açıldığında ise bu iki direnç değişkeni çok daha büyük bir sıçrama yapmaktadır. Paraşütün referans alanı büyük bir kesit alanıdır ve paraşüt için sürükleme katsayısı yaklaşık olarak verilmektedir.⁠^[8] Böylece paydadaki çarpımı büyümekte ve paraşütçünün limit hızı çok daha küçük bir değere inmektedir.

Yağmur Damlalarının Atmosferdeki Düşüş Süresi

Yağış parçacıklarında da limit hız büyüklüğe bağlıdır. Durgun havada düşen bir yağmur damlasının limit hızı, damla büyüklüğünün artan bir fonksiyonudur. Aynı şekilde küresel dolu tanesi modelinde de dolu tanesinin boyutu büyüdükçe limit hızı artmaktadır. En büyük yağmur damlalarının limit hızı yaklaşık ile üst sınıra ulaşmaktadır.⁠^[9] Dolayısıyla yükseklikteki bir bulut tabakasından bırakılan bu büyüklükteki bir yağmur damlasının yeryüzüne ulaşması en az , yani yaklaşık yedi dakika sürmektedir. Hava direncinin bir damlanın hızını ve iniş süresini vakuma kıyasla ne ölçüde değiştirdiği üçüncü çözümlü örnekte, bir model damla için gösterilmektedir.

Çözümlü örnek 3: 2.000 m yükseklikten düşen 3,00 g kütleli ve 8,50 m/s limit hızlı bir model damlanın dirençsiz ve hava dirençli düşüş büyüklükleri nelerdir?

Verilenler: Örnek olarak seçilen damlanın kütlesi , limit hızı , düşüş yüksekliği ve yer çekimi ivmesi .⁠^[13] Bu sayısal girdiler sadece bu örnek model için tanımlanmıştır ve bütün yağmur damlalarının genel özellikleri olarak görülmemelidir.

İstenen: Hava direnci olmasaydı damlanın yere çarpma hızı () ve düşüş süresi (). Doğrusal hava direnci modelinde ise limit hızdaki sürükleme kuvveti (), orantı sabiti (), limit hızın %99'una ulaşma süresi () ve yaklaşık toplam iniş süresi ().

1. adım: Hava direncinin bulunmadığı varsayımsal durumda durgun başlangıçtan düşen damlanın yere çarpma hızı zamansız hız formülüyle hesaplanmaktadır:

2. adım: Dirençsiz düşüşte damlanın bu hıza ulaşması ve yere çarpması için geçen süre hızın ivmeye bölünmesiyle bulunmaktadır:

3. adım: Gerçek atmosferdeki düşüşte damla limit hıza ulaştığında sürükleme kuvveti damlanın ağırlığına eşitlendiği için kuvveti hesaplanmaktadır:

4. adım: Doğrusal direnç modelinde sürükleme kuvveti olduğundan, bu kuvvet limit hıza bölünerek sabiti elde edilmektedir:

5. adım: Doğrusal modelin üstel hız denkleminde hızın limit değerinin %99'una ulaşma süresi () kütle ve sabiti üzerinden hesaplanmaktadır:

6. adım: Damla sadece içinde limit hızının %99'una ulaştığı için başlangıçtaki kısa ivmelenme geçişi ihmal edilmekte ve yolun tamamının sabit limit hızla alındığı kabul edilerek yaklaşık iniş süresi bulunmaktadır:

Sonuç: Hava direnci olmasaydı yeryüzüne içinde gibi çok yüksek bir süratle çarpacak olan model damla, doğrusal direnç modelinde içinde limit hızının %99'una ulaşmakta ve yere yaklaşık sürede inmektedir.

Yağmur damlalarından çok daha küçük olan bulut damlacıklarına geçildiğinde ise Stokes yasasının çapın karesine () bağlı küçülme etkisi sahneye çıkmaktadır. Stokes, 1851 yılında yayımlanan tarihsel çalışmasında kendi varsayımları altında çapı bir inçin binde biri () olan küçük bir su küreciğinin havadaki limit hızını olarak hesaplamıştır.⁠^[10] Hatta aynı hesapta damlacığın çapı on kat daha küçültülüp bir inçin on binde birine () indirildiğinde, limit hızın yüz kat daha küçük olacağı gösterilmiştir. Stokes bu çarpıcı düşüşten yola çıkarak, bulutların gökyüzünde düşmeden asılı duruyormuş gibi görünmesinin esas olarak havanın iç sürtünmesinden (viskozitesinden) kaynaklandığını açıklamıştır.

Mikroskobik Parçacıkların Durgun Akışkandaki Hareketi

Mikrometre ölçeğindeki parçacıklar ve tek hücreli canlılar akışkan içinde çok yavaş hareket etmektedir. Birçok uygulamada akışkan içerisine bırakılan küçük parçacıklar, harekete başladıktan sonra çok kısa bir sürede ve çok kısa bir ilerleme mesafesinde limit hızlarına ulaşmaktadır.

Mikroorganizmalar, polenler ve toz parçacıkları Stokes yasasının uygulandığı küçük cisimlere örnek olarak verilmektedir. Örneğin boyutu yaklaşık olan bakterilerin su içindeki çökelme limit hızları yaklaşık gibi son derece küçük bir değerde kalmaktadır.⁠^[2] Birçok bakteri ise sıvı içinde daha yüksek bir hızla hareket edebilmek için kamçılarını (İng: "flagella") kullanarak aktif biçimde yüzmektedir.

Benzer bir yavaşlık durgun göllerde çöken ince tortularda da gözlemlenmektedir. Bir gölün yüzeyine bırakılan tortu parçacıkları bakterilerinkinden biraz daha büyük olan yaklaşık düzeyinde bir limit hıza ulaşabilmektedir.⁠^[2] Saniyede sadece beş mikrometrelik bu ilerleme hızı nedeniyle, yüzeyde biriken ince malzemenin göl tabanına ulaşması günler sürebilmektedir.

NASA Goddard Space Flight Center from Greenbelt, MD, USA, Kamu malı

Ölçüm Teknolojilerinde Limit Hız Uygulamaları

Limit hız denklemleri doğadaki düşüş hızlarını öngörmenin ötesinde, deneysel bilimde ve mühendislikte tersine çalıştırılan birer ölçüm aracına dönüşmektedir. Bir denklemdeki hız, yoğunluk, çap, viskozite ve sürükleme katsayısı değişkenlerinden diğerleri biliniyorsa, yavaş hareket eden bir kürenin limit hızı ölçülerek akışkanın viskozitesi bulunabilmektedir.⁠^[3]

Bu tersine çözüm ilkesi sıvıların viskozitesinin bulunmasında, sıvı içinde çöken parçacıkların boyutunun belirlenmesinde ve yağış parçacıklarının düşme süratinin radarla ölçülmesinde kullanılmaktadır.

Viskozite Ölçümünden Parçacık Boyutu Analizine

Stokes yasasının laboratuvar uygulamalarından biri, viskoz bir akışkan içinde yavaşça düşen küresel bir cismin limit hızını ölçerek akışkanın ölçüm sıcaklığındaki viskozitesini bulmaktır. Bu yönteme dayanan basit bir deneyde, incelenen sıvının merkezine küçük bir bilye bırakılmakta ve bilyenin belirli bir mesafeyi alma süresi ölçülmektedir.⁠^[3] Ölçüm için kronometre hemen çalıştırılmamaktadır. Bunun yerine bilyenin sıvıya girdikten sonra limit hızına ulaşması için önce bir miktar düşmesine izin verilmektedir.

Aynı bağıntı sanayide ve malzeme araştırmalarında bu kez sıvının değil, sıvı içinde çöken katı parçacıkların boyutunu bulmak için tersine çözülmektedir. Yer çekimiyle çökelmeye (sedimantasyona) dayanan teknikler, parçacık boyutu ve boyut dağılımının belirlenmesinde en yaygın kullanılan endüstriyel ve bilimsel yöntemler arasında yer almaktadır.⁠^[11] Buna göre bilinen viskozite ve yoğunluktaki bir sıvı sütununda () parçacıkların çökelme süreleri () ölçüldüğünde, kaldırmalı Stokes bağıntısı üzerinden her bir parçacık grubunun çapı () hassas biçimde hesaplanmaktadır.

Bununla birlikte hücreler gibi çok küçük yapılarda normal yer çekimi ivmesi () altındaki limit hız çok küçüktür. Bu çökelmeyi hızlandırmak için santrifüj kullanılmaktadır. Santrifüjler, tüpleri yüksek hızla döndürerek yer çekimi ivmesinin yerine çok daha büyük olabilen merkezcil ivmenin geçtiği ivmeli referans çerçeveleri oluşturmaktadır. Bu sayede limit hız denklemindeki etkin ivme çarpanı büyümekte, parçacıkların limit hızı artmakta ve çökelme süreci hızlanmaktadır.

Yağış Radarlarından Roket Kurtarma Sistemlerine

Makroskobik ölçekteki mühendislik tasarımlarında ise bilinmeyen büyüklük çoğunlukla cismin sürükleme katsayısıdır. Karmaşık geometrili araçların sürükleme katsayıları neredeyse her zaman rüzgar tüneli deneyleriyle belirlenmektedir.⁠^[5] Rüzgar tüneli gibi kontrollü bir ortamda akış hızı, hava yoğunluğu ve modelin alanı hassas biçimde ayarlanmakta, ardından oluşan sürükleme kuvveti doğrudan ölçülerek katsayısı hesaplanmaktadır. Ayrıca elde edilen sürükleme katsayısı değerleri rapor edilirken, hesaplamada hangi referans alanının kullanıldığının açıkça belirtilmesi önemlidir.

NASA'nın Küresel Yağış Ölçümü (GPM) uydusunda bulunan çift frekanslı yağış radarı (DPR), atmosferde düşmekte olan yağış parçacıklarının düşme süratini uzaydan ölçebilmektedir.⁠^[9] Radarın yaptığı bu düşüş hızı ölçümü incelenen yağışın türünü tanımlamaya yardımcı olmaktadır.

Öte yandan model roketlerde kurtarma paraşütü limit hızı düşürmektedir. Bir model roket fırlatılıp yakıtının tamamını tükettiğinde motoru sönmekte ve yukarı yönlü itki kuvveti sıfıra inmektedir. Tipik bir model roketin sürükleme katsayısı yaklaşık , paraşütün sürükleme katsayısı ise yaklaşık değerindedir. Paraşütün daha yüksek sürükleme katsayısı ve büyük kesit alanı limit hızın daha düşük olmasını sağlamaktadır.⁠^[8]

Kavramsal Yanılgılar ve Basit Modellerin Sınırları

Limit hız denklemleri oldukça yalın görünse de, bu bağıntıların arkasındaki kuvvet dengesi yorumlanırken bazı temel fiziksel kavramlar sıklıkla birbirine karıştırılmaktadır. Üstelik temel formüller, sürükleme katsayısının sabit kaldığı, parçacıkların tek başına ve katı birer küre gibi davrandığı, akışkanın ise tamamen durgun olduğu ideal varsayımlara dayanmaktadır.

Evrim Ağacı

Doğadaki gerçek akış koşullarına geçildiğinde bu ideal varsayımların her biri belirli bir eşikten sonra kırılmaktadır. Doğru bilimsel çıkarım yapabilmek için önce kuvvet dengesi hakkındaki kavramsal yanılgıları ayıklamak, ardından basit modellerin hangi fiziksel sınırlar ötesinde geçerliliğini yitirdiğini görmek gerekmektedir.

Kuvvet Dengesi Hakkındaki Yaygın Yanılgılar

Limit hız konusunda sık görülen bir yanılgı, düşen bir cisimde yukarı yönlü sürükleme kuvveti aşağı yönlü ağırlığa eşitlendiği anda cismin havada duracağının veya geri yükseleceğinin sanılmasıdır. Bu hatalı çıkarım, net kuvvetin sıfır olması ile hızın sıfır olmasını birbirine karıştırmaktan kaynaklanmaktadır. Aslında cisim denge anına gelene kadar zaten aşağı yönlü bir hız kazanmış olduğundan, net kuvvet sıfırlandığında mevcut hızını koruyarak sabit limit hızla düşmeye devam etmektedir.

Bu yanılgının tam tersi ise yakıtı biten bir roketin en yüksek noktada anlık olarak durmasını limit hız dengesi sanmaktır. Yakıtı tükenen bir model roket yukarı doğru süzülürken yavaşlamakta ve maksimum irtifaya ulaştığı anda hızı anlık olarak sıfıra inmektedir. Ancak bu bir kuvvet dengesi değildir. Çünkü hız sıfırlandığı anda sürükleme kuvveti de sıfırlanmakta, buna karşılık roketin ağırlığı hala Dünya merkezine doğru etki ettiği için roket derhal aşağı doğru ivmelenerek düşmeye başlamaktadır.

Üçüncü bir karışıklık, bir cismin sıvı içinde sabit bir derinlikte hareketsiz askıda kalması ile sabit limit hızla batmasının aynı denge sanılmasıdır. Arşimet ilkesine göre kaldırma kuvveti cismin ağırlığına tam olarak eşit olduğunda (), cisim bulunduğu derinlikte hareketsiz biçimde askıda kalabilmektedir.⁠^[14] Oysa limit hızla düşen bir cisimde ağırlık kaldırma kuvvetinden büyüktür. Aradaki farkı ancak sürükleme kapatmaktadır.

Son olarak, denklemlerdeki fiziksel değişkenlerin birbirinin yerine kullanılması da ciddi hesap hatalarına yol açmaktadır. Stokes çökelme bağıntısında yer alan akışkan yoğunluğu () ile akışkanın iç sürtünmesini gösteren viskozitesi () birbirinin yerine kullanılabilecek değişkenler değildir.

İdeal Varsayımların Çöktüğü Gerçek Koşullar

Temel limit hız hesaplarında sabit kabul edilen sürükleme katsayısı, akış hızı ve rejimi büyük ölçekte değiştiğinde sabitliğini yitirmektedir. Bu bağlamda bir rüzgar tünelinde ölçülmüş sürükleme katsayısıyla başka bir akış koşulunu doğru tahmin edebilmek için, ölçülen durum ile tahmin edilen durum arasında viskozite (Reynolds sayısı) ve sıkıştırılabilirlik (Mach sayısı) etkilerinin aynı olması gerekmektedir. Örneğin düşük bir hızda (yaklaşık süratte) ölçülen bir sürükleme katsayısını alıp ses hızının iki katındaki () sıkıştırılabilir bir akışa doğrudan uygulamak tamamen yanlıştır.⁠^[6]

Benzer şekilde Stokes yasasının geçerliliği de sıkı fiziksel koşullara bağlıdır. Stokes bağıntısını çökelme ölçümlerinde kullanabilmek, parçacıkların limit hızda ve türbülanssız (laminer) akış koşullarında çökmesini gerektirmektedir. Dahası Stokes kendi 1851 makalesinde su damlacığının direncini katı bir küreymiş gibi hesapladığını, oysa tam kesinlik aranan bir hesapta sıvı damlasının içindeki akışkan parçacıklarının göreli hareketinin (damla içi sirkülasyonun) de dikkate alınması gerektiğini açıkça not etmiştir.

Tek parçacık varsayımı da her zaman korunamamaktadır. Sıvı içindeki katı parçacık derişimi yüksek olduğunda, parçacık etkileşimleri engellenmiş çökelmeye (İng: "hindered settling") yol açmakta ve bu durum çökelme hızını tekil parçacık formülünün öngördüğü değerin altına düşürmektedir. Ölçeğin en alt ucunda, çok ince parçacıklarda ise Brown hareketi (İng: "Brownian motion") çökelmeye müdahale ederek çökelme süresini uzatmakta, bu parçacıkları uzun süre sıvı içinde askıda tutabilmektedir.

Atmosferdeki gerçek yağış süreçlerinde ise durgun hava ve değişmez damla varsayımları sıkça bozulmaktadır. Çevredeki rüzgarın yukarı yönlü yeterince güçlü bir bileşeni bulunduğunda, bazı yağmur damlalarının yere doğru hiç düşmemesi mümkündür. Üstelik Guillermo Montero-Martinez ve çalışma arkadaşlarının 2009 yılında milyonlarca yağmur damlasını kapsayan ölçümleri, bütün yağmur damlalarının kendi limit hızlarında düşmediğini göstermiştir.⁠^[15] Araştırmacılar, kendi boyutları için hesaplanan limit hızın üzerinde hareket eden bu süper-limit damlaları (İng: "super-terminal drops"), havada yakın zamanda parçalanmış daha büyük bir ana damlanın parçaları olarak yorumlamıştır. Bu parçalar ana damlanın hızını taşıyabilmekte ve kendi çaplarına ait limit hızlarına () doğru yaklaşabilmektedir.

Couch-scratching-cats, CC BY 3.0

Sonuç

Limit hız, bir cisme ait sabit bir sayı değil, hareketi sürdüren kuvvet ile akışkan direncinin eşitlendiği anda ivmenin sıfırlanmasıyla ulaşılan dinamik bir denge hızıdır. Formülü ise akış rejimine uygun direnç denkleminin bu kuvvet eşitliğine yerleştirilmesiyle kurulmaktadır. Kurulan bu bağıntılar kütlenin, yer çekimi ivmesinin, akışkan yoğunluğunun, viskozitenin, kesit alanının ve cisim biçiminin düşüş hızını hangi matematiksel oranlarla kontrol ettiğini açıkça ortaya koymaktadır. Buna karşılık tek bir denklemin sonucu, akışın laminer ya da türbülanslı olduğu, sıkıştırılabilirlik sınırının aşılıp aşılmadığı ve parçacıkların birbiriyle etkileşip etkileşmediği kontrol edilmeden her koşula doğrudan genellenememektedir.

Girişteki model damla örneği, hava direncinin düşüş hızını ve süresini nasıl değiştirdiğini göstermektedir. Hava direnci olmasaydı yükseklikten düşen kütleli model damla içinde sürate ulaşarak yeryüzüne bu süratle çarpardı. Doğrusal direnç modelinde ise bu model damla yaklaşık dört saniye içinde limit hıza neredeyse ulaşmakta ve yaklaşık sürede inmektedir.⁠^[13] Bulut damlacıklarının gökyüzünde asılı görünmesinden süper-limit damlalara kadar, akışkan direnci ile yer çekimi arasındaki bu dinamik denge yağış parçacıklarının düşüş hızını belirlemektedir.